Zum Hauptinhalt springen
CalcMax

Kreisausschnitt-Rechner

Bereich: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Bereich: 0 ° – 360 °

Ergebnis

13,0900 cm²

Fläche

Bogenlänge
5,2360 cm
Sehne
5,0000 cm

Dieser Rechner nimmt den Radius und den Mittelpunktswinkel und gibt drei Zahlen für den Kreisausschnitt zurück: seine Fläche, die Länge seines Bogens und die Länge seiner Sehne. Ein Kreisausschnitt ist das Stück, das zwei Radien aus einer Kreisfläche herausschneiden — die Form eines Tortenstücks, und das Bild passt fast wörtlich, weil auch eine Torte genau so geteilt wird: von der Mitte aus, mit zwei geraden Schnitten, und der Winkel zwischen ihnen ist der Mittelpunktswinkel. Damit ist der Ausschnitt das eine von zwei Kreisstücken, die ein gerader Schnitt erzeugt. Legt man eine Sehne quer durch den Kreis, entstehen zwei Teile: der Ausschnitt, den die beiden Radien bis zum Rand aufspannen, und das Segment, also das Stück zwischen der Sehne und dem Bogen. Beide haben denselben Bogen und dieselbe Sehne und unterscheiden sich genau um das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne. Diese Seite rechnet den Ausschnitt; das Segment ist eine eigene Seite derselben Unterkategorie. Ein Ausschnitt lässt sich auf zwei Wegen beschreiben, und das ist die Entscheidung, die man einmal treffen muss. Entweder man gibt den Winkel an, oder man gibt an, welchen Anteil des ganzen Kreises man haben will. Diese Seite geht über den Winkel, und die Umrechnung ist denkbar einfach: Ein Mittelpunktswinkel von 90 Grad ist ein Viertel des Kreises, einer von 180 Grad die Hälfte, einer von 360 Grad der ganze Kreis. Der Anteil ist also der Winkel geteilt durch 360, und alle drei Ergebnisse entstehen aus diesem einen Bruch. Die Fläche ist der Anteil mal der Kreisfläche, die Bogenlänge der Anteil mal dem Umfang, und nur die Sehne fällt aus der Reihe: Sie hängt nicht linear am Winkel, weil sie eine gerade Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreis ist und keine Strecke längs des Kreises. Zwei Winkeln, die zusammen 360 Grad ergeben, gehören dieselbe Sehne, obwohl ihre Bögen verschieden lang sind. Drei Dinge über die Ausgabe. Der Winkel wird vor der Rechnung in Grad umgerechnet, egal was im Auswahlfeld steht: Wer den Mittelpunktswinkel auf Bogenmaß stellt und dort 1,5708 einträgt, bekommt dasselbe wie bei 90 Grad, und wer ihn auf Gon stellt und 100 einträgt, ebenfalls. Die drei Ergebnisse stehen mit vier Nachkommastellen da, weil zwei von ihnen das Verhältnis zur Kreiszahl π enthalten und deshalb niemals glatt aufgehen; nur die Sehne ist bei bestimmten Winkeln exakt, etwa bei 60 Grad, wo sie genau so lang ist wie der Radius. Und die Sehne kann nie länger werden als der Durchmesser, den sie bei 180 Grad erreicht — ein Ausschnitt von mehr als einer halben Umdrehung hat eine kürzere Sehne als einer von genau einer halben, weil die beiden Enden dann auf der anderen Seite des Kreises wieder zusammenrücken.

Kreisausschnitte aus Radius und Mittelpunktswinkel, mit Fläche, Bogen und Sehne

Radius (cm)Mittelpunktswinkel (°)Fläche (cm²)Bogenlänge (cm)Sehne (cm)
56013.095.2365
59019.6357.8547.0711
518039.269915.70810
536078.539831.41590
109078.539815.70814.1421
612037.699112.566410.3923
12270339.29256.548716.9706
50000

Acht Ausschnitte, und die ersten beiden Spalten sind die beiden Eingaben — das ist bei dieser Tabelle erwähnenswert, weil die übrigen Tabellen dieser Gruppe ihre Ausgangswerte in der Figur verstecken statt sie hinzuschreiben. Die erste Zeile ist die Voreinstellung des Formulars, und sie ist die erste, die man lesen sollte: Bei 60 Grad ist die Sehne mit fünf Zentimetern genau so lang wie der Radius, weil der Sinus von 30 Grad genau ein Halb ist. Die dritte Zeile ist der Halbkreis, und dort erreicht die Sehne mit zehn Zentimetern ihren größten Wert, nämlich den Durchmesser; die vierte Zeile ist der ganze Kreis, bei dem die Sehne auf null zurückfällt. Die vierte und die fünfte Zeile sind ein Paar, das man nebeneinander lesen sollte: Der Radius verdoppelt sich von fünf auf zehn Zentimeter, der Winkel viertelt sich von 360 auf 90 Grad, und die Fläche bleibt mit 78,5398 Quadratzentimetern dieselbe — das ist kein Zufall, sondern die Probe darauf, dass die Fläche mit dem Quadrat des Radius und nur mit der ersten Potenz des Winkels geht. Die letzte Zeile ist der Nullfall: kein Winkel, kein Ausschnitt, alle drei Werte null. Jede Zeile dieser Tabelle wird beim Bau der Seite aus ihren beiden Ausgangswerten neu gerechnet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (13.09 statt 13,09), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.

Formel

A = (θ ÷ 360) × πr² L = (θ ÷ 360) × 2πr c = 2r × sin(θ ÷ 2)

Radius
Der Radius des Kreises, aus dem der Ausschnitt geschnitten wird, in Zentimetern. Er darf null sein, dann ist der Ausschnitt ein Punkt und alle drei Ergebnisse sind null; negative Werte werden abgelehnt. Zulässig sind Radien bis zu einer Milliarde Zentimeter, und diese Grenze steht nicht dafür, dass es so große Ausschnitte gäbe, sondern dafür, dass die Fläche bei noch größeren Werten den darstellbaren Zahlenbereich verlässt
Mittelpunktswinkel
Der Winkel zwischen den beiden Radien, an der Kreismitte gemessen, in Grad. Er darf zwischen 0 und 360 Grad liegen. Bei 0 Grad ist vom Kreis nichts abgeschnitten, bei 360 Grad ist der Ausschnitt der ganze Kreis. Ein Winkel über 360 Grad wird abgelehnt, weil ein solcher Schnitt nicht mehr eindeutig festlegt, welches Stück gemeint ist
Fläche
Die Fläche des Ausschnitts in Quadratzentimetern. Sie wächst mit dem Quadrat des Radius — eine Verdopplung des Radius vervierfacht sie — und linear mit dem Winkel. Das ist der Hauptwert dieser Seite und der erste, den das Ergebnis zeigt
Bogenlänge
Die Länge des gekrümmten Randes, in Zentimetern. Sie wächst nur mit der ersten Potenz des Radius, nicht mit dem Quadrat, und genau darin unterscheidet sie sich von der Fläche: Bei doppeltem Radius ist der Bogen doppelt so lang, die Fläche aber viermal so groß
Sehne
Die gerade Verbindung zwischen den beiden Enden des Bogens, in Zentimetern. Sie ist die einzige der drei, die nicht linear am Winkel hängt und die bei mehr als einer halben Umdrehung wieder kürzer wird: Bei 180 Grad erreicht sie mit dem doppelten Radius ihren größten Wert, bei 360 Grad fällt sie auf null zurück, weil die beiden Enden dann zusammenfallen
sin(θ ÷ 2)
In die Sehne geht der halbe Mittelpunktswinkel ein, und das ist kein Zufall: Die beiden Radien und die Sehne bilden ein gleichschenkliges Dreieck, das man mit der Höhe auf die Sehne in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt, und in jedem davon steht der halbe Winkel. Bei 60 Grad ist der halbe Winkel 30 Grad, dessen Sinus ein Halb ist, und deshalb ist die Sehne dort genau so lang wie der Radius
θ ÷ 360
Der Bruchteil des Kreises, den der Ausschnitt einnimmt: der Mittelpunktswinkel geteilt durch 360. Bei 90 Grad ist das ein Viertel, bei 180 Grad die Hälfte. Dieser eine Wert geht in die Fläche und in die Bogenlänge ein und ist der Grund, warum sich beide so ähnlich verhalten; in die Sehne geht er nicht ein, weil dort der halbe Winkel steht
Vier Nachkommastellen
Die Anzeigebreite aller drei Ergebnisse. Sie sind keine Rundung auf eine sinnvolle Messgenauigkeit, sondern die Stelle, an der die Zahl abgeschnitten wird: Zwei der drei Werte sind irrational, weil sie π enthalten, und bei Eingaben mit vielen Stellen schneidet die Anzeige zusätzlich ab

Ein Kreisausschnitt taucht überall dort auf, wo von einer runden Fläche ein Stück mit einem Winkel beschrieben wird, und das ist häufiger, als es zunächst aussieht. Die Torte ist das Bild, das jeder kennt; die Anwendungen sind Erdteile und Himmelsrichtungen, ein Sektor in einem Kreisdiagramm, der Anteil einer kreisförmigen Fläche, der von einem Schwenkbereich überstrichen wird, ein Segment einer Scheibe oder einer Trommel, und in der Vermessung die Fläche, die zwei Peilungen aus einem Standpunkt aufspannen. Sobald die Frage „welcher Anteil des Kreises“ lautet und der Winkel bekannt ist, ist diese Seite zuständig. Zwei Kontrollen, die fast jede Fehleingabe abfangen. Die Fläche muss sich verdoppeln, wenn Sie den Winkel verdoppeln, solange Sie den Radius stehen lassen; tut sie das nicht, ist der Winkel in der falschen Einheit angekommen. Und die Sehne darf den doppelten Radius nicht überschreiten — bei 180 Grad erreicht sie ihn genau, bei jedem anderen Winkel bleibt sie darunter. Wenn Sie außerdem wissen wollen, wie viel von dem Kreisstück übrig bleibt, nachdem die gerade Verbindung abgezogen ist, brauchen Sie die Segmentseite: Der Ausschnitt und das Segment haben denselben Bogen und dieselbe Sehne, und das Segment ist der Ausschnitt ohne das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne.

Rechenbeispiele

  1. Ein Ausschnitt von 60 Grad

    1. Anteil: 60 ÷ 360 = 1/6
    2. Fläche: (1/6) × π × 25 = 13,0899…, gerundet 13,09 Quadratzentimeter
    3. Bogenlänge: (1/6) × 2 × π × 5 = 5,2359…, gerundet 5,236 Zentimeter
    4. Sehne: 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 0,5 = 5 Zentimeter

    Die Voreinstellung des Formulars und die Zeile, an der sich die Sehne am besten erklären lässt: Bei 60 Grad ist der halbe Winkel 30 Grad, dessen Sinus genau ein Halb ist, und deshalb ist die Sehne hier exakt so lang wie der Radius — fünf Zentimeter, ohne jede Rundung. Das ist der einzige Wert in diesem Beispiel, der glatt aufgeht. Fläche und Bogenlänge enthalten beide die Kreiszahl und lassen sich daher nicht exakt hinschreiben; sie stehen mit vier Nachkommastellen da, weil die vierte Stelle bei einem Radius von fünf Zentimetern gerade noch etwas aussagt.

  2. Ein Viertelkreis

    1. Anteil: 90 ÷ 360 = 1/4
    2. Fläche: 0,25 × π × 25 = 19,6349…, gerundet 19,635 Quadratzentimeter
    3. Bogenlänge: 0,25 × 2 × π × 5 = 7,8539…, gerundet 7,854 Zentimeter
    4. Sehne: 2 × 5 × sin(45°) = 7,0710…, gerundet 7,0711 Zentimeter

    Der Viertelkreis, und der Fall, in dem sich die Sehne am leichtesten nachrechnen lässt: Die beiden Radien stehen hier senkrecht aufeinander, das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne ist also rechtwinklig und gleichschenklig, und die Sehne ist die Hypotenuse — fünf mal Wurzel zwei, und das ist die 7,0711. Der Bogen ist mit 7,854 deutlich länger als die Sehne mit 7,0711, und dieser Unterschied ist der Grund, warum es überhaupt zwei verschiedene Längen zu berechnen gibt.

  3. Ein Halbkreis

    1. Anteil: 180 ÷ 360 = 1/2
    2. Fläche: 0,5 × π × 25 = 39,2699…, gerundet 39,2699 Quadratzentimeter
    3. Bogenlänge: 0,5 × 2 × π × 5 = 15,7079…, gerundet 15,708 Zentimeter
    4. Sehne: 2 × 5 × sin(90°) = 10 Zentimeter

    Der Halbkreis, und der Punkt, an dem die Sehne ihren größten Wert erreicht: 180 Grad ist die einzige Stelle, an der die beiden Enden des Bogens einander genau gegenüberliegen, und deshalb ist die Sehne hier der Durchmesser, also der doppelte Radius. Bei jedem Winkel darüber wird sie wieder kürzer, und genau das erwartet man zunächst nicht. Die Fläche ist hier die Hälfte der Kreisfläche, der Bogen die Hälfte des Umfangs — bei 180 Grad ist der Anteil so glatt wie nur möglich, und trotzdem steht in beiden Ergebnissen wieder die Kreiszahl.

  4. Ein Radius von sechs Zentimetern

    1. Anteil: 120 ÷ 360 = 1/3
    2. Fläche: (1/3) × π × 36 = 37,6991…, gerundet 37,6991 Quadratzentimeter
    3. Bogenlänge: (1/3) × 2 × π × 6 = 12,5663…, gerundet 12,5664 Zentimeter
    4. Sehne: 2 × 6 × sin(60°) = 10,3923…, gerundet 10,3923 Zentimeter

    Ein Drittelkreis mit einem größeren Radius, und der Fall, an dem man den Unterschied zwischen Fläche und Bogen am deutlichsten sieht. Der Radius ist gegenüber dem Viertelkreis oben von fünf auf sechs Zentimeter gewachsen, also um ein Fünftel; die Fläche hat sich dadurch um mehr als ein Fünftel vergrößert, weil sie mit dem Quadrat des Radius geht. Bei 120 Grad ist außerdem der halbe Winkel 60 Grad, und der Sinus von 60 Grad ist die halbe Wurzel aus drei — die Sehne ist hier also das Sechsfache von 0,8660…, und deshalb steht dort keine glatte Zahl, obwohl der Winkel glatt ist.

  5. Der ganze Kreis

    1. Anteil: 360 ÷ 360 = 1
    2. Fläche: 1 × π × 25 = 78,5398…, gerundet 78,5398 Quadratzentimeter
    3. Bogenlänge: 1 × 2 × π × 5 = 31,4159…, gerundet 31,4159 Zentimeter
    4. Sehne: 2 × 5 × sin(180°) = 0 Zentimeter

    Der Grenzfall am oberen Ende des erlaubten Bereichs, und der einzige, bei dem eine Null im Ergebnis steht. Bei 360 Grad ist vom Kreis nichts weggeschnitten: Die Fläche ist die Kreisfläche, die Bogenlänge der Umfang, und die beiden Radien fallen aufeinander. Die Sehne verbindet zwei Punkte, die derselbe Punkt geworden sind, und ist deshalb null. Man kann den Winkel nicht über 360 Grad hinaus erhöhen, und das ist eine bewusste Grenze: Ein Schnitt von 400 Grad würde dieselbe Fläche noch einmal überstreichen, aber niemand könnte sagen, welches Stück damit gemeint ist.

Einschränkungen

Diese Seite rechnet den Kreisausschnitt, also das Stück, das zwei Radien aus der Kreisfläche herausschneiden. Sie rechnet nicht das Kreissegment, also das Stück zwischen einer Sehne und dem Bogen — dafür gibt es eine eigene Seite derselben Unterkategorie, und beide Flächen unterscheiden sich um das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne. Der Mittelpunktswinkel ist auf den Bereich von 0 bis 360 Grad begrenzt. Werte darüber werden abgelehnt und nicht auf den Kreis zurückgerechnet, weil ein Schnitt von 400 Grad kein eindeutig bestimmtes Stück mehr beschreibt — dieselbe Fläche ließe sich dann auf mehrere Arten lesen. Der Radius darf null sein; negative Werte werden abgelehnt, und Radien über eine Milliarde Zentimeter ebenfalls, wobei diese Grenze aus der Zahlendarstellung kommt und nicht aus der Anschauung. Gerechnet wird durchgehend in Zentimetern und Quadratzentimetern. Der Mittelpunktswinkel darf im Auswahlfeld auf Bogenmaß oder Gon umgestellt werden; die Umrechnung geschieht vor der Rechnung, das Ergebnis hängt also nicht von der gewählten Einheit ab. Die drei Ergebnisse werden auf vier Nachkommastellen gerundet, und das ist bei diesem Rechner keine Frage der Messgenauigkeit: Fläche und Bogenlänge enthalten die Kreiszahl und gehen deshalb fast nie glatt auf, während die Sehne nur bei bestimmten Winkeln exakt ist. Bei Eingaben mit vielen Stellen schneidet die Anzeige zusätzlich ab. Die Sehne ist als gerade Verbindung der beiden Bogenenden definiert; wer die Länge des gekrümmten Randes braucht, muss die Bogenlänge lesen, und wer die längste gerade Strecke innerhalb des Ausschnitts braucht, bekommt sie hier nicht — das wäre die Strecke von einem Bogenende zur gegenüberliegenden Seite und nicht die Sehne. Und einen Winkel gibt diese Seite nicht aus: Sie nimmt den Mittelpunktswinkel entgegen und liefert die drei Längen dazu, nicht umgekehrt.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einem Kreisausschnitt und einem Kreissegment?
Der Ausschnitt wird von zwei Radien begrenzt und endet am Kreismittelpunkt, das Segment von einer Sehne und endet an deren beiden Enden. Bei einem Winkel unter 180 Grad ist der Ausschnitt der größere der beiden Teile. Beide haben denselben Bogen und dieselbe Sehne, und ihre Flächen unterscheiden sich genau um das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne.
Warum steht die Sehne nicht in derselben Zeile wie Fläche und Bogenlänge?
Weil sie anders rechnet. Fläche und Bogenlänge sind beide der Anteil am Vollkreis mal einer Größe des ganzen Kreises, sie hängen also linear am Winkel. Die Sehne dagegen ist eine gerade Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreis und hängt über den Sinus des halben Winkels am Winkel. Deshalb wird sie bei mehr als 180 Grad wieder kürzer, während Fläche und Bogen weiter wachsen.
Kann ich den Mittelpunktswinkel im Bogenmaß eingeben?
Ja, stellen Sie das Auswahlfeld neben dem Feld auf Bogenmaß um, und tragen Sie den Wert im Bogenmaß ein. Die Umrechnung in Grad geschieht vor der Rechnung, das Ergebnis ist dasselbe wie bei der Eingabe in Grad. Ein Viertelkreis ist entweder 90 Grad oder 1,5708 im Bogenmaß, und beide Eingaben liefern dieselbe Fläche.
Warum wird ein Mittelpunktswinkel über 360 Grad abgelehnt?
Weil ein solcher Schnitt nicht mehr festlegt, welches Stück gemeint ist. Vierhundert Grad überstreichen dieselbe Fläche wie vierzig Grad, aber die beiden Radien fallen dabei aufeinander und lassen sich nicht mehr als die Begrenzung eines bestimmten Stücks lesen. Unterhalb von 360 Grad ist die Zuordnung eindeutig, oberhalb nicht — deshalb die Grenze.
Die Sehne ist bei 180 Grad am längsten. Warum wird sie danach wieder kürzer?
Weil die beiden Enden des Bogens bei 180 Grad einander genau gegenüberliegen und der Abstand zwischen ihnen dann der Durchmesser ist, also der größte Abstand, den zwei Punkte auf einem Kreis überhaupt haben können. Wächst der Winkel darüber hinaus, wandert das zweite Ende auf der anderen Seite weiter, und die beiden Enden rücken wieder näher zusammen. Bei 360 Grad fallen sie zusammen, und die Sehne ist null.
Welche Einheit hat die Fläche?
Quadratzentimeter, wenn der Radius in Zentimetern eingegeben wurde. Der Rechner rechnet durchgehend in Zentimetern: Radius und Längen stehen in Zentimetern, die Fläche in Quadratzentimetern, und das gilt unabhängig davon, welche Einheit im Auswahlfeld neben dem Radius steht. Wird der Radius in Zoll eingegeben, rechnet die Seite ihn zuerst in Zentimeter um und gibt die Fläche weiterhin in Quadratzentimetern aus.

Quellen

Verwandte Rechner

Kreissegment-RechnerFläche zwischen Sehne und Bogen aus Radius und Winkel.Kreis-RechnerRadius, Durchmesser, Umfang und Fläche aus einer Angabe.Bogenlänge-RechnerLänge des Bogens zwischen zwei Punkten auf einem Kreis.Mittelpunktswinkel-RechnerWinkel, den ein Bogen im Kreismittelpunkt aufspannt.