Dreiecksumfang-Rechner
Ergebnis
Umfang
Der Dreiecksumfang-Rechner addiert die drei Seitenlängen und gibt den Umfang des Dreiecks in Zentimetern zurück. Es ist eine Addition, und dabei bleibt es: Es gibt keine Formel zum Merken und keine Reihenfolge, auf die es ankommt, denn der Umfang jeder Figur ist die Summe ihrer Seiten, und beim Dreieck sind es eben drei. Was diese Seite über einen Taschenrechner hinaushebt, ist die Prüfung, die sie vor der Antwort ausführt. Drei Längen ergeben nicht automatisch ein Dreieck: Legt man ein 1 cm langes Stäbchen, ein zweites von 1 cm und ein drittes von 3 cm aneinander, schließen sie sich nicht, weil die beiden kurzen nicht über das lange hinwegreichen — und kein Kippen hilft, denn die gerade Verbindung zwischen zwei Punkten ist der kürzeste Weg. Die Regel dahinter heißt Dreiecksungleichung: Je zwei Seiten müssen zusammen mehr ergeben als die dritte. Die Seite prüft das und sagt es offen, statt eine Zahl für eine Figur auszugeben, die es nicht gibt. Der Grenzfall verdient Aufmerksamkeit, weil er die meisten überrascht: Ergeben die beiden kürzeren Seiten zusammen genau die längste, ist das Dreieck nicht unmöglich, sondern auf eine Strecke zusammengeklappt — die Seite nimmt die Eingabe an und antwortet. Ein Dreieck mit 1, 1 und 2 ist eine Strecke der Länge 2, die zweimal abgelaufen wird, also 4, und das ist eine echte Länge, auch wenn die Figur entartet ist. Kommen die beiden kurzen Seiten zusammen auf weniger als die längste, entspricht der Eingabe überhaupt nichts Reales, und die Seite verweigert die Antwort. Ein gleichseitiges Dreieck ist der einfachste Fall: Der Umfang ist dreimal die Seitenlänge, hier muss man nichts addieren. Wer den Umfang eines Dreiecks berechnen will, weil Material zu bestellen ist — Zaun, Einfassung, Rahmen, Zuschnitt —, für den ist er ohnehin das Maß, das zählt: Die Fläche sagt, wie viel Farbe eine Wand braucht, der Umfang sagt, wie viel Leiste unten herumläuft.
Der Umfang eines Dreiecks aus seinen drei Seiten
| Seite a (cm) | Seite b (cm) | Seite c (cm) | Umfang (cm) |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 12 |
| 6 | 6 | 6 | 18 |
| 5 | 5 | 6 | 16 |
| 1 | 1 | 2 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 6 |
| 2 | 3 | 4 | 9 |
| 2.5 | 3.5 | 4.5 | 10.5 |
| 0 | 5 | 5 | 10 |
Acht Dreiecke und vier Spalten, weil die Seite eine Formel und eine Antwort hat. Fünf der acht Zeilen stehen auf denselben drei Seitenlängen wie die Tabelle des Heron-Formel-Rechners, die beiden lassen sich also gegeneinander lesen: 3, 4, 5 ergibt hier 12 und dort 12; 5, 5, 6 ergibt hier 16 und dort 16; 6, 6, 6 ergibt 18; 2, 3, 4 ergibt 9; und das entartete 1, 1, 2 ergibt hier 4 gegen eine Fläche von 0 dort. Gleiche Eingabe, gleiche Form, zwei verschiedene Fragen. Die vierte Zeile ist die entartete und die lesenswerteste: Die beiden kurzen Seiten ergeben zusammen genau die lange, die Form ist also eine Strecke und der Umfang die Länge einmal hin und zurück. Die fünfte Zeile ist dieselbe Sache in stärkerer Ausprägung — 1 + 2 = 3 —, und auch sie wird angenommen. In der siebten Zeile haben alle drei Seiten Nachkommastellen, die Addition bleibt trotzdem exakt, weil nirgends geteilt wird. Die letzte Zeile hat eine Seite von 0, was das Dreieck zu einer Strecke macht, die einmal hin und zurück abgelaufen wird, und 10 ergibt. Jeder Wert wird beim Bau der Seite aus seinen drei Eingaben neu gerechnet, in Zentimetern, und die vier Nachkommastellen sind dieselben vier, die das Ergebnisfeld verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (2.5 statt 2,5), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.
Formel
P = a + b + c
- Seite a
- Eine der drei Seiten, in Zentimetern. Welche Seite Sie a nennen, ist gleichgültig — die drei werden addiert, die Reihenfolge ändert am Ergebnis nichts
- Seite b
- Die zweite Seite, in Zentimetern. Gemeint ist die volle Länge entlang der Kante, nicht ihre waagerechte oder senkrechte Projektion, sonst fällt die Summe zu kurz aus
- Seite c
- Die dritte Seite, in Zentimetern. Die drei zusammen müssen die Dreiecksungleichung erfüllen, die die Seite prüft, bevor sie irgendetwas beantwortet
- Umfang
- Der Weg einmal rund um das Dreieck, in Zentimetern. Dreimal eine Kante entlang, und das ist die zurückgelegte Strecke
- a + b + c
- Eine Addition, von links nach rechts. Es gibt keine Multiplikation, keine Division und keinen Rundungsschritt, das Ergebnis ist also exakt für jede Eingabe, die sich exakt darstellen lässt
- Vier Dezimalstellen
- Die Breite der Anzeige. Drei ganze Zahlen ergeben immer eine ganze Zahl, die Nachkommastellen zählen also nur, wenn eine Seite mit einem Bruchteil gemessen wurde
- Zentimeter
- Die Einheit der Antwort, unabhängig davon, was in den Feldern steht. Wie bei jedem Umfang ist das eine Länge, die Umrechnung ist also linear — ein in Zoll gemessenes Dreieck kommt in Zentimetern zurück, für Zoll teilen Sie durch 2,54
Ein Umfang wird überall dort gebraucht, wo etwas außen um eine Form herumläuft, statt sie zu füllen. Ein dreieckiges Stück Weide einzäunen, eine Einfassung oder ein Kantenband um ein dreieckiges Beet legen, einen Rahmen für eine dreieckige Glasscheibe zuschneiden — all das wird nach Länge bestellt und bezahlt, und die Fläche, die ein Vermessungsprotokoll meist liefert, hilft dabei überhaupt nicht. Rahmen und Fertigung bringen eine zweite Familie: ein dreieckiges Knotenblech, eine Strebe, ein Winkel, bei denen der Umfang die Länge des zuzuschneidenden Materials ist und die Ecken separat zugerechnet werden. Segel, Markisen und Schattennetze sind dieselbe Rechnung in Stoff. Ein gleichseitiges Dreieck ist der einfachste Fall überhaupt, denn der Umfang ist dreimal die Seite, die Addition entfällt. Dann ist da die Vermessung, die andersherum läuft: Messen Sie die drei Seiten eines Grundstücks im Feld, weil das die leichten Messungen sind, so fällt der Umfang direkt heraus, während die Fläche noch eine Formel obendrauf braucht. Und schließlich die Schülerversion: Ein auf kariertes Papier gezeichnetes Dreieck lässt sich mit dem Finger abgehen und die Summe gegen die Antwort prüfen — einmal mit dem 3-4-5-Dreieck gemacht, lohnt sich das, denn der Umfang ergibt 12 und die Fläche 6, drei einprägsame Zahlen aus einer kleinen Figur.
Rechenbeispiele
Seiten von 3, 4 und 5
- Die ersten beiden Seiten addieren: 3 + 4 = 7
- Die dritte addieren: 7 + 5 = 12
Die Belegung, mit der die Seite startet, und die Form zum Merken: 3, 4, 5 ist das kleinste rechtwinklige Dreieck mit ganzzahligen Seiten, seine Fläche ist 6 und sein Umfang 12. Der Heron-Formel-Rechner liefert für dieselben drei Seiten ebenfalls 12 — das ist der Abgleich zwischen den beiden Seiten: gleiche Eingabe, andere Frage.
Ein gleichseitiges Dreieck mit Seiten von 6
- Die ersten beiden Seiten addieren: 6 + 6 = 12
- Die dritte addieren: 12 + 6 = 18
Ein gleichseitiges Dreieck, bei dem der Umfang einfach dreimal die Seite ist. Erwähnenswert, weil hier als einzigem Fall die Addition übersprungen werden kann: Bei jedem regelmäßigen Vieleck ist der Umfang die Seitenlänge mal die Anzahl der Seiten, und das Dreieck ist das kleinste Beispiel dafür.
Ein gleichschenkliges Dreieck mit Seiten von 5, 5 und 6
- Die ersten beiden Seiten addieren: 5 + 5 = 10
- Die dritte addieren: 10 + 6 = 16
Ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, eine Form, die an Dächern und Fachwerken ständig vorkommt. Es ist zugleich die Form, mit der der Gleichschenkliges-Dreieck-Rechner startet: Dort ist die Grundseite 6 und sind die beiden Schenkel 5, was eine Höhe von 4 und eine Fläche von 12 ergibt — dasselbe Dreieck, zwei verschiedene Fragen daran.
Seiten von 1, 1 und 2
- Die ersten beiden Seiten addieren: 1 + 1 = 2
- Die dritte addieren: 2 + 2 = 4
Der entartete Fall, und der Fall, an dem die Grenze sichtbar wird: 1 + 1 ergibt genau 2, das Dreieck ist also auf eine Strecke zusammengeklappt und nicht unmöglich. Die Seite antwortet mit 4, denn eine Strecke der Länge 2 einmal hin und zurück ist eine echte Länge. Wäre die dritte Seite 3, hätte die Seite die Eingabe abgelehnt.
Einschränkungen
Diese Seite nimmt drei Seitenlängen und sonst nichts. Sie liefert keine Fläche, keine Winkel und keine Höhe — die Fläche desselben Dreiecks steht auf einer eigenen Seite, und beide nehmen dieselben drei Zahlen und beantworten verschiedene Fragen. Die drei Seiten müssen die Dreiecksungleichung erfüllen; ergeben die beiden kürzeren zusammen weniger als die längste, entspricht der Eingabe kein Dreieck und die Seite verweigert die Antwort. Ergeben sie zusammen genau die längste, ist das Dreieck entartet; die Seite nimmt es an und gibt den Umfang der Strecke aus, zu der es geworden ist. Die Antwort steht immer in Zentimetern, unabhängig davon, was in den Feldern ausgewählt ist, und da ein Umfang eine Länge ist, verläuft die Umrechnung linear: Ein in Zoll gemessenes Dreieck kommt in Zentimetern zurück, Sie teilen durch 2,54 und nicht durch 6,4516. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit. Nichts hier behandelt eine gekrümmte Seite, ein auf eine Kugel gezeichnetes Dreieck, die Dicke eines Rahmens um den Rand oder einen Zuschlag für Verschnitt, wenn die Seiten aus einem Zuschnitt herausgeschnitten werden.
Häufige Fragen
- Spielt die Reihenfolge der Seiten eine Rolle?
- Nein. Die Addition ist umstellbar, 3, 4, 5 und 5, 3, 4 ergeben also beide 12. Die Felder heißen a, b und c nur der Bequemlichkeit wegen, und nicht, weil irgendetwas davon abhinge, welche Seite wo eingetragen wird. Die Dreiecksungleichung wird in allen drei Paarungen geprüft, unabhängig von der Reihenfolge Ihrer Eingabe.
- Warum lehnt die Seite manche drei Zahlen ab?
- Weil nicht jede drei Längen ein Dreieck ergeben. Ergeben die beiden kürzeren Seiten zusammen weniger als die längste, reichen die beiden kurzen Stäbe nicht über den langen hinweg, wie Sie sie auch kippen, und es gibt keine Form zum Messen. Die Seite prüft diese Bedingung und meldet sie, statt eine Summe für etwas auszugeben, das es nicht gibt.
- Was ist mit einem Dreieck, das genau flach ist?
- Es wird angenommen. Ergeben die beiden kürzeren Seiten zusammen genau die längste, ist das Dreieck zu einer Strecke zusammengedrückt und nicht unmöglich — ein Dreieck mit 1, 1 und 2 ist eine Strecke der Länge 2, einmal hin und zurück. Die hat einen echten Umfang, nämlich 4, also antwortet die Seite. Das ist der eine Fall, den man für abgelehnt hält und der als einziger nicht abgelehnt wird.
- Wo steht die Fläche desselben Dreiecks?
- Auf einer eigenen Seite. Drei Seiten legen sowohl den Umfang als auch die Fläche fest, aber die Fläche braucht eine Formel mit einer Wurzel darin und der Umfang eine Addition, deshalb sind sie getrennt. Diese Seite tut bewusst nur eine Sache, und sie nimmt genau dieselben drei Zahlen wie die andere.
- Kommt es auf die Einheiten an?
- Die Auswahl ändert, was Sie eintragen, nicht was herauskommt. Die Anzeige steht immer in Zentimetern, und da ein Umfang eine Länge ist, verläuft die Umrechnung linear — teilen Sie durch 2,54, um eine Antwort in Zentimetern in Zoll zu lesen. Gemischte Einheiten werden behandelt und nicht stillschweigend vorausgesetzt: Jedes der drei Felder hat seine eigene Auswahl, und was Sie dort wählen, wird in Zentimeter umgerechnet, bevor die Addition läuft. Eine Seite in Fuß und eine in Zoll können also so eingetragen werden, wie sie gemessen wurden.
- Nützt der Umfang für sich genommen etwas?
- Er ist die Zahl, die Sie brauchen, wenn etwas um eine Form herumläuft, statt sie zu füllen: Zaun, Einfassung, Rahmen, Bindung, Zuschnitt auf Länge. Eine Fläche sagt, wie viel Farbe eine Wand braucht; ein Umfang sagt, wie viel Sockelleiste unten entlangläuft. Beides gibt es auf dieser Website, und für ein Dreieck sind es zwei verschiedene Seiten.
Quellen
- Triangle — what a triangle is, the vocabulary of its sides, and the properties that follow from the three lengths alone — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle Inequality — the rule that any two sides must sum to more than the third, which is the check this page runs before answering — Wolfram MathWorld (United States)
- Perimeter — the general notion of the distance around a closed figure, of which the three-sided case on this page is the simplest instance — Wolfram MathWorld (United States)
- Dreiecksungleichung — die deutschsprachige Darstellung der Regel, die diese Seite prüft, einschließlich des Grenzfalls, in dem die beiden kürzeren Seiten zusammen genau die längste ergeben — Mathepedia (Deutschland)