Fünfeck-Rechner

A = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s² P = 5s a = s ÷ (2·tan(π ÷ 5)) Diagonale = φ·s Innenwinkel = 108°

Seite

Die Länge einer der fünf Seiten, in Zentimetern. Wie bei jedem regelmäßigen Vieleck ist das die einzige Eingabe: Alle fünf Seiten sind gleich lang und alle fünf Winkel stehen fest auf 108 Grad, die Seitenlänge allein bestimmt also die ganze Form

Fläche

Der Platz, den das Fünfeck einnimmt, in Quadratzentimetern: die Quadratwurzel aus fünfundzwanzig plus zehn mal der Quadratwurzel aus fünf, geteilt durch vier, mal der Seitenlänge zum Quadrat. Die Konstante beträgt etwa 1,7205, und das ist die Zahl, die man mitnehmen kann — ein Fünfeck bedeckt etwa das 1,72-Fache des Quadrats, das auf einer seiner Seiten steht

Umfang

Die Strecke einmal außen herum, in Zentimetern: fünf mal die Seitenlänge, da alle fünf gleich sind. Das ist der einzige Wert, der immer exakt ist, wenn es die Seitenlänge ist, und damit der Wert, gegen den man die anderen prüft, wenn ein Ergebnis falsch aussieht

Apothem

Der Abstand vom Mittelpunkt gerade hinaus zur Mitte einer Seite, in Zentimetern, also die Seitenlänge geteilt durch das Zweifache des Tangens von 36 Grad. Es ist der Radius des größten Kreises, der in das Fünfeck passt, und das Doppelte davon ist die Breite der Form über die flachen Seiten gemessen

Diagonale

Der Abstand zwischen zwei Ecken, zwischen denen genau eine Ecke liegt, in Zentimetern, also die Seitenlänge mal dem Goldenen Schnitt. Auf dieser Seite gibt es nur eine Diagonale und nicht zwei wie beim Sechseck, weil die fünf Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks alle gleich lang sind — jede überspringt genau eine Ecke, es gibt also kein längeres und kein kürzeres Paar zu unterscheiden

Innenwinkel

Der Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten, innen im Fünfeck: 108 Grad, allein durch die Seitenzahl dort festgelegt. Er hängt nicht von der Seitenlänge ab, deshalb steht in dieser Spalte der Tabelle in jeder Zeile dieselbe Zahl. Die Hälfte davon, 54 Grad, ist der Gehrungswinkel, den ein fünfeckiger Rahmen braucht

φ

Der Goldene Schnitt, etwa 1,6180339887, also die Zahl, mit der die Seitenlänge für die Diagonale multipliziert wird. Er ist das Verhältnis, in dem die Diagonalen eines Fünfecks einander schneiden, und der Grund, warum diese Form im Design und in Pflanzen weit häufiger auftaucht, als ihre Rechnung vermuten ließe

√5

Die Quadratwurzel aus fünf, etwa 2,2360680. Sie kommt über den Ausdruck fünfundzwanzig plus zehn mal Wurzel fünf in die Fläche, und sie ist der Grund, warum der Goldene Schnitt eine irrationale Zahl ist und kein Bruch — eins plus die Quadratwurzel aus fünf, geteilt durch zwei

Diese Seite ist für das Fünfeck als Gegenstand gedacht, und Fünfecke sind meist dekorativ und nicht tragend, was ändert, was man von den Zahlen will. Wer eines aus einer Platte schneidet — eine Tischplatte, ein Schild, eine Pflasterplatte, ein Gartenbeet —, für den sagt die Fläche, wie viel Material draufgeht, und das Apothem sagt, wie es vom Mittelpunkt aus anzuzeichnen ist, denn das Doppelte des Apothems ist die Breite über die flachen Seiten, und das ist das Maß, über das man wirklich ein Lineal legen kann. Die Diagonale sagt dann, ob das fertige Stück in den Platz passt, in den es soll, denn sie ist die breiteste Linie durch die Form, von Ecke zu Ecke durch die Mitte. Wer etwas aus fünf Teilen baut — einen Rahmen, eine Laterne, ein Pavillondach, einen Pflanzkübel —, greift zum Innenwinkel von 108 Grad, denn die Gehrung an jedem Teil ist seine Hälfte, 54 Grad, und diese Einstellung gilt für jedes regelmäßige Fünfeck, egal wie groß. Der Goldene Schnitt ist der Grund, auch dann auf die Spalte der Diagonalen zu schauen, wenn man sie nicht braucht: Er ist die Signatur dieser Form, und ein Fünfeck, dessen Diagonale nicht das 1,618-Fache seiner Seite ist, ist kein regelmäßiges Fünfeck, wie es auch aussehen mag. Und wer Formen vergleicht statt eine zu vermessen, für den ist die Tabelle mit gleicher Seitenlänge auf dieser und den beiden Seiten daneben der fairste Vergleich, den es gibt: Bei einer Seitenlänge von 6 bedeckt das Fünfeck 61,9372, das Sechseck 93,5307 und das Achteck 173,8234 — dieselbe Kante kauft mehr Fläche, je mehr Seiten es sind, auf dem Weg zum Kreis.

1. Eine Seitenlänge von 6

   1. Umfang: 5 × 6 = 30
   2. Diagonale: φ × 6 = 1,6180339… × 6 = 9,708203…, gerundet 9,7082
   3. Apothem: 6 ÷ (2 × tan 36°) = 6 ÷ 1,453085… = 4,129145…, gerundet 4,1291
   4. Fläche: 1,7204774… × 36 = 61,937187…, gerundet 61,9372
   5. Innenwinkel: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108, exakt

   Die Eingabe, mit der die Seite startet. Die Prüfung, die man daran einmal durchführt, ist die Diagonale geteilt durch die Seite: 9,7082 ÷ 6 ergibt 1,618, also den Goldenen Schnitt, und dieses Verhältnis gilt in jeder Zeile der Tabelle und bei jedem regelmäßigen Fünfeck, das es je gegeben hat. Das ist außerdem die Zeile, die sich mit den beiden Polygonseiten daneben bei gleicher Seitenlänge vergleichen lässt: Eine Seitenlänge von 6 ergibt hier 61,9372, gegenüber 93,5307 auf der Sechseckseite und 173,8234 auf der Achteckseite — dieselbe Kante, mehr Seiten, mehr Fläche. Das Fünfeck ist das kleinste der drei und zugleich das breiteste für seine Fläche, denn mit nur fünf Seiten ist es von ihnen am wenigsten kreisähnlich.

2. Eine Seitenlänge von 1

   1. Umfang: 5 × 1 = 5
   2. Diagonale: φ × 1 = 1,6180339…, gerundet 1,618
   3. Apothem: 1 ÷ (2 × tan 36°) = 0,688190…, gerundet 0,6882
   4. Fläche: 1,7204774… × 1 = 1,7204774…, gerundet 1,7205
   5. Innenwinkel: 108

   Das Einheitsfünfeck und die Zeile, in der die beiden Konstanten für sich stehen: Die Fläche ist 1,7205, das ist die ganze Flächenkonstante, und die Diagonale ist 1,618, das ist der Goldene Schnitt selbst. Beide lohnt es sich in dieser Form zu merken. Vergleicht man die Fläche mit dem Quadrat über der Seite eins, dessen Fläche 1 ist, sowie mit den 0,433 des Dreiecks und den 2,598 des Sechsecks: Fünf Seiten landen zwischen Quadrat und Sechseck, und das ist der Verlauf, dem die ganze Familie folgt.

3. Eine Seitenlänge von 3

   1. Umfang: 5 × 3 = 15
   2. Diagonale: φ × 3 = 4,854101…, gerundet 4,8541
   3. Apothem: 3 ÷ (2 × tan 36°) = 2,064572…, gerundet 2,0646
   4. Fläche: 1,7204774… × 9 = 15,484296…, gerundet 15,4843
   5. Innenwinkel: 108

   Die Zeile, die den Goldenen Schnitt am unhandlichsten und damit am überzeugendsten zeigt: Die Diagonale ist 4,8541 und die Seite ist 3, und 4,8541 ÷ 3 ergibt 1,618. Ein Verhältnis, das bei einer Seite von 1, einer von 3 und einer von 6 auf dieselben drei Stellen kommt, ist eine Eigenschaft der Form und nicht der Rechnung. Diese Zeile hat außerdem die dichtesten Werte für Fläche und Umfang in der Tabelle — 15,4843 gegen 15 —, und das ist eine knappe Verfehlung und keine Gleichheit, zumal beide ohnehin verschiedene Größen in verschiedenen Einheiten sind.

4. Eine Seitenlänge von 10

   1. Umfang: 5 × 10 = 50
   2. Diagonale: φ × 10 = 16,180339…, gerundet 16,1803
   3. Apothem: 10 ÷ (2 × tan 36°) = 6,881909…, gerundet 6,8819
   4. Fläche: 1,7204774… × 100 = 172,047740…, gerundet 172,0477
   5. Innenwinkel: 108

   Ein Fünfeck mit zehn Zentimetern Seitenlänge, ungefähr die Größe einer Pflasterplatte. Das Apothem von 6,8819 ist der Wert, mit dem man es anzeichnet: das Doppelte, 13,7638, ist die Breite über die flachen Seiten. In dieser Zeile steckt ein Zufall, den man besser bemerkt, bevor er wie ein Fehler aussieht — das Apothem ist hier 6,8819, und dieselben vier Ziffern hat weiter oben die Fläche bei einer Seitenlänge von 2. Beides ist derselbe Wurzelausdruck, aus verschiedenen Richtungen erreicht, das eine eine Länge und das andere eine Fläche, und dass sie bei diesen beiden Größen vier Ziffern teilen, bedeutet darüber hinaus nichts.

5. Eine Seitenlänge von 0

   1. Umfang: 5 × 0 = 0
   2. Diagonale: φ × 0 = 0
   3. Apothem: 0 ÷ (2 × tan 36°) = 0
   4. Fläche: 1,7204774… × 0 = 0
   5. Innenwinkel: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108

   Null ist eine zulässige Eingabe und kein leeres Feld, und diese Zeile macht die Natur des Innenwinkels am deutlichsten: Ein Fünfeck mit der Seitenlänge null ist zu einem Punkt zusammengefallen, vier der fünf Werte sind null, und der Innenwinkel beträgt immer noch 108 Grad. Er ist eine Eigenschaft der Form und nicht der Größe, überlebt die Größe also vollständig. Das Feld leer zu lassen ist der andere Fall: Steht nichts darin, zeigt die Seite überhaupt kein Ergebnis, weil es nichts gibt, wovon sich ausgehen ließe.

Diese Seite gilt nur für regelmäßige Fünfecke: alle fünf Seiten gleich lang und alle fünf Winkel 108 Grad. Ein Fünfeck, das nicht regelmäßig ist — ein hausförmiges etwa oder ein langgestrecktes —, hat keine einheitliche Seitenlänge und lässt sich durch eine Zahl nicht beschreiben; die Seite liefert dann stillschweigend die Werte des regelmäßigen Fünfecks mit dieser Seitenlänge, statt darauf hinzuweisen, dass die Form, die man im Kopf hat, eine andere ist. Die Ausgaben stehen in Zentimetern und Quadratzentimetern, unabhängig davon, was im Auswahlfeld für Einheiten steht; eine in Zoll eingegebene Seite kommt also als Zentimeterergebnis zurück, das man selbst umrechnen muss. Vier Dezimalstellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und für eine gemessene Seitenlänge sind sie großzügig; die letzten beiden Stellen bedeuten nichts, wenn die Eingabe nicht exakt war. Der Innenwinkel ist exakt 108 Grad und wird ohne Dezimalstellen ausgegeben, aber er ist in jeder Zeile derselbe, eine Seite, die auf eine Änderung der Seitenlänge nicht zu reagieren scheint, ist also nicht eingefroren — vier der fünf Werte haben sich bewegt. Es gibt auf dieser Seite eine Diagonale und nicht zwei, und das ist kein Versäumnis: Die fünf Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks sind alle gleich lang, es gibt also kein längeres und kein kürzeres Paar auszugeben. Die Seite ist zweidimensional und hat kein Feld für die Materialstärke, sie kann also weder das Volumen eines fünfseitigen Prismas noch das Gewicht einer fünfeckigen Platte liefern. Sie behandelt auch nicht den fünfzackigen Stern, der aus den Diagonalen gezeichnet wird — das ist eine Form aus mehreren Fünfeckportionen Dreiecken und nicht ein einziges Fünfeck.

Warum ist die Diagonale eines Fünfecks immer das 1,618-Fache seiner Seite?

Weil diese Zahl der Goldene Schnitt ist und ein regelmäßiges Fünfeck einer der deutlichsten Orte, an denen er auftaucht. Das Verhältnis ist dadurch definiert, dass sich das Ganze zum größeren Teil verhält wie der größere Teil zum kleineren, und die Diagonalen eines Fünfecks schneiden einander genau in diesem Verhältnis — wodurch das Verhältnis von Diagonale zu Seite dasselbe wieder ist. Es gilt bei jedem Fünfeck jeder Größe, in der Tabelle lässt sich also in jeder Zeile die Diagonale durch die Seite teilen und nachprüfen.

Warum zeigt diese Seite nur eine Diagonale, während die Sechseckseite zwei zeigt?

Weil ein regelmäßiges Fünfeck nur eine einzige Diagonalenlänge hat. Jede Diagonale verbindet zwei Ecken mit genau einer Ecke dazwischen, und aus Symmetrie kommen alle fünf gleich heraus. Beim Sechseck ist das anders: Bei sechs Ecken gibt es zwei verschiedene Spannweiten, eine, die eine Ecke überspringt, und eine, die gerade durchgeht, deshalb gibt jene Seite beide aus. Eine lange und eine kurze Diagonale für ein Fünfeck auszugeben hieße, dieselbe Zahl zweimal zu drucken und zum Suchen nach einem Unterschied einzuladen, den es nicht gibt.

Warum muss ich den Innenwinkel nicht neu berechnen, wenn ich die Seitenlänge ändere?

Weil die Winkel eines regelmäßigen Fünfecks allein durch die Anzahl der Seiten festgelegt sind und durch nichts sonst — sie ändern sich also mit der Seitenlänge nicht. Der Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks ist die Seitenzahl minus zwei, mal 180 Grad, geteilt durch die Seitenzahl; bei fünf Seiten sind das 108 Grad, und in diesem Ausdruck kommt keine Seitenlänge vor. Ein Fünfeck mit der Seite 1 und eines mit der Seite 100 haben dieselben Winkel und unterscheiden sich nur in der Größe. Deshalb steht in der letzten Spalte der Tabelle in jeder Zeile dieselbe Zahl, und deshalb passt eine Gehrungseinstellung von 54 Grad bei jedem Fünfeck, das man je schneiden wird.

Was ist das Apothem und wozu ist es hier gut?

Es ist der Abstand vom Mittelpunkt gerade hinaus zur Mitte einer Seite, und es ist der Radius des größten Kreises, der hineinpasst. Beim Fünfeck ist es der Wert, mit dem man die Form anzeichnet: Das Doppelte davon ist die Breite über die flachen Seiten, und über die flachen Seiten legt sich ein Lineal leicht, über die Ecken nicht. Wer ein Fünfeck auf einer Platte anzeichnet, misst vom Mittelpunkt fünfmal das Apothem ab und hat damit die Mittelpunkte aller fünf Seiten.

Lassen sich mit regelmäßigen Fünfecken Böden auslegen?

Nein, und es ist die einzige Form dieser Familie, bei der das nicht geht. Drei regelmäßige Fünfecke um einen Punkt herum lassen eine Lücke, weil dreimal 108 Grad 324 ergibt und ein voller Umlauf 360 ist — die fehlenden 36 Grad werden nie gefüllt. Deshalb brauchen fünfeckige Böden eine zweite Form zum Auffüllen, und deshalb ist das Fünfeck häufiger dekorativ als tragend, während das Sechseck, das sich perfekt auslegen lässt, die Form von Fliesen und Bienenwaben ist.

Darf die Seite null sein, und ist das dasselbe wie ein leeres Feld?

Null ist eine echte Eingabe: Vier der fünf Werte kommen als null zurück, was für ein Fünfeck ohne Größe die ehrliche Antwort ist, und der Innenwinkel beträgt weiterhin 108 Grad, weil er von der Größe überhaupt nicht abhängt. Ein leeres Feld ist etwas anderes — steht nichts darin, zeigt die Seite überhaupt kein Ergebnis, weil es nichts gibt, wovon sich ausgehen ließe. Dieser Unterschied zählt beim Tippen, denn das Leeren des Feldes, um eine Zahl neu einzugeben, sollte nicht kurz eine Zeile Nullen aufblitzen lassen.

• Pentagon — the five-sided polygon, with the area, the apothem, the diagonal and the 108-degree interior angle this page computes, and the golden-ratio proportion its diagonals cut each other in — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — the family a regular pentagon belongs to, with the interior angle fixed by the side count and the apothem defined as the distance from the centre to a side — Wolfram MathWorld (United States)
• Regelmäßige Vielecke — die deutsche Darstellung der regelmäßigen Vielecke, ihrer Innenwinkel, ihres Umfangs und ihrer Fläche — Lernhelfer
• Goldener Schnitt — die deutsche Darstellung des Verhältnisses, in dem die Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks einander schneiden — Lernhelfer