Dreiecksfläche-Rechner

A = b × h ÷ 2

Grundseite

Eine beliebige der drei Seiten, in Zentimetern. Welche Sie wählen, ist gleichgültig, solange die Höhe gegen dieselbe Seite gemessen wird

Höhe

Der senkrechte Abstand von der Grundseite hinauf zur gegenüberliegenden Ecke, in Zentimetern — im rechten Winkel zur Grundseite gemessen, niemals entlang einer schrägen Seite

Fläche

Wie viel Fläche das Dreieck einschließt, in Quadratzentimetern. Die Hälfte dessen, was ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und derselben Höhe bedecken würde

Zwei

Der Divisor und der ganze Grund, warum die Formel nicht einfach Grundseite mal Höhe heißt. Ein Dreieck ist die Hälfte des Parallelogramms, das aus einer um eine halbe Umdrehung gedrehten Kopie entsteht

b × h

Die Fläche jenes Parallelogramms, zuerst gerechnet und danach halbiert. Erst multiplizieren, dann teilen — so bleibt die letzte Stelle richtig, wenn die Zahlen nicht ganz sind

Vier Dezimalstellen

Die Breite der Anzeige. Das Halbieren eines exakten Produkts kann einen Bruch hinterlassen — eine Grundseite von 7 mit einer Höhe von 5 ergibt 17,5, und eine Grundseite von einem halben Zentimeter ergibt ein Viertel

Quadratzentimeter

Die Einheit der Antwort, unabhängig davon, was in den Feldern steht. Eine Fläche steht immer in quadrierten Einheiten, eine in Zoll eingegebene Grundseite und Höhe kommen also als Quadratzentimeter zurück, die Sie für Quadratzoll durch 6,4516 teilen

Diese Seite beantwortet die Flächenfrage für jede Form, die ein Dreieck ist, gleich aus welchem Material und gleich wie gezeichnet. Grundstücke sind der älteste Fall: Ein Grundstück, das spitz zuläuft, ist ein Dreieck, und eines mit vier Ecken sind zwei Dreiecke — deshalb arbeiten Vermesser so, seit es Grundbücher gibt. Dacheindeckung, Verkleidung und Verglasung sind die modernen Fälle, und sie alle bringen eine Rechnung mit: ein Giebel, eine dreieckige Scheibe, ein Keil Blech, jedes nach Quadratmeter bepreist, die Fläche muss also stimmen, bevor bestellt wird. Stoff und Papier im Diagonalzuschnitt sind dieselbe Rechnung in einer anderen Einheit, ebenso das Segel eines Bootes oder die Dreiecksfläche einer Pyramide. Und es ist die zweite Hälfte sehr vieler anderer Arbeiten: Jedes Vieleck lässt sich in Dreiecke zerlegen, und wenn eines davon sitzt, ist der Rest Rechnen — deshalb taucht diese Formel in Rechnern für Vierecke, Prismen und Dächer wieder auf, und deshalb lohnt es sich, sie für sich sicher zu beherrschen. Dazu kommt die Schülerversion: rechtwinklige Dreiecke, gleichschenklige, die auf kariertem Papier, bei denen sich die Kästchen abzählen und das Ergebnis selbst nachprüfen lässt. Diese Probe lohnt sich einmal, denn zu sehen, dass Abzählen und Formel übereinstimmen, ist der Moment, in dem das Halbieren aufhört, eine Merkregel zu sein.

1. Eine Grundseite von 10 und eine Höhe von 6

   1. Grundseite mal Höhe: 10 × 6 = 60
   2. Halbieren: 60 ÷ 2 = 30

   Die Belegung, mit der die Seite startet, und die Zeile, die den Bezug zum Parallelogramm herstellt: Geben Sie dieselbe Grundseite und dieselbe Höhe als Parallelogramm ein, kommt 60 heraus, also genau das Doppelte. Wenn Sie sich von dieser Seite eine Zahl merken, dann diese — sie ist der schnellste Weg zu prüfen, ob eine Dreiecksfläche plausibel ist.

2. Eine Grundseite von 7 und eine Höhe von 4

   1. Grundseite mal Höhe: 7 × 4 = 28
   2. Halbieren: 28 ÷ 2 = 14

   Der Normalfall: eine ungerade Grundseite, eine gerade Höhe und eine ganzzahlige Antwort. Nichts daran ist eine besondere Form, und nichts musste in einem bequemen Winkel gemessen werden. So sehen die meisten echten Dreiecke aus — ein grobes Grundstück, ein Giebel, ein schräg zugeschnittenes Stück Pappe —, und die Formel stört sich nicht daran, dass die Seiten ungleich sind.

3. Eine Grundseite von 5 und eine Höhe von 8

   1. Grundseite mal Höhe: 5 × 8 = 40
   2. Halbieren: 40 ÷ 2 = 20

   Die Zeile zum Vergleich mit der Trapezseite. Geben Sie einem Trapez eine obere Grundseite von 0, eine untere von 10 und eine Höhe von 4, kommt ebenfalls 20 heraus, weil ein Trapez mit einer Grundseite von 0 ein Dreieck ist. Beide Seiten drucken für dieselbe Form dieselbe Zahl, und genau dafür gibt es beide.

4. Eine Grundseite von 12,5 und eine Höhe von 8

   1. Grundseite mal Höhe: 12,5 × 8 = 100
   2. Halbieren: 100 ÷ 2 = 50

   Eine Messung mit einer Nachkommastelle, wie sie ein Maßband üblicherweise liefert. Die Multiplikation geschieht vor dem Halbieren, und das Halbieren geht exakt auf, es schleicht sich also kein Rundungsfehler ein — die Antwort ist genau 50 und nicht 50,0000-und-etwas.

5. Eine Grundseite von 20 und eine Höhe von 0

   1. Grundseite mal Höhe: 20 × 0 = 0
   2. Halbieren: 0 ÷ 2 = 0

   Eine Höhe von null heißt, dass das Dreieck auf seine eigene Grundseite geklappt und damit zu einer Strecke geworden ist. Null ist eine gültige Eingabe, das hier ist also eine echte Antwort und keine fehlende — die Seite unterscheidet das von einem leeren Feld, bei dem gar kein Ergebnis erscheint, weil es nichts zu rechnen gibt.

Diese Seite nimmt eine Grundseite und eine senkrechte Höhe und sonst nichts. Aus den drei Seiten eines Dreiecks arbeitet sie nicht, das ist eine andere Rechnung mit einer eigenen Formel und einer eigenen Seite. Sie liefert keinen Umfang, keine Winkel und keine Seitenlängen, und die Höhe ist keine schräge Seite — wenn die einzige Messung, die Sie haben, entlang einer Dreieckskante verläuft, muss diese Kante erst in eine senkrechte Höhe überführt werden, bevor sie hier nützt. Die Antwort steht immer in Quadratzentimetern, unabhängig davon, was im Feld ausgewählt ist, und da es sich um eine Fläche handelt, ist die Umrechnung quadratisch: Eine in Zoll eingegebene Grundseite und Höhe kommen als Quadratzentimeter zurück, und um das in Quadratzoll zu lesen, teilen Sie durch etwa 6,45 und nicht durch 2,54. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und die Hälfte eines exakten Produkts kann tatsächlich ein Bruch sein — eine Grundseite von 7 mit einer Höhe von 5 ergibt 17,5. Null wird für beide Eingaben angenommen und ergibt eine Fläche von null, was für ein entartetes Dreieck richtig ist und nicht dasselbe wie leere Felder. Nichts hier behandelt eine gekrümmte Seite, ein auf eine Kugel gezeichnetes Dreieck oder die Dicke eines Materials — es geht allein um die ebene, zweidimensionale Figur.

Welche Seite ist die Grundseite?

Jede der drei, solange die Höhe gegen die Seite gemessen wird, die Sie gewählt haben. Ein Dreieck hat drei mögliche Paare aus Grundseite und Höhe, und alle drei ergeben dieselbe Fläche — eine gute Probe, die man einmal laufen lassen sollte: Nehmen Sie ein Dreieck, rechnen Sie die Fläche von jeder Ecke aus der Reihe nach und sehen Sie zu, wie die drei Antworten übereinstimmen. Der Seite ist gleichgültig, welches Paar Sie verwenden.

Warum ist die Antwort die Hälfte von Grundseite mal Höhe?

Weil zwei Kopien eines Dreiecks ein Parallelogramm ergeben. Nehmen Sie das Dreieck, kopieren Sie es, drehen Sie die Kopie um eine halbe Umdrehung und fügen Sie beide entlang einer passenden Seite zusammen — die entstandene Form hat dieselbe Grundseite und dieselbe Höhe und genau die doppelte Fläche. Das Dreieck ist die Hälfte davon. Das ist das ganze Argument, und es gilt für jedes Dreieck, nicht nur für die ordentlichen.

Darf ich eine schräge Seite als Höhe einsetzen?

Nein, und genau diesen Fehler soll die Seite verhindern. Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundseite hinauf zur gegenüberliegenden Ecke, im rechten Winkel zur Grundseite gemessen. Eine schräge Seite ist länger als dieser Abstand, sobald das Dreieck sich neigt, mit ihr wird die Fläche also zu groß. Gleich sind die beiden Zahlen nur im rechtwinkligen Dreieck, wo eine der Seiten ohnehin im rechten Winkel auf der Grundseite steht.

Wo ist die Fassung mit den drei Seiten?

Auf einer eigenen Seite. Die Fläche eines Dreiecks aus seinen drei Seitenlängen zu bestimmen, benutzt eine andere Formel mit einer Wurzel statt einer Halbierung, und das ist ein getrenntes Werkzeug. Diese Seite tut bewusst nur eine Sache, dieselbe Entscheidung, die auch die Kreis- und Kugelseiten dieser Gruppe treffen: Eine Seite, die eine Frage beantwortet, ist leichter zu benutzen als eine, die erst fragt, welche der mehreren Fragen gemeint war.

Kommt es auf die Einheiten an?

Die Auswahl ändert, was Sie eintragen, nicht was herauskommt. Die Anzeige steht immer in Quadratzentimetern, und weil es eine Fläche ist, wird die Umrechnung quadriert — ein in Zoll gemessenes Dreieck kommt als Quadratzentimeterzahl zurück, und Sie teilen durch 6,4516, um sie in Quadratzoll zu lesen. In Fuß einzutragen und die Antwort als Quadratfuß zu lesen, ist der Fehler, auf den Sie achten sollten.

Was ist, wenn eine der Zahlen null ist?

Die Antwort ist null, und das ist richtig: Ein Dreieck ohne Höhe ist auf seine Grundseite geklappt und bedeckt nichts. Null wird als echter Wert behandelt und nicht als leeres Feld, die Seite gibt also ein Ergebnis aus. Ein leeres Feld ist etwas anderes — dann gibt es nichts zu rechnen, und es erscheint überhaupt kein Ergebnis.

• Triangle Area — the half-base-times-height formula this page computes, with the parallelogram argument that shows why the halving is there — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the shape two copies of a triangle make, whose area is exactly double, and the reason the divisor in the formula is two — Wolfram MathWorld (United States)
• NIST Special Publication 811 — the United States guide to the metric system, including the rule that a unit raised to a power carries that power in its symbol, which is why an area in centimetres is written cm² — National Institute of Standards and Technology (United States)