Quadratfläche-Rechner

A = s × s = s²

s

Eine Seitenlänge in Zentimetern: irgendeine der vier, denn alle vier sind gleich lang. Sie ist die einzige Eingabe, die diese Seite braucht, und sie darf nicht negativ sein. Sie darf jede Größe von 0 bis zu einer Milliarde Zentimeter annehmen, das sind zehntausend Kilometer — die Grenze steht dort, damit die Quadrierung in dem Bereich bleibt, den ein Computer exakt darstellen kann, und nicht, weil ein so großes Quadrat unvorstellbar wäre

A

Die Fläche des Quadrats in Quadratzentimetern: die Seitenlänge mit sich selbst malgenommen. Sie wird auf vier Nachkommastellen ausgegeben, dieselbe Breite wie auf den übrigen Flächenseiten dieser Unterkategorie, damit die Antworten hier und die Antworten auf dem Quadrat-Rechner und dem Rechteck-Rechner für dieselbe Form identisch dastehen

s × s

Die Multiplikation, ausgeschrieben statt als Potenz, damit man die beiden Faktoren als dieselbe Zahl erkennt. Genau das lässt die Fläche mit dem Quadrat der Seite wachsen: Eine doppelt so lange Seite ergibt die vierfache Fläche, eine dreimal so lange die neunfache, und eine halbierte Seite ein Viertel. Es ist die nützlichste Tatsache über diese Seite, denn sie bedeutet, dass eine grobe Schätzung der Seite eine grobe Schätzung der Fläche im Quadrat ist

cm²

Der Quadratzentimeter, die Einheit, in der die Antwort ausgegeben wird. Ein Quadratzentimeter ist ein Quadrat von einem Zentimeter Seitenlänge, 25 davon kacheln also ein Quadrat mit der Seite 5 genau aus — fünf Reihen zu fünf. Die kleine 2 ist keine Verzierung: Sie ist das Zeichen dafür, dass die Einheit zusammen mit der Zahl mit sich selbst malgenommen wurde, und sie ist der Grund, warum eine Fläche von 25 Quadratzentimetern keine Größe derselben Art ist wie ein Umfang von 20 Zentimetern, obwohl beide aus demselben Zentimeter gebaut sind

Quadratmeter

Was die Antwort wird, wenn die Seite in Metern gemessen ist: Eine Seite von 2 Metern ergibt 4 Quadratmeter, eine Seite von 3 ergibt 9. Diese Seite arbeitet in Zentimetern, eine in Metern eingegebene Seite wird also vor der Quadrierung in Zentimeter umgerechnet und die Antwort kommt in Quadratzentimetern zurück — 4 Quadratmeter sind 40.000 Quadratzentimeter. In die andere Richtung, von Quadratzentimetern zu Quadratmetern, wird durch zehntausend geteilt und nicht durch hundert, weil beide Dimensionen umgerechnet wurden

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie eine Seite von etwas Quadratischem gemessen haben und wissen wollen, wie viel Fläche es bedeckt: eine Fliese, eine Glasscheibe, eine Sperrholzplatte, ein Stück Grund, eine Tischplatte, ein Quadrat Stoff. Sie ist der kürzeste Weg vom Maßband zur Fläche, und die Tabelle darüber bedeutet, dass für die acht Größen, die sie auflistet, die Antwort bereits auf dem Bildschirm steht. Sie ist außerdem die Seite, mit der man die Zahl von jemand anderem prüft. Weil die Arithmetik eine einzige Multiplikation ist, lässt sich eine falsch aussehende Fläche in Sekunden von Hand nachrechnen — eine angegebene Fläche von 25 Quadratzentimetern für eine Seite von 5 stimmt, eine angegebene 25 für eine Seite von 10 stimmt nicht, denn 10 × 10 ist 100. Diese Prüfung lohnt sich bei jeder in Quadratmetern angegebenen Fläche, weil der Faktor zwischen Quadratzentimeter und Quadratmeter zehntausend beträgt und ein um die falsche Anzahl Stellen verschobenes Komma der häufigste Fehler in dieser ganzen Familie von Rechnungen ist. Nehmen Sie stattdessen den Quadrat-Rechner, wenn Sie den Umfang oder die Diagonale haben statt der Seite, oder wenn Sie alle vier Werte an einer Stelle wollen. Nehmen Sie den Rechteck-Rechner, wenn die beiden Seiten verschieden sind, was bei den meisten echten Zimmern und Platten der Fall ist — diese Seite setzt voraus, dass sie gleich sind, und ein Rechteck mit den Seiten 5 und 6 bedeckt 30 Quadratzentimeter und nicht 25.

1. Ein Quadrat mit einer Seite von 5 Zentimetern

   1. Die Seite mit sich selbst malnehmen: 5 × 5 = 25
   2. Die Antwort ist 25 Quadratzentimeter

   Die Zeile, mit der die Seite startet, und die, die man als Gegenprobe nimmt, wann immer eine Quadratfläche falsch aussieht: Die Arithmetik ist eine einzige Multiplikation, das lässt sich also ohne die Seite nachprüfen. Sie ist außerdem die Zeile, die sich mit zwei anderen Werkzeugen dieser Unterkategorie deckt — der Quadrat-Rechner mit einer Seite von 5 gibt eine Fläche von 25 aus, und der Rechteck-Rechner mit einer Länge von 5 und einer Breite von 5 gibt dieselben 25, was die klarste Art ist zu sehen, dass ein Quadrat ein Rechteck mit zwei zufällig gleich langen Seiten ist.

2. Ein Quadrat mit einer Seite von 2,5 Zentimetern

   1. Die Seite mit sich selbst malnehmen: 2,5 × 2,5 = 6,25
   2. Die Antwort ist 6,25 Quadratzentimeter

   Eine Seite mit einer Nachkommastelle ergibt eine Fläche mit zwei, und das ist kein Zufall dieses Beispiels: Quadrieren verdoppelt die Anzahl der Nachkommastellen, eine auf den Millimeter genau abgelesene Länge kommt also als Fläche mit zwei Nachkommastellen in Zentimetern zurück. Es zeigt außerdem, dass die vier Nachkommastellen, die diese Seite ausgibt, eine Anzeigebreite und keine Genauigkeitsaussage sind — 6,25 ist exakt, und die beiden angehängten Nullen, die die Seite bei einer längeren Antwort ausgeben würde, sind keine zusätzliche Genauigkeit. Wer Material zuschneidet, für den ist der Unterschied zwischen 6,25 und 6,3 Quadratzentimetern ein Span an der Kante, und beide sind so gut wie die 2,5, die Sie gemessen haben.

3. Ein Quadrat mit einer Seite von 12 Zentimetern

   1. Die Seite mit sich selbst malnehmen: 12 × 12 = 144
   2. Die Antwort ist 144 Quadratzentimeter

   Zwölf ist eine verbreitete Größe, weil sie einen Meter in ganze Zahlen teilt, und ein Quadrat von zwölf Zentimetern Seitenlänge ist eine vertraute Fliese. Die Zahl selbst ist einen Blick wert: 144 ist eine Quadratzahl, ihre eigene Wurzel ist also wieder die Seite, mit der Sie angefangen haben. Ein nützlicher Vergleich steht in derselben Tabelle: Eine Seite von 10 ergibt 100, zwei zusätzliche Zentimeter auf der Seite — ein Fünftel mehr — legen also fast die Hälfte an Fläche drauf, und das ist die Wachstumsregel an einem Größenpaar, das man sich vorstellen kann.

4. Ein Quadrat mit einer Seite von 0,5 Zentimetern

   1. Die Seite mit sich selbst malnehmen: 0,5 × 0,5 = 0,25
   2. Die Antwort ist 0,25 Quadratzentimeter

   Eine Seite von einem halben Zentimeter ergibt eine Fläche von einem Viertel Quadratzentimeter, und das überrascht beim ersten Mal: Die Antwort ist kleiner geworden als die Eingabe, wo doch jedes andere Beispiel auf dieser Seite sie größer macht. Die Regel hat sich nicht geändert — eine Zahl unter 1 mit sich selbst malgenommen wird immer kleiner —, und die praktische Folge ist, dass Flächen kleiner Dinge tatsächlich winzig sind: Eine in ganzen Quadratzentimetern angegebene Fläche für etwas von wenigen Millimetern Ausdehnung ist also einen zweiten Blick wert. Es ist zugleich die Zeile, die zeigt, was das Quadrieren mit dem Komma macht, denn eine Nachkommastelle beim Hineingehen werden zwei beim Herauskommen.

Diese Seite rechnet genau eine Sache: die Fläche eines Quadrats aus der Länge seiner Seite. Sie gibt den Umfang nicht aus, der viermal die Seite ist, und die Diagonale nicht, die die Seite mal der Wurzel aus zwei ist — beide folgen aus der Eingabe, die Sie ohnehin gemacht haben, und beide stehen auf dem Quadrat-Rechner, der die Seite der Wahl ist, wenn Sie sie hier haben wollen. Sie rechnet nicht rückwärts. Es gibt kein Feld für eine Fläche, das eine Seitenlänge ergäbe, die Frage, die ein Fliesenleger tatsächlich stellt — wie lang muss eine quadratische Fliese sein, um 50 Quadratzentimeter zu bedecken —, lässt sich hier also nicht beantworten, und sie braucht eine Wurzel statt einer Quadrierung. Die Antwort wird immer in Quadratzentimetern ausgegeben, unabhängig davon, womit die Seite eingegeben wurde: Eine Seite in Zoll, Fuß oder Metern kommt als Quadratzentimeterzahl zurück, die Sie selbst umrechnen müssen; die Einheiten-Auswahlfelder rechnen die Eingabe um und nicht die Ausgabe. Von Quadratzentimetern in Quadratmeter umzurechnen ist eine Division durch zehntausend und nicht durch hundert, und dieser Fehler ist die häufigste Art, wie eine Fläche von dieser Seite auf einem Angebot oder einem Bestellformular um den Faktor hundert danebenliegt. Eine negative Seite wird als Fehler gemeldet statt quadriert, denn ein Quadrat kann keine negative Kante haben; eine Seite von null dagegen wird mit einer Fläche von null beantwortet und nicht abgelehnt — ein Quadrat ohne Ausdehnung ist eine echte Antwort auf eine echte Frage, und die Seite gibt sie. Seitenlängen über einer Milliarde Zentimeter werden abgelehnt, was nichts mit Geometrie zu tun hat und alles damit, die Quadrierung im Bereich der Zahlen zu halten, die ein Computer exakt darstellt; unterhalb dieser Grenze sind die Flächen auf die vier gezeigten Nachkommastellen exakt. Die Seite prüft nicht, ob Ihre Form quadratisch ist. Sie setzt voraus, dass die vier Seiten gleich lang sind, wie der Name sagt, und sie rechnet bereitwillig die Fläche eines Rechtecks aus, das Sie falsch beschrieben haben — unterscheiden sich die beiden Seiten, ist der Rechteck-Rechner die richtige Seite, und er zeigt Ihnen den Unterschied sofort. Nichts hier berücksichtigt Verschnitt, Sägeschnitt, Kanten, Fugen oder die Abstände zwischen Fliesen, die Fläche, die diese Seite zurückgibt, ist also die Fläche der Form und nicht die Menge einzukaufenden Materials.

Wie lässt sich die Quadratfläche aus der Seitenlänge berechnen?

Die Seitenlänge mit sich selbst malgenommen, geschrieben A = s × s oder A = s². Ein Quadrat mit einer Seite von 5 Zentimetern bedeckt 25 Quadratzentimeter, weil 5 × 5 = 25 ist. Das ist die ganze Formel — es gibt keinen Faktor ein Halb und keine Konstante, und genau das macht das Quadrat zur einfachsten Fläche, die man berechnen kann, und zu dem Wert, den man sich als Bezugspunkt für jede andere Form merkt.

Warum ergibt die doppelte Seitenlänge die vierfache Fläche?

Weil das Quadrat in zwei Richtungen zugleich wächst. Verdoppeln Sie die Seite, haben Sie sowohl die Breite als auch die Höhe verdoppelt, die Fläche wird also zweimal mit zwei malgenommen: 2 × 2 = 4. Ein Quadrat mit einer Seite von 5 bedeckt 25 Quadratzentimeter, eines mit einer Seite von 10 bedeckt 100 und nicht 50. Dieselbe Regel läuft auch andersherum — die Seite zu halbieren teilt die Fläche durch vier, eine Seite von 2,5 bedeckt also 6,25, ein Viertel von 25. Das ist zugleich der Grund, warum eine kleine Änderung an einer Messung mehr ausmacht, als es aussieht.

Wie viele Quadratzentimeter hat ein Quadratmeter?

Zehntausend, nicht hundert. Ein Meter ist hundert Zentimeter, und eine Fläche umzurechnen heißt, beide Dimensionen umzurechnen, der Faktor ist also 100 × 100 = 10.000. Ein Quadratmeter sind 10.000 Quadratzentimeter, und ein Quadratzentimeter sind 0,0001 Quadratmeter. Dieselbe Falle steht zwischen Quadratzentimeter und Quadratmillimeter, wo der Faktor hundert beträgt, und zwischen Quadratmeter und Hektar, wo er wieder zehntausend ist. Wenn eine Fläche von dieser Seite auf ein in Quadratmetern ausgelegtes Bestellformular soll, teilen Sie durch zehntausend.

Kann ich diese Seite für ein Rechteck verwenden?

Nein, außer das Rechteck ist ein Quadrat. Diese Seite malnimmt eine Seite mit sich selbst, und das stimmt nur, wenn alle vier Seiten gleich lang sind; ein Rechteck von 5 Zentimetern auf 6 bedeckt 30 Quadratzentimeter, wo diese Seite für die Eingabe 25 melden würde. Der Rechteck-Rechner derselben Unterkategorie nimmt die beiden verschiedenen Seiten und malnimmt sie, und das ist die Seite für eine Form mit ungleichen Seiten — das Quadrat hier behandelt alles, was man ihm gibt, als Quadrat, und wer ihm den Umfang oder die Fläche eines Rechtecks füttert, erfährt also nur etwas über das Quadrat mit demselben Umfang oder derselben Fläche und nichts über sein Rechteck. Unterscheiden sich die beiden Seiten um weniger als die Breite Ihrer Bleistiftlinie, tun es beide Seiten.

Was ergibt eine Seite von null?

Eine Fläche von null, ausgegeben statt verweigert. Ein Quadrat ohne Ausdehnung hat keine Fläche, und das ist eine echte Antwort und kein Fehler — die Seite spart ihre Fehlermeldungen für negative Seiten auf, die es als Länge nicht geben kann. Geben Sie 0 ein, zeigt die letzte Zeile der Tabelle dasselbe. Der Nachbarfall ist ebenfalls wissenswert: Eine negative Seite wird als Fehler gemeldet, weil die Seite nicht erkennen kann, ob Sie die Länge gemeint haben, die Sie getippt haben, oder ihr Vorzeichen.

Warum kommt die Antwort mit vier Nachkommastellen zurück?

Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite, die die Flächenseiten dieser Unterkategorie teilen, damit dieselbe Form auf dieser Seite, auf dem Quadrat-Rechner und auf dem Rechteck-Rechner dieselbe Zeichenkette ausgibt. Es ist keine Aussage über die Genauigkeit. Eine mit dem Maßband auf den Millimeter genau gemessene Seite ist auf etwa ein Fünfzigstel genau, also weit gröber als die vierte Nachkommastelle der Antwort; die zusätzlichen Stellen stehen dort, damit exakte Antworten — 6,25 für eine Seite von 2,5, 0,25 für eine Seite von 0,5 — sauber herauskommen statt gerundet.

• Square — the four-sided figure with equal sides and right angles that this page computes the area of, including the relation between the side, the diagonal and the area — Wolfram MathWorld (United States)
• Area — the general treatment of what an area is and how it behaves under scaling, which is where the rule that doubling a side quadruples the area comes from — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratzahlen — die deutschsprachige Übersicht der Quadratzahlen von 1² bis 20² mit der Tabelle, aus der die 144 dieser Seite als 12² unmittelbar ablesbar ist — Mathepedia (Deutschland)
• NIST Special Publication 811 — the United States guide to the metric system, including the rule that a unit raised to a power carries that power in its symbol, which is why an area in centimetres is written cm² — National Institute of Standards and Technology (United States)