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CalcMax

Kreissegment-Rechner

Bereich: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Bereich: 0 ° – 360 °

Ergebnis

7,1350 cm²

Fläche

Sehne
7,0711 cm
Bogenlänge
7,8540 cm
Höhe des Kreissegments
1,4645 cm

Dieser Rechner nimmt den Radius und den Mittelpunktswinkel und gibt vier Zahlen für das Kreissegment zurück: seine Fläche, die Sehne, die Bogenlänge und die Höhe des Kreissegments. Ein Kreissegment ist das Stück, das eine gerade Linie vom Kreis abschneidet — alles, was zwischen der Sehne und dem Bogen darüber liegt. Legt man eine Sehne quer durch einen Kreis, entstehen zwei Teile, und beide sind Segmente: das kleinere über der Sehne und das größere darunter. Diese Seite rechnet das kleinere, solange der Winkel unter 180 Grad bleibt, und genau das ist die übliche Lesart; wird der Winkel größer, beschreibt dieselbe Formel das größere Stück, und das ist kein Sonderfall, sondern fällt von selbst heraus. Das Segment ist das Stück, das übrig bleibt, wenn man vom Kreisausschnitt das Dreieck abzieht. Ein Ausschnitt wird von zwei Radien begrenzt und reicht bis zur Kreismitte; zieht man stattdessen die gerade Verbindung zwischen den beiden Bogenenden, bleibt die Fläche zwischen dieser Linie und dem Bogen übrig, und das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne ist genau das, was dabei weggefallen ist. Das ist die Bauanleitung für die Fläche: Ausschnitt minus Dreieck. Die anderen drei Werte brauchen diesen Umweg nicht. Die Sehne ist die gerade Linie selbst, die Bogenlänge der gekrümmte Rand darüber, und die Höhe des Kreissegments ist der Abstand von der Mitte der Sehne senkrecht nach oben bis zum Bogen — der vierte Wert und der einzige, den es auf der Ausschnittsseite nicht gibt. Praktisch ist er der nützlichste von allen, weil er sich mit einem Lineal messen lässt, ohne den Kreismittelpunkt zu kennen: Wer ein kreisförmiges Werkstück abgeschnitten hat und wissen will, wie tief der Schnitt reicht, misst genau diese Höhe. Zwei Dinge sollte man vorher wissen. Das Segment ist nicht proportional zum Winkel. Bei 60 Grad hat es zwei Drittel des Winkels von 90 Grad, aber weniger als ein Drittel der Fläche, denn bei kleinen Winkeln frisst das Dreieck fast den ganzen Ausschnitt — das Segment ist dann ein dünner Streifen, und ein dünner Streifen ist viel kleiner, als der Winkel vermuten lässt. Bei 180 Grad hat das Dreieck gar keine Fläche mehr, weil die Sehne dann durch den Mittelpunkt läuft; dort ist das Segment einfach der Halbkreis. Und über 180 Grad hinaus wächst es weiter, bis es bei 360 Grad der ganze Kreis ist. Was das Segment von der Verwandtschaft unterscheidet: Es teilt sich Bogen und Sehne mit dem Kreisausschnitt desselben Winkels, und beide enden an denselben zwei Punkten auf dem Kreis. Nur der dritte Rand ist ein anderer — beim Ausschnitt sind es zwei Radien, beim Segment eine Sehne —, und dieser eine Unterschied ist der Grund, warum es zwei getrennte Seiten dafür gibt. Wer die Fläche kennt und wissen will, wie viel das Dreieck ausmacht, zieht die beiden voneinander ab; wer umgekehrt nur den Ausschnitt braucht, ist auf der Nachbarseite richtig.

Kreissegmente aus Radius und Mittelpunktswinkel, mit Fläche, Sehne, Bogen und Höhe

Radius (cm)Mittelpunktswinkel (°)Fläche (cm²)Sehne (cm)Bogenlänge (cm)Höhe des Kreissegments (cm)
5907.1357.07117.8541.4645
5602.264755.2360.6699
518039.26991015.7085
612022.110710.392312.56643
527071.40497.071123.56198.5355
10180157.07962031.415910
536078.5398031.415910
500000

Acht Segmente, und die ersten beiden Spalten sind die beiden Eingaben. Die ersten beiden Zeilen sollte man zusammen lesen, weil an ihnen sichtbar wird, wie schnell ein Segment schrumpft: Die zweite Zeile hat zwei Drittel des Winkels der ersten und weniger als ein Drittel ihrer Fläche, weil bei kleinen Winkeln das Dreieck fast den ganzen Ausschnitt einnimmt. Die dritte Zeile ist der Halbkreis, und dort verschwindet das Dreieck ganz: Die Sehne läuft durch den Mittelpunkt, die Fläche ist die des Ausschnitts, und die Höhe ist gleich dem Radius. Die fünfte Zeile zeigt den umgekehrten Fall, ein Segment von mehr als einer halben Umdrehung: Der Mittelpunktswinkel beträgt 270 Grad, und die Fläche ist mit 71,4049 größer als die des Halbkreises — die Sehne ist dabei mit 7,0711 wieder kürzer als die 10 der dritten Zeile, und daran sieht man, dass die Sehne nicht mit der Fläche wächst. Die sechste Zeile ist der Halbkreis mit doppeltem Radius, und die siebte der ganze Kreis mit einer Höhe von zehn Zentimetern, also dem Durchmesser. Die letzte Zeile ist der Nullfall: kein Winkel, keine Sehne, keine Fläche. Jede Zeile dieser Tabelle wird beim Bau der Seite aus ihren beiden Ausgangswerten neu gerechnet, und zwar in einem Schritt — die Fläche entsteht nicht dadurch, dass erst ein gerundeter Ausschnitt und dann ein gerundetes Dreieck gebildet und voneinander abgezogen werden. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (7.135 statt 7,135), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.

Formel

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sin θ c = 2r sin(θ ÷ 2) L = (θ ÷ 360) × 2πr h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

Radius
Der Radius des Kreises, aus dem das Segment geschnitten wird, in Zentimetern. Er darf null sein, dann ist alles null; negative Werte werden abgelehnt. Zulässig sind Radien bis zu einer Milliarde Zentimeter, eine Grenze, die aus dem darstellbaren Zahlenbereich kommt und nicht aus der Anschauung
Mittelpunktswinkel
Der Winkel, den die beiden Enden des Bogens an der Kreismitte einschließen, in Grad. Er darf zwischen 0 und 360 Grad liegen. Bis 180 Grad beschreibt er das kleinere der beiden Segmente, darüber das größere; bei 180 Grad ist das Segment ein Halbkreis, bei 360 Grad der ganze Kreis. Ein Winkel über 360 Grad wird abgelehnt, weil dann nicht mehr festliegt, welches Stück die Sehne abschneidet
Fläche
Die Fläche des Segments in Quadratzentimetern: die Fläche des Ausschnitts minus der Fläche des Dreiecks aus den beiden Radien und der Sehne. Das ist der Hauptwert dieser Seite. Über 180 Grad hinaus wird der Sinus des Winkels negativ, der zweite Summand also von selbst positiv, und dieselbe Formel beschreibt dann das größere Stück — man muss dafür nichts umstellen
Sehne
Die gerade Linie, die das Segment vom Kreis abschneidet, in Zentimetern. Sie ist der eine der beiden Ränder, und sie ist die kürzeste Verbindung zwischen den beiden Bogenenden. Bei 180 Grad, wenn sie durch den Kreismittelpunkt läuft, erreicht sie mit dem doppelten Radius ihren größten Wert; bei 360 Grad fällt sie auf null, weil die beiden Enden zusammenfallen
Bogenlänge
Die Länge des gekrümmten Randes, in Zentimetern. Sie ist der andere der beiden Ränder, und sie wächst linear mit dem Winkel und mit dem Radius: Bei doppeltem Radius ist der Bogen doppelt so lang, während die Fläche viermal so groß wird. Sie ist der längere der beiden Ränder, weil der gerade Weg zwischen zwei Punkten immer der kürzeste ist
Höhe des Kreissegments
Der Abstand von der Mitte der Sehne senkrecht nach oben bis zum Bogen, in Zentimetern — die sogenannte Pfeilhöhe. Sie ist der einzige Wert dieser Seite, den es auf der Ausschnittsseite nicht gibt, und der einzige, den man ohne den Kreismittelpunkt messen kann. Bei 180 Grad ist sie gleich dem Radius, bei 360 Grad gleich dem Durchmesser; bei kleinen Winkeln ist sie sehr klein, weil der Bogen dann dicht über der Sehne verläuft
½r² sin θ
Die Fläche des Dreiecks aus den beiden Radien und der Sehne, also der Teil des Ausschnitts, der beim Segment wegfällt. Bei kleinen Winkeln ist er fast so groß wie der ganze Ausschnitt, weshalb dort nur ein dünnes Segment übrig bleibt; bei 180 Grad wird er null, weil die Sehne dann durch den Mittelpunkt läuft und das Dreieck zu einer Geraden entartet. Der Sinus ist hier der Grund für das Vorzeichenverhalten über 180 Grad hinaus
Vier Nachkommastellen
Die Anzeigebreite aller vier Ergebnisse. Sie ist keine Rundung auf eine sinnvolle Messgenauigkeit, sondern die Stelle, an der die Zahl abgeschnitten wird: Fläche und Bogenlänge enthalten die Kreiszahl und gehen deshalb fast nie glatt auf, und bei Eingaben mit vielen Stellen schneidet die Anzeige zusätzlich ab

Ein Kreissegment ist die Form, die entsteht, wenn eine gerade Kante auf eine runde trifft, und genau so taucht sie in der Praxis auf. Ein Rohr wird schräg durchschnitten, und die Öffnung ist ein Segment; ein Fass oder ein Tank wird bis zu einer bestimmten Höhe gefüllt, und die Querschnittsfläche des Inhalts ist ein Segment, dessen Höhe man misst; ein Kreissegment wird aus einem Blech gestanzt, und die Fläche wird für den Materialbedarf gebraucht. Immer wenn eine gerade Linie eine Kreisfläche abtrennt und die Fläche oder das Volumen des abgetrennten Stücks gebraucht wird, ist diese Seite zuständig. Drei Kontrollen, die fast jede Fehleingabe abfangen. Das Segment muss kleiner sein als der Ausschnitt desselben Winkels, weil es aus ihm durch Abziehen entsteht; ist es größer, wurde irgendwo addiert statt subtrahiert. Die Höhe darf den Durchmesser nie überschreiten, und sie muss bei 180 Grad genau der Radius sein — das ist der einzige Winkel, bei dem sie sich ohne Rechnung nachprüfen lässt. Und die Sehne muss kürzer sein als der Bogen: Beide verbinden dieselben zwei Punkte auf dem Kreis, aber die eine gerade und der andere gekrümmt. Wenn umgekehrt der Ausschnitt gebraucht wird und nicht das Segment, ist die Nachbarseite die richtige: Der Ausschnitt ist das Segment plus das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne.

Rechenbeispiele

  1. Ein Viertelkreis wird abgeschnitten

    1. Anteil am Vollkreis: 90 ÷ 360 = 1/4
    2. Ausschnitt: 0,25 × π × 25 = 19,6349…
    3. Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne: 0,5 × 25 × sin(90°) = 12,5
    4. Fläche: 19,6349… − 12,5 = 7,1349…, gerundet 7,135 Quadratzentimeter
    5. Sehne: 2 × 5 × sin(45°) = 7,0710…, gerundet 7,0711 Zentimeter
    6. Bogenlänge: 0,25 × 2 × π × 5 = 7,8539…, gerundet 7,854 Zentimeter
    7. Höhe: 5 × (1 − cos(45°)) = 1,4644…, gerundet 1,4645 Zentimeter

    Die Voreinstellung des Formulars und der Fall, an dem man die Bauanleitung am besten nachvollzieht: Der Ausschnitt ist hier 19,635 groß, das Dreieck 12,5, und übrig bleiben 7,135. Das Dreieck ist also deutlich größer als das Segment — bei 90 Grad frisst es fast zwei Drittel des Ausschnitts. Die Höhe von 1,4645 Zentimetern ist der Wert, den man an einem Werkstück mit dem Lineal ablesen würde, und sie ist zugleich der kleinste der vier: Der Bogen verläuft hier nur anderthalb Zentimeter über der Sehne.

  2. Sechzig Grad, ein schmaleres Segment

    1. Anteil am Vollkreis: 60 ÷ 360 = 1/6
    2. Ausschnitt: (1/6) × π × 25 = 13,0899…
    3. Dreieck: 0,5 × 25 × sin(60°) = 10,8253…
    4. Fläche: 13,0899… − 10,8253… = 2,2646…, gerundet 2,2647 Quadratzentimeter
    5. Sehne: 2 × 5 × sin(30°) = 5 Zentimeter
    6. Bogenlänge: (1/6) × 2 × π × 5 = 5,2359…, gerundet 5,236 Zentimeter
    7. Höhe: 5 × (1 − cos(30°)) = 0,6698…, gerundet 0,6699 Zentimeter

    Das Paar zum vorigen Beispiel, und der Fall, der die nicht proportionale Abnahme zeigt: Der Winkel sinkt von 90 auf 60 Grad, also auf zwei Drittel, die Fläche aber fällt von 7,135 auf 2,2647, also auf weniger als ein Drittel. Der Grund steht in den Zwischenschritten: Der Ausschnitt schrumpft auf zwei Drittel mit, das Dreieck aber bleibt mit 10,8253 fast so groß wie vorher, weil der Sinus von 60 Grad kaum kleiner ist als der von 90 Grad. Was übrig bleibt, ist ein dünner Streifen, und ein dünner Streifen ist viel kleiner, als der Winkel vermuten lässt. Die Sehne ist hier genau so lang wie der Radius, weil der Sinus von 30 Grad ein Halb ist.

  3. Der Halbkreis

    1. Anteil am Vollkreis: 180 ÷ 360 = 1/2
    2. Ausschnitt: 0,5 × π × 25 = 39,2699…
    3. Dreieck: 0,5 × 25 × sin(180°) = 0
    4. Fläche: 39,2699… − 0 = 39,2699 Quadratzentimeter
    5. Sehne: 2 × 5 × sin(90°) = 10 Zentimeter
    6. Bogenlänge: 0,5 × 2 × π × 5 = 15,7079…, gerundet 15,708 Zentimeter
    7. Höhe: 5 × (1 − cos(90°)) = 5 Zentimeter

    Der Wendepunkt, und der einzige Winkel, bei dem das Dreieck verschwindet. Die Sehne läuft hier durch den Kreismittelpunkt, das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne entartet damit zu einer Geraden, und die Fläche des Segments ist einfach die Fläche des Ausschnitts. Zugleich ist die Höhe hier genau der Radius, und die Sehne genau der Durchmesser — beides die Höchstwerte, die diese beiden Größen überhaupt erreichen können. Ab hier wird die Fläche weiter größer, obwohl die Sehne wieder kürzer wird: Das größere Segment wächst, indem es sich um den Kreis herumlegt.

  4. Ein Segment mit größerem Radius

    1. Anteil am Vollkreis: 120 ÷ 360 = 1/3
    2. Ausschnitt: (1/3) × π × 36 = 37,6991…
    3. Dreieck: 0,5 × 36 × sin(120°) = 15,5884…
    4. Fläche: 37,6991… − 15,5884… = 22,1106…, gerundet 22,1107 Quadratzentimeter
    5. Sehne: 2 × 6 × sin(60°) = 10,3923…, gerundet 10,3923 Zentimeter
    6. Bogenlänge: (1/3) × 2 × π × 6 = 12,5663…, gerundet 12,5664 Zentimeter
    7. Höhe: 6 × (1 − cos(60°)) = 3 Zentimeter

    Derselbe Winkel wie im zweiten Beispiel, aber ein größerer Kreis — und dabei fällt die Höhe völlig glatt aus: 6 mal (1 − cos 60 Grad) ist 6 mal ein Halb, also genau 3 Zentimeter, ohne jede Rundung. Das ist der einzige Wert in dieser Zeile, der exakt aufgeht; Fläche, Sehne und Bogenlänge tragen alle die Kreiszahl oder eine Wurzel. Außerdem sieht man hier den Unterschied zwischen den beiden Randlängen besonders deutlich: Die Sehne misst 10,3923, der Bogen 12,5664, und bei einem Drittelkreis ist der gekrümmte Weg also gut ein Fünftel länger als der gerade.

  5. Mehr als eine halbe Umdrehung

    1. Anteil am Vollkreis: 270 ÷ 360 = 3/4
    2. Ausschnitt: 0,75 × π × 25 = 58,9048…
    3. Dreieck: 0,5 × 25 × sin(270°) = −12,5
    4. Fläche: 58,9048… − (−12,5) = 71,4048…, gerundet 71,4049 Quadratzentimeter
    5. Sehne: 2 × 5 × sin(135°) = 7,0710…, gerundet 7,0711 Zentimeter
    6. Bogenlänge: 0,75 × 2 × π × 5 = 23,5619…, gerundet 23,5619 Zentimeter
    7. Höhe: 5 × (1 − cos(135°)) = 8,5355…, gerundet 8,5355 Zentimeter

    Der Fall, der zeigt, dass über 180 Grad nichts kaputtgeht, sondern nur ein anderes Stück beschrieben wird. Bei 270 Grad ist das Segment größer als ein Halbkreis, es ist das Stück, das die Sehne zusammen mit dem großen Bogen umschließt. In der Rechnung fällt das von selbst heraus: Der Sinus von 270 Grad ist minus eins, das Dreieck wird also negativ, und aus dem Minus vor dem zweiten Summanden wird ein Plus. Man muss dafür nichts umstellen und nichts unterscheiden — dieselbe Formel beschreibt beide Fälle. Beachten Sie auch die Sehne: Sie ist mit 7,0711 wieder kürzer als beim Halbkreis, obwohl das Segment viel größer ist.

Einschränkungen

Diese Seite rechnet das Kreissegment, also das Stück zwischen einer Sehne und dem Bogen darüber. Sie rechnet nicht den Kreisausschnitt, also das Stück zwischen zwei Radien — dafür gibt es eine eigene Seite derselben Unterkategorie, und die beiden Flächen unterscheiden sich um das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne. Der Mittelpunktswinkel ist auf den Bereich von 0 bis 360 Grad begrenzt, und Werte darüber werden abgelehnt, weil dann nicht mehr eindeutig festliegt, welches der beiden Stücke die Sehne abschneidet. Der Radius darf null sein, negative Werte werden abgelehnt, und Radien über eine Milliarde Zentimeter ebenfalls, wobei diese Grenze aus der Zahlendarstellung kommt. Gerechnet wird durchgehend in Zentimetern und Quadratzentimetern; der Mittelpunktswinkel darf im Auswahlfeld auf Bogenmaß oder Gon umgestellt werden, wobei die Umrechnung vor der Rechnung geschieht und das Ergebnis daher nicht von der gewählten Einheit abhängt. Die vier Ergebnisse werden auf vier Nachkommastellen gerundet, und das ist keine Frage der Messgenauigkeit: Fläche und Bogenlänge enthalten die Kreiszahl und gehen fast nie glatt auf, während Sehne und Höhe bei bestimmten Winkeln exakt sind. Bei Eingaben mit vielen Stellen schneidet die Anzeige zusätzlich ab. Winkel über 180 Grad liefern das größere der beiden Segmente, und die Seite sagt nicht, welches der beiden Sie vor sich haben — sie gibt die Fläche des Stücks an, das die Sehne mit dem von den beiden Enden aufgespannten Bogen umschließt, und bei mehr als einer halben Umdrehung ist das die größere der beiden Flächen. Wer das kleinere Stück braucht, muss den Winkel durch seinen Ergänzungswinkel auf 360 Grad ersetzen. Die Höhe ist die Pfeilhöhe über der Sehnenmitte und nicht der Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt; die beiden sind verschieden, sobald das Segment größer als ein Halbkreis ist. Und einen Winkel gibt diese Seite nicht aus: Sie nimmt den Mittelpunktswinkel entgegen und liefert die vier Längen und Flächen dazu, nicht umgekehrt.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einem Kreissegment und einem Kreisausschnitt?
Beide werden von demselben Bogen begrenzt und enden an denselben zwei Punkten auf dem Kreis; sie unterscheiden sich nur in der dritten Kante. Der Ausschnitt wird von zwei Radien begrenzt und reicht bis zur Kreismitte, das Segment von der Sehne. Die Fläche des Segments ist deshalb die Fläche des Ausschnitts minus der Fläche des Dreiecks aus den beiden Radien und der Sehne.
Warum ist das Segment bei 60 Grad so viel kleiner als bei 90 Grad?
Weil das Dreieck, das man abzieht, bei kleinen Winkeln fast so groß ist wie der Ausschnitt selbst. Bei 60 Grad hat der Ausschnitt zwei Drittel der Fläche des Ausschnitts von 90 Grad, das Dreieck aber fast dieselbe Fläche wie vorher, weil der Sinus von 60 Grad kaum kleiner ist als der von 90 Grad. Der Rest ist dann nur noch ein dünner Streifen. Das Segment ist deshalb nicht proportional zum Winkel.
Was passiert bei einem Winkel über 180 Grad?
Dann beschreibt dieselbe Formel das größere der beiden Segmente, und man muss nichts umstellen. Der Sinus eines Winkels über 180 Grad ist negativ, das Dreieck wird also negativ, und aus dem Minuszeichen vor dem zweiten Summanden wird dadurch ein Plus. Bei 270 Grad kommt so eine Fläche heraus, die größer ist als der Halbkreis. Bei 360 Grad schließlich ist das Segment der ganze Kreis.
Wie messe ich die Höhe des Kreissegments an einem Werkstück?
Legen Sie ein Lineal senkrecht auf die Mitte der Sehne und lesen Sie ab, wie weit es bis zum Bogen ist. Diese Strecke ist die Höhe des Kreissegments, und sie ist der einzige der vier Werte, den man ohne den Kreismittelpunkt messen kann — Radius und Mittelpunktswinkel lassen sich an einem abgeschnittenen Stück nur mühsam bestimmen, die Pfeilhöhe dagegen direkt. Genau deshalb steht sie im Ergebnis.
Kann die Höhe größer werden als der Radius?
Ja, aber erst ab 180 Grad. Bei genau 180 Grad ist sie gleich dem Radius, denn dann ist das Segment ein Halbkreis und der höchste Punkt des Bogens liegt senkrecht über dem Mittelpunkt. Wird der Winkel größer, wächst sie weiter und erreicht bei 360 Grad den Durchmesser, also den doppelten Radius. Bis 180 Grad ist sie dagegen immer kleiner als der Radius.
Warum ist die Sehne kürzer als die Bogenlänge?
Weil beide dieselben zwei Punkte auf dem Kreis verbinden, die Sehne auf dem geraden Weg und der Bogen auf dem gekrümmten. Der gerade Weg zwischen zwei Punkten ist immer der kürzeste, deshalb ist die Sehne bei jedem Winkel kürzer als der Bogen — außer bei 0 Grad, wo beide null sind. Bei einem Drittelkreis ist der Unterschied schon deutlich: Die Sehne misst dort rund 10,39 Zentimeter, der Bogen rund 12,57 Zentimeter.

Quellen

Verwandte Rechner

Kreisausschnitt-RechnerFläche, Bogenlänge und Sehne aus Winkel und Radius.Kreis-RechnerRadius, Durchmesser, Umfang und Fläche aus einer Angabe.Bogenlänge-RechnerLänge des Bogens zwischen zwei Punkten auf einem Kreis.Mittelpunktswinkel-RechnerWinkel, den ein Bogen im Kreismittelpunkt aufspannt.