Trapezfläche-Rechner

A = (a + b) ÷ 2 × h

a

Eine der beiden parallelen Grundseiten, in Zentimetern. Welche Sie a und welche Sie b nennen, ist gleichgültig — die beiden werden addiert, also führt auch die umgekehrte Reihenfolge zur selben Zahl

b

Die andere parallele Grundseite, in Zentimetern. Sie darf länger oder kürzer als a sein; eine obere Grundseite, die länger ist als die untere, ist nur die umgedrehte Figur

h

Der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundseiten, in Zentimetern — im rechten Winkel zu beiden gemessen, nie entlang einer schrägen Seite

(a + b) ÷ 2

Der Mittelwert der beiden Grundseiten und der ganze Kunstgriff der Formel. Die Fläche eines Trapezes verhält sich, als wäre die Figur ein Rechteck, dessen Breite der Mittelwert ihrer beiden Grundseiten ist

Zwei

Der Divisor und der Grund, warum diese Seite die beiden anderen Formen mit enthält. Sind die Grundseiten gleich lang, heben sich Halbieren und Mitteln auf und Grundseite mal Höhe kommt zurück; ist eine Grundseite null, ist der Mittelwert die Hälfte der anderen, und das Halbieren des Dreiecks taucht wieder auf

Fläche

Wie viel Fläche das Trapez einschließt, in Quadratzentimetern — immer diese Einheit, was die Auswahlfelder auch sagen

Vier Nachkommastellen

Wie breit der Wert geschrieben wird. Das Halbieren der Summe zweier ganzer Zentimeterwerte geht auf, ein Bruchteil erscheint nur, wenn die Eingaben selbst einen mitbringen

Alles, was wie ein Trapez geformt ist und nach Fläche bedeckt oder berechnet wird. Dächer sind der klassische Fall und der Grund, warum die Form einen Namen im Wortschatz jedes Handwerkers hat: ein Walmdach, ein von der Seite gesehener Giebel, das Trapez zwischen zwei Dachgauben — sie alle sind diese Formel, und Dachdeckung wird nach Quadratmetern bestellt. Grundstücke sind der andere alte Fall: Ein Grundstück mit zwei parallelen und zwei nicht parallelen Seiten ist ein Trapez, und ein Grundstück mit mehr Seiten wird üblicherweise in Trapeze und Dreiecke zerlegt, so wie Vermesser unregelmäßigen Boden seit jeher vermessen. Darüber hinaus taucht dieselbe Form überall dort auf, wo etwas an einem Ende breiter ist als am anderen: eine sich verjüngende Einfahrt, das Stück Land zwischen zwei auseinanderlaufenden Straßen, eine Akustikplatte, ein sich erweiterndes Luftkanalstück, eine trapezförmige Tischplatte, die Ansichtsfläche einer Staumauer, eine Entwässerungsrinne. Ein Trapez hat zwei parallele Seiten und zwei, die es nicht sind; wer nur die eine Formel behält, hat damit die Fläche jedes Vierecks mit einem Paar paralleler Seiten — also auch die des Parallelogramms, des Rechtecks und des Dreiecks. Das ist der Sinn, in dem diese Seite die allgemeine ist.

1. Obere Grundseite 6, untere Grundseite 10, Höhe 4

   1. Beide Grundseiten addieren: 6 + 10 = 16
   2. Halbieren ergibt die mittlere Breite: 16 ÷ 2 = 8
   3. Mit der Höhe malnehmen: 8 × 4 = 32

   Die Werte, mit denen die Seite geladen wird. Dieselbe Zeile zeigt auch, dass die Reihenfolge der Grundseiten nichts ändert: Tragen Sie 10 oben und 6 unten ein, kommt wieder 32 heraus. Die beiden werden addiert, bevor irgendetwas anderes geschieht, also sind die Felder gar keine obere und untere — es sind schlicht die beiden parallelen Seiten.

2. Obere Grundseite 12, untere Grundseite 4, Höhe 7

   1. Beide Grundseiten addieren: 12 + 4 = 16
   2. Halbieren: 16 ÷ 2 = 8
   3. Mit der Höhe malnehmen: 8 × 7 = 56

   Ein Trapez, dessen obere Grundseite länger ist als die untere. Das ist kein Fehler und in keiner Weise eine andere Figur — es bedeutet nur, dass sie auf ihrer längeren Seite steht. Weil die beiden Grundseiten addiert werden, bevor irgendetwas anderes geschieht, führt auch 4 oben und 12 unten zur selben 56. Probieren Sie beide Richtungen und sehen Sie zu, wie die Antwort sich weigert, sich zu ändern.

3. Obere und untere Grundseite je 8

   1. Beide Grundseiten addieren: 8 + 8 = 16
   2. Halbieren: 16 ÷ 2 = 8
   3. Mit der Höhe malnehmen: 8 × 5 = 40

   Die Parallelogramm-Zeile. Sind die beiden Grundseiten gleich lang, gibt es nichts mehr zu mitteln, und die Formel tut, was die Seite zum Parallelogramm tut: Grundseite mal Höhe, also 40. Halbieren und Mitteln heben sich genau auf — deshalb enthält diese Seite jene, statt mit ihr um dieselbe Frage zu streiten.

4. Obere Grundseite 0, untere Grundseite 10

   1. Beide Grundseiten addieren: 0 + 10 = 10
   2. Halbieren: 10 ÷ 2 = 5
   3. Mit der Höhe malnehmen: 5 × 4 = 20

   Die Dreieck-Zeile, das andere Ende der Formel. Eine obere Grundseite von null heißt, dass die Figur auf einen Punkt zusammengedrückt wurde; sie ist also ein Dreieck mit einer Grundseite von 10 und einer Höhe von 4 — und die Seite zum Dreieck liefert für genau diese beiden Zahlen 20. Der Mittelwert von 0 und 10 ist 5, also die Hälfte der Grundseite, und das ist das Halbieren des Dreiecks, das hier von der anderen Seite herbeikommt.

5. Obere Grundseite 1, untere Grundseite 9, Höhe 10

   1. Beide Grundseiten addieren: 1 + 9 = 10
   2. Halbieren: 10 ÷ 2 = 5
   3. Mit der Höhe malnehmen: 5 × 10 = 50

   Ein schmales Band auf einem viel breiteren — so sieht ein sich verjüngendes Grundstück oder ein sich erweiterndes Luftkanalstück tatsächlich aus. Der Mittelwert von 1 und 9 ist 5, und 5 ist auch der Mittelwert von 0 und 10 — dieselbe Tatsache wie in der Zeile darüber, nur an einem anderen Zahlenpaar betrachtet. Hier brauchte nichts eine Nachkommastelle, und nichts wurde gerundet.

Diese Seite berechnet die Fläche und sonst nichts. Sie liefert keinen Umfang, keine Schenkellängen, keine Höhe und keine Winkel und rechnet auch nicht von einer Fläche rückwärts auf ein fehlendes Maß — eine Fläche allein legt ein Trapez nicht fest, es gibt also nichts, worauf sich rückwärts schließen ließe. Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundseiten und nicht die Länge einer schrägen Seite; wenn das einzige Maß, das Sie haben, entlang einer der schrägen Kanten läuft, ist es die falsche Zahl für dieses Feld. Beide Grundseiten und die Höhe müssen in derselben Einheit vorliegen, und die Antwort steht immer in Quadratzentimetern, was die Auswahlfelder auch sagen — eine in Zoll gemessene Figur kommt also als Quadratzentimeterwert zurück und muss durch 6,4516 geteilt werden, um in Quadratzoll gelesen zu werden. Die Figur muss genau ein Paar paralleler Seiten haben: Ein allgemeines Viereck ohne parallele Seiten muss in Dreiecke zerlegt werden, und eine Figur mit zwei Paaren paralleler Seiten ist ein Parallelogramm, das diese Seite zwar ebenfalls berechnet, für das es aber eine eigene Seite gibt. Ein auf eine gekrümmte Fläche gezeichnetes Trapez liegt außerhalb des Bereichs, ebenso das Volumen eines Körpers mit trapezförmigen Flächen.

Ist es gleichgültig, welche Grundseite in welches Feld kommt?

Ja, und das lohnt sich vor dem Tippen zu wissen. Die Formel addiert die beiden, bevor sie irgendetwas anderes tut, also ergibt eine Grundseite von 6 mit einer von 10 dieselbe Antwort, egal in welcher Reihenfolge sie eingetragen werden. Eine obere Grundseite, die länger ist als die untere, ist ebenfalls kein Fehler — das Trapez steht dann nur andersherum.

Was genau ist die Höhe?

Der senkrechte Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten, im rechten Winkel zu beiden gemessen. Es ist nicht die Länge einer der schrägen Seiten, die immer länger ist, sobald die Figur sich neigt. Es ist dieselbe Warnung wie auf der Seite zum Dreieck, und aus demselben Grund: Wer eine schräge Seite einträgt, bekommt eine größere Fläche, die vollkommen plausibel aussieht.

Warum gibt es die Seite zum Parallelogramm, wenn diese es doch mit abdeckt?

Weil die meisten, die die Fläche eines Parallelogramms suchen, es nicht als Trapez mit zwei gleich langen Grundseiten denken, und ihnen diesen Schritt abzuverlangen kostet Mühe ohne Gewinn. Die beiden Seiten stimmen genau überein: Geben Sie hier zwei Grundseiten von 8 und eine Höhe von 5 ein, erhalten Sie 40, und genau das druckt die Parallelogramm-Seite für dieselbe Figur. Die Überschneidung ist Absicht, und jede der beiden Tabellen hat eine Zeile, die auf diesem Punkt sitzt.

Was ist, wenn eine der Grundseiten null ist?

Dann ist das Trapez auf einen Punkt zusammengedrückt und es ist ein Dreieck, und die Antwort stimmt. Eine obere Grundseite von null mit einer unteren von 10 und einer Höhe von 4 ergibt 20 — dieselbe 20, die die Dreiecksseite für eine Grundseite von 10 und eine Höhe von 4 liefert, denn es ist dieselbe Figur. Die null wird dabei als echter Wert behandelt und nicht als leeres Feld; ein leeres Feld ist etwas anderes und zeigt gar kein Ergebnis.

Lässt sich aus der Fläche eine fehlende Grundseite erschließen?

Nicht aus der Fläche allein. Eine Fläche legt ein Trapez nicht fest — es gibt unendlich viele Trapeze mit derselben Fläche und sehr verschiedenen Seiten —, es gibt also nichts, worauf sich rückwärts schließen ließe. Wenn Sie die Fläche, die Höhe und eine der Grundseiten kennen, folgt die andere Grundseite durch Umstellen der Formel, aber das ist Rechnen auf dem Papier und nichts, was diese Seite anbietet.

Heißt Trapez im Deutschen dasselbe wie im Englischen?

Ja. Das Englische trennt zwischen trapezoid und trapezium je nachdem, ob ein oder kein Paar paralleler Seiten vorliegt, das Deutsche nicht. Ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten heißt hier immer Trapez, und beide englischen Wörter meinen dieselbe Figur. Deshalb gibt es auf dieser Seite auch keine Fallunterscheidung — die Formel ist für jedes Trapez dieselbe.

• Trapezoid — the shape, the vocabulary of bases and legs, and the area formula this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — what a trapezoid becomes when its two bases are equal, and the base-times-height result it collapses into — Wolfram MathWorld (United States)
• Flächeninhalt eines Trapezes — Herleitung der Formel über die mittlere Breite, mit Rechenbeispielen und der Aussage, dass die Reihenfolge der beiden Grundseiten keine Rolle spielt — Mathebibel (Deutschland)
• Trapez — Eigenschaften, Flächeninhalt und Umfang, mit den Begriffen Grundseite, Schenkel und Höhe in der deutschen Schreibweise — Frustfrei-Lernen.de (Deutschland)