Dreieckshöhe-Rechner
Ergebnis
Höhe
Der Dreieckshöhe-Rechner nimmt die Fläche eines Dreiecks und die Grundseite, gegen die sie gemessen wurde, und gibt die senkrechte Höhe zurück: wie weit es von dieser Grundseite hinauf zur gegenüberliegenden Ecke ist, in Zentimetern. Es ist die Formel für die Dreiecksfläche, rückwärts gelesen. Die Flächenseite multipliziert eine Grundseite mit einer Höhe und halbiert das Ergebnis; diese Seite verdoppelt die Fläche und teilt durch die Grundseite — dieselbe Beziehung, nur mit der Unbekannten auf der anderen Seite. Vom Dreieck selbst wird nichts gebraucht: keine Winkel, keine der beiden anderen Seiten, kein Umfang, denn Fläche und Grundseite legen die Höhe zusammen schon auf eine einzige Zahl fest. Das ist der Punkt, an dem es sich lohnt innezuhalten, weil er die meisten überrascht. Ein Dreieck mit einer Fläche von 30 Quadratzentimetern und einer Grundseite von 10 Zentimetern hat eine Höhe von 6, und es kann keine andere haben, so schief die Form auch ist. Die ganze Freiheit des Dreiecks steckt darin, wo die obere Ecke entlang der Grundseite sitzt, und nicht darin, wie hoch sie liegt. Worauf zu achten ist, ist dasselbe, wovor die Flächenseite warnt, nur aus der anderen Richtung: Die Grundseite ist hier die Seite, gegen die die Höhe gemessen wird, und die Höhe muss senkrecht auf ihr stehen. Tragen Sie eine schräge Seite als Grundseite ein, kommt eine Höhe heraus, die etwas zu klein ist, und auf der Seite deutet nichts darauf hin, dass etwas schiefging. Wer die Höhe berechnen will und nicht sicher ist, welche Messung er in der Hand hat, klärt das zuerst auf der Flächenseite, weil die das Paar ausdrücklich abfragt.
Die senkrechte Höhe eines Dreiecks aus Fläche und Grundseite
| Fläche (cm²) | Grundseite (cm) | Höhe (cm) |
|---|---|---|
| 30 | 10 | 6 |
| 20 | 5 | 8 |
| 7.5 | 6 | 2.5 |
| 12 | 8 | 3 |
| 8 | 4 | 4 |
| 9 | 9 | 2 |
| 21 | 7 | 6 |
| 0 | 5 | 0 |
Acht Dreiecke und drei Spalten, weil die Seite eine Formel und eine Antwort hat. Die ersten drei Zeilen teilen sich mit der Flächenseite absichtlich dieselben Zahlen, nur andersherum gelesen: Eine Fläche von 30 mit einer Grundseite von 10 ergibt 6, eine Fläche von 20 mit einer Grundseite von 5 ergibt 8, und eine Fläche von 7,5 mit einer Grundseite von 6 ergibt 2,5 — und die Flächenseite gibt für dieselben drei Dreiecke 30, 20 und 7,5 aus, wenn man ihr Grundseite und Höhe reicht. Die beiden Tabellen nebeneinander zu lesen ist der schnellste Weg zu sehen, dass es eine Formel ist und nicht zwei. Die fünfte Zeile ist das rechtwinklige Dreieck mit zwei gleich langen Schenkeln, bei dem eine Fläche von 8 mit einer Grundseite von 4 eine Höhe von 4 zurückgibt: Hier ist die Grundseite der eine Schenkel und die Höhe der andere, deshalb sind beide gleich. Das ist eine andere Linie als die Höhe auf die Hypotenuse, die 4 ÷ √2 = 2,8284 misst und mitten auf der Hypotenuse auftrifft. Die sechste Zeile prüft sich selbst: Eine Fläche von 9 mit einer Grundseite von 9 ergibt immer 2, welche Zahl auch steht, denn verdoppelt und durch sich selbst geteilt kann nur 2 herauskommen. Die siebte Zeile hat eine ungerade Grundseite und kommt trotzdem exakt auf 6, und das ist der Sinn des Verdoppelns vor dem Teilen: Die Division ist dann der letzte Schritt, es gibt also nur eine einzige Rundung, und die geschieht am Ausgang. Die letzte Zeile hat eine Fläche von null, das Dreieck ist auf seine Grundseite gefallen und die Höhe ist null — eine echte Antwort und keine fehlende. Jeder Wert wird beim Bau der Seite aus seinen zwei Eingaben neu gerechnet, in Zentimetern, und die vier Nachkommastellen sind dieselben vier, die das Ergebnisfeld verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (7.5 statt 7,5), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.
Formel
h = 2 × A ÷ b
- Fläche
- Wie viel Fläche das Dreieck bedeckt, in Quadratzentimetern. Das ist die Zahl, die die Flächenseite liefert und die hier als Ausgangspunkt zurückgegeben wird
- Grundseite
- Die Seite, gegen die die Höhe gemessen wird, in Zentimetern. Jede der drei Seiten ist recht, solange die gesuchte Höhe die senkrecht auf ihr stehende ist
- Höhe
- Was diese Seite ausrechnet: der senkrechte Abstand von der Grundseite hinauf zur gegenüberliegenden Ecke, in Zentimetern. Nicht die Länge einer der schrägen Seiten
- Zwei
- Woher die Verdopplung kommt. Die Flächenformel halbiert Grundseite mal Höhe, dieses Halbieren wird also rückgängig gemacht, indem die Fläche mit zwei multipliziert wird, bevor durch die Grundseite geteilt wird
- 2A ÷ b
- Die ganze Rechnung. Die Fläche zuerst zu verdoppeln statt die Grundseite zu halbieren, hält die letzte Stelle richtig, wenn die Zahlen nicht ganz sind
- Vier Dezimalstellen
- Die Breite der Anzeige. Eine Höhe kann tatsächlich ein Bruch sein — eine Fläche von 7,5 mit einer Grundseite von 6 ergibt genau 2,5, und eine Fläche von 1 mit einer Grundseite von 3 ergibt zwei Drittel
- Zentimeter
- Die Einheit der Antwort, unabhängig davon, was im Feld steht. Das ist eine Länge, die Umrechnung ist also anders als auf der Flächenseite nicht quadratisch — eine in Zoll eingegebene Grundseite liefert trotzdem eine Höhe in Zentimetern, für Zoll teilen Sie durch 2,54
Der naheliegende Fall ist der, in dem die Fläche schon bekannt ist und ein Maß fehlt. Grundstücke sind der Klassiker: Die Fläche steht im Grundbuch oder im Vermessungsprotokoll, die Grundseite verläuft entlang einer Straße oder eines Zauns, und die Frage ist, wie weit das Grundstück an seiner tiefsten Stelle nach hinten reicht. Genau das ist diese Rechnung, und deshalb wird die Formel seit jeher zusammen mit der Flächenformel gelehrt. Dacheindeckung und Zimmerei bringen eine zweite Familie: Die Fläche eines Dreiecks ist für die Bepreisung schon ausgerechnet, und die Höhe wird als Zuschnitt- oder Anreißmaß gebraucht — die Höhe eines Giebels über seiner Spannweite, die Tiefe einer verjüngten Blende, der Abstand von einer Sehne zur gegenüberliegenden Seite eines Bogens. Konstruktion und CAD bringen eine dritte: ein Dreieck in einer Zeichnung, dessen Fläche vermerkt ist und aus dem die fehlende Höhe zurückgewonnen werden muss. Und es gibt die Schülerversion, die den Zusammenhang erst klicken lässt: Nehmen Sie ein Dreieck, dessen Fläche und Grundseite Sie kennen, rechnen Sie die Höhe aus und prüfen Sie sie an der Zeichnung — die Zahl, die herauskommt, ist die, die das Bild zeigt, und genau darum geht es bei dem Paar aus dieser und der Flächenseite. Beide Richtungen derselben Formel einmal vor sich zu haben, lohnt sich, denn eine Formel vergisst man viel schwerer, wenn man sie einmal rückwärts laufen lassen hat.
Rechenbeispiele
Eine Fläche von 30 und eine Grundseite von 10
- Die Fläche verdoppeln: 2 × 30 = 60
- Durch die Grundseite teilen: 60 ÷ 10 = 6
Die Belegung, mit der die Seite startet, und die Zeile, die sie mit der Flächenseite verbindet: Eine Grundseite von 10 mit einer Höhe von 6 ergibt dort genau eine Fläche von 30. Lassen Sie erst die eine und dann die andere Seite mit den passenden Zahlen laufen, landen Sie wieder am Anfang — die billigste mögliche Probe, dass die Formel verstanden ist.
Eine Fläche von 20 und eine Grundseite von 5
- Die Fläche verdoppeln: 2 × 20 = 40
- Durch die Grundseite teilen: 40 ÷ 5 = 8
Dasselbe Dreieck, mit dem die Flächenseite ihren Punkt zum Trapez macht: Eine Grundseite von 5 mit einer Höhe von 8 ergibt 20, und ein Trapez mit einer oberen Grundseite von 0, einer unteren von 10 und einer Höhe von 4 ergibt ebenfalls 20. Nichts daran ist besonders — ein unscheinbares Zahlenpaar und eine ganzzahlige Antwort.
Eine Fläche von 7,5 und eine Grundseite von 6
- Die Fläche verdoppeln: 2 × 7,5 = 15
- Durch die Grundseite teilen: 15 ÷ 6 = 2,5
Eine Fläche mit einer halben Stelle, wie sie ein halbiertes Produkt üblicherweise ergibt, und eine gerade Grundseite. Das Verdoppeln zuerst macht aus dem Halben eine ganze Zahl, bevor geteilt wird, die Antwort ist also genau 2,5 und nicht etwas, das nur so aussieht, als wäre es gerundet worden.
Eine Fläche von 0 und eine Grundseite von 5
- Die Fläche verdoppeln: 2 × 0 = 0
- Durch die Grundseite teilen: 0 ÷ 5 = 0
Eine Fläche von null heißt, dass das Dreieck auf seine eigene Grundseite geklappt wurde und keine Höhe mehr übrig ist. Null ist eine echte Eingabe und kein leeres Feld, das hier ist also eine echte Antwort — und es unterscheidet sich wirklich von dem Fall, in dem die Grundseite null ist, den die Seite ablehnt, weil es nichts zu teilen gibt.
Einschränkungen
Diese Seite nimmt eine Fläche und eine Grundseite und sonst nichts. Aus den drei Seiten eines Dreiecks arbeitet sie nicht, das ist ein anderer Weg zur selben Höhe und braucht die Fläche vorher. Sie liefert keine Winkel und keine Seitenlängen, und die Grundseite ist hier die Seite, gegen die die Höhe gemessen wird, und nicht eine der beiden anderen — geben Sie ihr eine schräge Seite, kommt die Höhe etwas zu klein zurück, und auf der Seite weist nichts darauf hin. Die Grundseite muss größer als null sein: Eine Fläche von null wird angenommen und ergibt eine Höhe von null, aber eine Grundseite von null hat überhaupt keine Antwort statt einer unendlichen, und die Seite sagt das, statt eine sehr große Zahl auszugeben. Die Antwort steht immer in Zentimetern, unabhängig davon, was im Feld ausgewählt ist, und da eine Höhe eine Länge ist, verläuft die Umrechnung linear — eine in Zoll eingegebene Grundseite liefert Zentimeter, und Sie teilen durch 2,54 und nicht durch 6,4516. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und eine Höhe kann ein echter Bruch sein: Eine Fläche von 1 mit einer Grundseite von 3 ergibt zwei Drittel, auf vier Stellen geschrieben. Nichts hier behandelt eine gekrümmte Seite, ein auf eine Kugel gezeichnetes Dreieck oder eine Form, deren Fläche in einer anderen Ebene gemessen wurde als die Grundseite.
Häufige Fragen
- Welche Seite ist hier die Grundseite?
- Diejenige, auf der die Höhe senkrecht steht — und da Sie das Ziel der Höhe selbst vorgeben, ist es die Seite, gegen die Sie die Fläche gemessen haben. Stammt die Fläche aus einem Vermessungsprotokoll oder einer Zeichnung, ist die Grundseite die Seite, von der aus dort gemessen wurde. Dieses Paar zu verwechseln ist der einzige Weg, aus dieser Seite eine falsche Antwort herauszuholen, während alles unauffällig aussieht.
- Warum wird die Fläche verdoppelt und nicht die Grundseite halbiert?
- Beides ergibt dieselbe Antwort, und auf einem Rechner ist beides gleich exakt: Ein Verdoppeln und ein Halbieren sind exakte Operationen, beide Wege führen also zu einer einzigen Division und einer einzigen Rundung, ganz am Ende. Die Seite verdoppelt, weil das die Gestalt der Formel ist — die Flächenformel halbiert Grundseite mal Höhe, und die Fläche mit zwei zu multiplizieren macht dieses Halbieren rückgängig. Außerdem bleibt so die Division der letzte Schritt, der gerundete Wert fließt also nirgends wieder ein.
- Kann die Höhe länger werden als die Grundseite?
- Ja, und daran ist nichts falsch. Ein hohes, schmales Dreieck hat eine Fläche, die verdoppelt und durch eine kurze Grundseite geteilt eine große Höhe ergibt. Höhe und Grundseite sind zwei unabhängige Richtungen, keine schränkt die andere ein — nur die Fläche verbindet beide, und die Formel ist, was sie ist.
- Was ist, wenn die Grundseite null ist?
- Die Seite lehnt ab, statt zu antworten. Eine Grundseite von null heißt, dass durch null geteilt würde, und die ehrliche Beschreibung des Ergebnisses ist, dass es keine Höhe gibt, und nicht, dass die Höhe ungeheuer groß ist. Eine Fläche von null ist etwas anderes und wird angenommen: Ein Dreieck ohne Fläche ist auf seine Grundseite geklappt, und seine Höhe ist wirklich null.
- Wo ist die Fassung mit den drei Seiten?
- Auf einer eigenen Seite. Die Fläche eines Dreiecks aus drei Seitenlängen zu bestimmen, benutzt eine andere Formel mit einer Wurzel, und sobald die Fläche vorliegt, können Sie mit jeder der drei Seiten als Grundseite hierher zurückkommen. Die beiden Seiten sind für diese Reihenfolge gedacht, und die Höhenseite versucht nicht, die Aufgabe der Flächenseite zu wiederholen.
- Kommt es auf die Einheiten an?
- Die Auswahl ändert, was Sie eintragen, nicht was herauskommt. Die Anzeige steht immer in Zentimetern. Anders als auf der Flächenseite ist die Umrechnung nicht quadratisch, weil eine Höhe eine Länge ist: Teilen Sie durch 2,54, um eine Antwort in Zentimetern in Zoll zu lesen. Eine Grundseite in Zoll einzutragen und die Antwort als Zoll zu lesen, ist der Fehler, auf den Sie achten sollten.
Quellen
- Triangle Area — the formula this page runs backwards, and the parallelogram argument that shows why the factor of two is there in the first place — Wolfram MathWorld (United States)
- Altitude — the perpendicular from a vertex to the opposite side, which is exactly the quantity this page returns, and why a triangle has three of them — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area and its altitudes can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)
- Das Parallelogramm — die Figur, die aus zwei Kopien eines Dreiecks entsteht und deren Fläche deshalb genau das Doppelte beträgt; daher rührt der Faktor zwei, den diese Seite rückgängig macht — Mathepedia (Deutschland)