Gleichschenkliges-Dreieck-Rechner

h = √(l² − (b ÷ 2)²) A = b·h ÷ 2 P = b + 2l Spitzenwinkel = 2·arcsin((b ÷ 2) ÷ l) Basiswinkel = (180° − Spitzenwinkel) ÷ 2

Grundseite

Die Länge der ungleich langen Seite, auf der die beiden Schenkel stehen, in Zentimetern. Sie flach hinzulegen macht das Dreieck nach links und rechts symmetrisch, und von ihr aus wird die Höhe gemessen

Schenkel

Die Länge jeder der beiden gleich langen Seiten, in Zentimetern. Beide sind per Definition gleich lang, es gibt also nur ein Feld für sie, und jeder Schenkel ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, das das Falten erzeugt

Fläche

Die Fläche, die das Dreieck bedeckt, in Quadratzentimetern: die halbe Grundseite mal der Höhe. Die Fläche wird unmittelbar aus Grundseite und Schenkel gerechnet und nicht aus der gedruckten Höhe, die Werte auf dem Panel stimmen also bis auf die letzte Stelle überein

Umfang

Der Weg einmal herum, in Zentimetern: die Grundseite plus das Doppelte des Schenkels. Er ist der einzige Wert, der ohne Quadratwurzel und ohne Winkelfunktion auskommt, und damit genau, sobald es die beiden Eingaben sind

Höhe

Der Abstand von der Spitze senkrecht hinunter zur Mitte der Grundseite, in Zentimetern, nach dem Satz des Pythagoras auf der gefalteten Hälfte: Schenkel zum Quadrat minus der halben Grundseite zum Quadrat, daraus die Wurzel. Sie ist zugleich die Linie, zu der das Dreieck symmetrisch ist — deshalb trifft sie genau die Mitte der Grundseite und nicht eine Stelle daneben

Spitzenwinkel

Der Winkel zwischen den beiden Schenkeln, oben, in Grad. Er ist der einzige Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks, den kein zweiter teilt. Er ist doppelt so groß wie der Winkel, dessen Sinus die halbe Grundseite geteilt durch den Schenkel ist, und er nähert sich 180 Grad, je flacher das Dreieck wird

Basiswinkel

Der Winkel zwischen der Grundseite und einem Schenkel, in Grad. Die beiden Basiswinkel sind per Definition gleich groß, die Seite druckt also eine Zahl für beide, gerechnet als das, was von 180 Grad übrig bleibt, nachdem der Spitzenwinkel abgezogen und halbiert wurde

Zwei Nachkommastellen für die Winkel

Die Winkel werden mit zwei Nachkommastellen gedruckt, die Längen mit vier, weil ein Winkelmesser auf etwa ein Hundertstel Grad genau abliest und die hinteren Stellen eines Arkussinus Gleitkommazahlenrauschen sind und nichts, was jemand gemessen hätte

Die Seite ist für alles, was auf einem gleichschenkligen Dreieck aufbaut, und diese Form taucht überall dort auf, wo eine symmetrische Spitze auf einer flachen Grundseite sitzt. Ein Dach ist der klarste Fall: Die beiden Schrägen sind die Schenkel, die Spannweite ist die Grundseite, und was der Zimmerer braucht, ist die Neigung — der Basiswinkel — und die Höhe des Firsts über der Wandschwelle, also die Höhe dieser Seite. Schneidet man dieses Dreieck in der Mitte durch, ist die Sparrenlänge die Hypotenuse, weshalb das Falten hier der Rechenweg ist und nicht ein Kunstgriff der Skizze. Giebel, Ziergiebel, Pfeilspitzen, Trichterkegel und die Vorderseite eines Zeltes sind dieselbe Form unter anderen Namen. In Metall- und Holzbau ist der Basiswinkel der Wert, auf den eine Gehrungssäge eingestellt wird, und der Spitzenwinkel der, an dem das fertige Stück nachgeprüft wird. Die Seite ist außerdem die richtige, wenn Sie eine Grundseite und eine schräge Seite gemessen haben und keine Höhe: an einem Dach, einer Rampe oder einer dreieckigen Strebe ist die schräge Kante die, an die man herankommt, und die senkrechte nicht. Und sie ist die Seite für den Fall, dass eine Zeichnung ein gleichschenkliges Dreieck über seine Symmetrie bemaßt — etwa Grundseite und Gesamthöhe —, denn die Höhe ist hier ein Ergebnis und keine Eingabe, und die beiden sind nicht austauschbar: Grundseite und Schenkel ist ein Eingabepaar, Grundseite und Höhe ein anderes, und nur eines von beiden steht auf dieser Seite. Ist Ihr Dreieck nicht gleichschenklig, nimmt die Dreiecksseite eine Grundseite und eine Höhe und die Heron-Seite alle drei Seiten.

1. Grundseite 6 mit Schenkeln von 5

   1. Die halbe Grundseite: 6 ÷ 2 = 3
   2. Höhe: √(25 − 9) = √16 = 4
   3. Fläche: 6 × 4 ÷ 2 = 12
   4. Umfang: 6 + 2 × 5 = 16
   5. Der halbe Spitzenwinkel: arcsin(3 ÷ 5) = 36,8699…, der Spitzenwinkel ist also 73,7398…, gerundet 73,74
   6. Basiswinkel: (180 − 73,7398) ÷ 2 = 53,1301…, gerundet 53,13

   Die Werte, mit denen die Seite geladen wird, und die sauberste Zeile darauf: Die Höhe kommt genau als 4 heraus, die Fläche genau als 12 und der Umfang genau als 16, nur die beiden Winkel lassen eine Nachkommastelle stehen. Es sind die Seiten 6, 5 und 5, das ist also die zweite der Dreiecksproben in diesem Satz — die Heron-Seite nimmt diese drei Seiten und liefert dieselbe Fläche von 12 und denselben Umfang von 16. Zwei Wege zu einem Dreieck, eine Antwort. Der Basiswinkel von 53,13 Grad ist ebenfalls kein Zufall: Das Falten dieses Dreiecks lässt ein 3-4-5-Dreieck übrig, und 53,13 ist der Winkel, den ein Anstieg von 4 auf einer Strecke von 3 mit der Waagerechten bildet — die Regel, der die Basiswinkel-Spalte dieser Seite in jeder Zeile folgt.

2. Grundseite 6 mit Schenkeln von 6

   1. Die halbe Grundseite: 6 ÷ 2 = 3
   2. Höhe: √(36 − 9) = √27 = 5,196152…, gerundet 5,1962
   3. Fläche: 6 × 5,196152… ÷ 2 = 15,588457…, gerundet 15,5885
   4. Umfang: 6 + 2 × 6 = 18
   5. Der halbe Spitzenwinkel: arcsin(3 ÷ 6) = 30, der Spitzenwinkel ist also 60 und der Basiswinkel (180 − 60) ÷ 2 = 60

   Ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Grundseite und Schenkel zufällig alle 6 betragen — es ist damit gleichseitig, und die Seite zeigt das, statt es zu verbergen: Beide Winkel kommen als 60 Grad heraus, die Signatur dieser Form. Die Fläche von 15,5885 ist die dritte der Dreiecksproben in diesem Satz und passt zur gleichseitigen Seite bei einer Seitenlänge von 6 und zur Heron-Seite bei 6, 6, 6. Es ist außerdem die einzige Zeile der Tabelle, in der die beiden Winkelspalten gleich sind, denn der Spitzenwinkel stimmt nur dann mit dem Basiswinkel überein, wenn alle drei Winkel 60 Grad betragen.

3. Grundseite 8 mit Schenkeln von 5

   1. Die halbe Grundseite: 8 ÷ 2 = 4
   2. Höhe: √(25 − 16) = √9 = 3
   3. Fläche: 8 × 3 ÷ 2 = 12
   4. Umfang: 8 + 2 × 5 = 18
   5. Der halbe Spitzenwinkel: arcsin(4 ÷ 5) = 53,1301…, der Spitzenwinkel ist also 106,2602…, gerundet 106,26
   6. Basiswinkel: (180 − 106,2602) ÷ 2 = 36,8699…, gerundet 36,87

   Ein flacheres Dreieck als das geladene — eine längere Grundseite bei gleichem Schenkel —, und die beiden Winkel bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen, worauf man hier achten sollte. Der Spitzenwinkel ist von 73,74 auf 106,26 gegangen und jeder Basiswinkel von 53,13 auf 36,87, und die beiden Zahlen sind weiterhin durch die Regel verbunden, dass alle drei Winkel zusammen 180 Grad ergeben. Die Fläche ist bei 12 geblieben, während der Umfang auf 18 gestiegen ist — eine Erinnerung daran, dass das Strecken der Grundseite ein Dreieck flacher macht, ohne dass es mehr Fläche bedeckt. Das 3-4-5-Dreieck steckt in diesem hier: Die halbe Grundseite ist 4, die Höhe 3 und der Schenkel 5.

4. Grundseite 10 mit Schenkeln von 13

   1. Die halbe Grundseite: 10 ÷ 2 = 5
   2. Höhe: √(169 − 25) = √144 = 12
   3. Fläche: 10 × 12 ÷ 2 = 60
   4. Umfang: 10 + 2 × 13 = 36
   5. Der halbe Spitzenwinkel: arcsin(5 ÷ 13) = 22,6198…, der Spitzenwinkel ist also 45,2397…, gerundet 45,24
   6. Basiswinkel: (180 − 45,2397) ÷ 2 = 67,3801…, gerundet 67,38

   Die zweite Hälfte eines 5-12-13-Dreiecks in diesem Satz: Die halbe Grundseite ist 5, die Höhe 12 und der Schenkel 13, das rechtwinklige Dreieck darin ist also dasselbe, auf das die Heron-Seite von der anderen Richtung stößt. Alles außer den beiden Winkeln kommt ganzzahlig heraus. Der Spitzenwinkel von 45,24 Grad ist etwas mehr als ein halber rechter Winkel, eine brauchbare Probe auf die Form: Ein Dreieck mit einer Grundseite von 10 und Schenkeln von 13 ist fast, aber nicht ganz ein gleichschenklig-rechtwinkliges, und erst eine Grundseite vom 13-fachen der Wurzel aus zwei würde den Spitzenwinkel auf genau 90 Grad bringen.

5. Grundseite 0 mit Schenkeln von 5

   1. Die halbe Grundseite: 0 ÷ 2 = 0
   2. Höhe: √(25 − 0) = 5
   3. Fläche: 0 × 5 ÷ 2 = 0
   4. Umfang: 0 + 2 × 5 = 10
   5. Der halbe Spitzenwinkel: arcsin(0 ÷ 5) = 0, der Spitzenwinkel ist also 0 und der Basiswinkel (180 − 0) ÷ 2 = 90

   Eine Grundseite von null, was zulässig ist und nicht dasselbe wie ein leeres Feld. Die beiden Schenkel fallen aufeinander, die Figur ist also eine doppelt gelegte Linie der Länge 5: Die Höhe ist 5, der Umfang 10, die Fläche null und der Spitzenwinkel hat sich auf nichts geschlossen. Der Basiswinkel von 90 Grad ist die ehrliche Lesart davon — die Grundseite hat keine Länge, der Winkel zwischen ihr und einem Schenkel ist also per Konvention ein rechter. Deshalb behandelt die Seite eine Grundseite von null als echte Eingabe und lehnt sie nicht ab: Die Rechnung ist durchweg definiert, und die Antworten beschreiben die zusammengefallene Form richtig.

6. Grundseite 6 mit Schenkeln von 3

   1. Die halbe Grundseite: 6 ÷ 2 = 3
   2. Höhe: √(9 − 9) = 0
   3. Fläche: 6 × 0 ÷ 2 = 0
   4. Umfang: 6 + 2 × 3 = 12
   5. Der halbe Spitzenwinkel: arcsin(3 ÷ 3) = 90, der Spitzenwinkel ist also 180 und der Basiswinkel (180 − 180) ÷ 2 = 0

   Der genaue Grenzfall, und er wird durchgelassen: Die beiden Schenkel Stoß an Stoß sind genau so lang wie die Grundseite, das Dreieck ist also zu einer geraden Linie zusammengeklappt. Der Spitzenwinkel beträgt 180 Grad, was eine vollkommen flache Spitze misst, und die beiden Basiswinkel haben sich auf null geschlossen. Nichts davon ist eine undefinierte Zahl — jeder Term der Rechnung ist definiert, einschließlich des Arkussinus von genau 1. Schieben Sie die Grundseite bei gleichem Schenkel auf 6,2, verweigert die Seite die Rechnung, weil die beiden Schenkel einander dann überhaupt nicht mehr erreichen und kein Dreieck existiert.

Die Seite gilt ausschließlich für gleichschenklige Dreiecke: genau zwei gleich lange Seiten, die Schenkel, auf der ungleich langen Grundseite. Ein ungleichseitiges Dreieck braucht alle drei Seiten und gehört auf die Heron-Seite; ein rechtwinkliges hat eine eigene Seite; und ein gleichseitiges Dreieck ist nur dann ein Sonderfall dieses hier, wenn seine Grundseite und seine Schenkel zufällig gleich angegeben werden. Die beiden Schenkel müssen einander erreichen: Ist das Doppelte des Schenkels kleiner als die Grundseite, existiert kein Dreieck, und die Seite sagt das, statt eine Zahl auszugeben. Der genaue Fall, in dem das Doppelte des Schenkels der Grundseite entspricht, wird durchgelassen und beschreibt ein zu einer Linie zusammengeklapptes Dreieck mit einer Höhe und einer Fläche von null und einem Spitzenwinkel von 180 Grad. Die Seite nimmt eine Grundseite und einen Schenkel entgegen und nicht eine Grundseite und eine Höhe; eine anders bemaßte Zeichnung muss die Höhe also zuerst über den Satz des Pythagoras auf der halben Grundseite in einen Schenkel umrechnen. Die Werte stehen in Zentimetern und Quadratzentimetern, was das Einheiten-Auswahlfeld auch anzeigt, und die Winkel stehen in Grad, eine Bogenmaß-Option gibt es nicht. Vier Nachkommastellen für die Längen und zwei für die Winkel sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit; bei einem mit dem Maßband gemessenen Dreieck sind Höhe und Fläche diejenigen Werte, deren letzte Stellen überhaupt eine Chance haben, etwas zu bedeuten, und auch sie hängen davon ab, wie gut Grundseite und Schenkel gemessen wurden. Die Seite ist zweidimensional und hat kein Feld für die Dicke, sie kann daher weder das Volumen eines dreieckigen Prismas noch die Masse eines Knotenblechs liefern.

Warum fragt die Seite nach einem Schenkel und nicht nach der Höhe?

Weil Grundseite und Schenkel das Zahlenpaar sind, das die Gestalt festlegt, und die Höhe daraus folgt. Zwei Schenkel gegebener Länge können sich über einer Grundseite gegebener Länge nur in einem einzigen Punkt treffen, es bleibt also nichts zu wählen. Eine Grundseite und eine Höhe ist ein anderes Paar zweier Zahlen für dasselbe Dreieck, und die Seite würde die Form überbestimmen, wenn sie beide annähme — eine Grundseite von 6 mit einer Höhe von 5 würde die Schenkel auf die Wurzel aus 34 zwingen, und die Seite müsste entscheiden, welche der drei eingetippten Zahlen falsch ist.

Warum gibt es zwei Winkel, und sind sie jemals gleich groß?

Der Spitzenwinkel liegt zwischen den beiden Schenkeln, oben, der Basiswinkel zwischen der Grundseite und einem Schenkel. Es sind zwei verschiedene Größen, die verschiedene Fragen beantworten: Der Spitzenwinkel sagt, wie spitz die Form ist, der Basiswinkel ist der, in dem eine Dachneigung oder eine Gehrungseinstellung angegeben wird. Gleich groß sind sie nur im gleichseitigen Fall, wo alle drei Winkel 60 Grad betragen — deshalb druckt die Seite beide, statt einer einzigen Zahl mit der Beschriftung Winkel.

Wie bekomme ich die Winkel aus den beiden Seiten?

Schneiden Sie das Dreieck entlang seiner Symmetrieachse in zwei Hälften. Jede Hälfte ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Schenkel als Hypotenuse und der halben Grundseite als Grundlinie, der Sinus des halben Spitzenwinkels ist also die halbe Grundseite geteilt durch den Schenkel. Verdoppeln Sie das, und Sie haben den Spitzenwinkel; der Basiswinkel ist das, was von 180 Grad übrig bleibt, nachdem der Spitzenwinkel abgezogen und halbiert wurde. Genau das rechnet die Seite, weshalb eine halbe Grundseite von 3 bei einem Schenkel von 5 einen Spitzenwinkel von 73,74 ergibt und nicht irgendeine geratene Zahl.

Warum zeigen die Winkel zwei Nachkommastellen und die Längen vier?

Weil die beiden nach verschiedenen Maßstäben gemessen werden. Eine Länge kann genau sein — eine Grundseite von 6 ist 6 —, und vier Nachkommastellen sind die Breite, mit der diese Seite Längen druckt. Ein Winkel entsteht hier aus einem Arkussinus, und ein Winkelmesser oder eine Gehrungssäge liest auf etwa ein Hundertstel Grad genau ab; die dritte und vierte Stelle eines Winkels wären also Gleitkommazahlenrauschen, das sich als Genauigkeit verkleidet. Zwei Stellen sind so weit, wie die Zahl etwas bedeutet.

Was passiert, wenn die Schenkel zu kurz sind, um die Grundseite zu überspannen?

Die Seite hält an und sagt es Ihnen, statt eine Zahl auszugeben. Die beiden Schenkel müssen sich über der Grundseite treffen können, ihre Längen zusammen also größer sein als die Grundseite; ist das nicht der Fall, existiert kein Dreieck. Der genaue Fall, in dem ihre Summe der Grundseite entspricht, wird durchgelassen und beschreibt ein zu einer geraden Linie zusammengeklapptes Dreieck mit einem Spitzenwinkel von 180 Grad und einer Fläche von null — eine echte Antwort und kein Scheitern.

Dürfen Grundseite oder Schenkel null sein?

Beide werden angenommen und beide ergeben sinnvolle Antworten. Ein Schenkel von null legt beide Schenkel in einen Punkt, während die Grundseite flach ausgestreckt bleibt, und eine Grundseite von null legt die beiden Schenkel aufeinander, was eine Höhe gleich dem Schenkel, einen Umfang vom Doppelten des Schenkels und einen Basiswinkel von 90 Grad ergibt. Keines von beiden ist dasselbe wie ein leeres Feld: Ein leeres Feld zeigt überhaupt kein Ergebnis, weil es nichts zu rechnen gibt, während eine null eine Form beschreibt, die sich beschreiben lässt.

• Isosceles triangle — the two-equal-sides case, with the axis of symmetry, the equal base angles and the height that this page computes from the base and a leg — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the general case the isosceles triangle is a constrained member of, including the rule that the three angles always add to 180 degrees, which is what the base angle is worked out from — Wolfram MathWorld (United States)
• Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks — die Zerlegung in zwei rechtwinklige Dreiecke über die Höhe, mit Grundseite und Schenkel als Eingaben und Rechenbeispielen — Mathebibel (Deutschland)
• Gleichschenkliges Dreieck — die beiden gleich langen Schenkel, die gleich großen Basiswinkel, die Symmetrieachse und der Spitzenwinkel in der deutschen Schreibweise — Mathebibel (Deutschland)