Satz-des-Pythagoras-Rechner

a² + b² = c² c = √(a² + b²) a = √(c² − b²) b = √(c² − a²) Fläche = ab ÷ 2 Umfang = a + b + c

a

Eine der beiden Katheten, also eine der Seiten, die den rechten Winkel bilden. Welche der beiden a heißt, ist beliebig — die beiden Kathetenfelder sind austauschbar: Vertauschen Sie die beiden Zahlen, ändert sich keine der drei Antworten

b

Die andere Kathete. Welche Sie eintragen und welche Sie leer lassen, ändert am Dreieck nichts; das Feld mit dem Namen b ist einfach dasjenige, das nicht als a verwendet wird

c

Die Hypotenuse, die dem rechten Winkel gegenüberliegende und damit längste der drei Seiten. Das ist das einzige Feld, das man leicht falsch ausfüllt, weil es genauso aussieht wie die übrigen Seitenfelder — wenn die Seite meldet, die Hypotenuse müsse länger sein als die gegebene Kathete, sind die beiden Zahlen vertauscht

Gesuchte Seite

Die Seite, die Sie leer gelassen haben und die aus den beiden anderen berechnet wird. Sie steht zuerst, weil sie die Frage ist, die Sie gestellt haben. Achten Sie darauf, dass sie je nachdem, welches Feld Sie freigelassen haben, eine Kathete oder die Hypotenuse sein kann

Fläche

Das halbe Produkt der beiden Katheten, in Quadratzentimetern. In sie gehen nur die beiden Katheten ein: Die Hypotenuse kommt in der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks nicht vor, was beim Nachrechnen eine nützliche Eselsbrücke ist

Umfang

Die Summe der drei Seiten, in Zentimetern. Er wird aus den ungerundeten Seitenlängen berechnet, deshalb kann das Ergebnis in der letzten Stelle um eins abweichen, wenn Sie die beiden eingetippten Zahlen und die angezeigte fehlende Seite selbst addieren

Zwei Nachkommastellen

Die Anzeigebreite aller drei Ergebnisse. Eine Seite, die aus einer Wurzel kommt, ist irrational, außer das Dreieck ist zufällig ein ganzzahliges pythagoreisches Tripel; für die meisten Eingaben sind diese zwei Stellen also ein Abschneiden und kein Ende

Überall dort, wo ein rechter Winkel vorkommt und eine Länge fehlt, ist diese Seite zuständig. Eine Leiter lehnt an einer Wand: Gemessen werden Wand und Boden, die Leiter selbst ist die Hypotenuse. Ein rechteckiges Feld soll längs der Diagonalen eingezäunt werden, und die beiden Seiten sind bekannt. Bei einem Dach sind Höhe und Spannweite bekannt, die Länge des Sparrens nicht. Bei einem Bildschirm wird die Diagonale angegeben, die beiden Seiten nicht. Alles, was sich auf ein Rechteck plus eine Diagonale zurückführen lässt, ist ein Fall für diese Seite. Sie eignet sich auch zum Nachprüfen einer Entfernung, die auf einem Koordinatengitter abgelesen wurde: Der waagerechte und der senkrechte Schritt zwischen zwei Punkten sind die beiden Katheten, die geradlinige Verbindung zwischen ihnen ist die Hypotenuse — dieselbe Arithmetik in zwei Kleidern, und der Abstand-Rechner derselben Unterkategorie trägt das zweite Kleid. Zwei Gewohnheiten machen die Antwort glaubwürdig. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite, eine gesuchte Seite, die länger ausfällt als die eingetippte Hypotenuse, zeigt also an, dass die beiden Felder vertauscht sind. Und die gesuchte Seite ist immer kürzer als die Summe der beiden anderen, weil die gerade Verbindung zwischen zwei Punkten die kürzeste ist; wer eine dieser beiden Schranken verletzt, hat sich verrechnet, so glatt die Rechnung auch aussieht. Wenn alle drei Seiten beisammen sind, lohnt ein Blick auf die Fläche als Plausibilitätsprüfung: Ein Dreieck mit den Katheten drei und vier bedeckt sechs Quadrateinheiten, und eines, das sechzig bedeckt, hat das Komma an der falschen Stelle.

1. Die beiden Katheten sind 3 und 4

   1. Gesucht ist die Hypotenuse, also addieren: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
   2. Wurzel ziehen: √25 = 5
   3. Fläche: (3 × 4) ÷ 2 = 6
   4. Umfang: 3 + 4 + 5 = 12

   Die Voreinstellung des Formulars und das kleinste Dreieck, dessen drei Seiten alle ganzzahlig sind. Hier ist jede Zahl exakt, deshalb ist das der beste Prüfstein: drei, vier, fünf, Fläche sechs, Umfang zwölf, keine einzige Rundung. Wenn Sie sich ein einziges rechtwinkliges Dreieck merken wollen, dann dieses, denn mit ihm lässt sich jede andere Antwort am schnellsten nachrechnen — neun plus sechzehn ist fünfundzwanzig, und was nicht dorthin zurückkommt, ist irgendwo falsch.

2. Die beiden Katheten sind 5 und 12

   1. Hypotenuse: 25 + 144 = 169
   2. Wurzel ziehen: √169 = 13
   3. Fläche: (5 × 12) ÷ 2 = 30
   4. Umfang: 5 + 12 + 13 = 30

   Das nächstgrößere ganzzahlige Tripel, mit einer Koinzidenz, die man zur Kenntnis nehmen und nicht als Fehler melden sollte: Fläche und Umfang sind beide dreißig. Das ist eine Eigenschaft dieses einen Dreiecks und keine Regel, und es ist leicht zu widerlegen — das 3-4-5-Dreieck darüber hat die Fläche sechs und den Umfang zwölf, und die beiden sind nicht gleich. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist das halbe Produkt der Katheten, der Umfang die Summe der drei Seiten, und beide treffen nur dann aufeinander, wenn die Katheten zufällig eine bestimmte Gleichung erfüllen.

3. Eine Kathete und die Hypotenuse, gesucht ist die Kathete

   1. Gesucht ist eine Kathete, also subtrahieren: 10² − 6² = 100 − 36 = 64
   2. Wurzel ziehen: √64 = 8
   3. Fläche: (6 × 8) ÷ 2 = 24
   4. Umfang: 6 + 8 + 10 = 24

   Die Richtung mit der Subtraktion und damit die, über die man am leichtesten stolpert, weil sich die beiden Rechenarten nur in einem Vorzeichen unterscheiden. Es ist das 3-4-5-Dreieck auf doppelter Größe, und das ist der Grund, warum Fläche und Umfang hier erneut auf dieselbe Zahl fallen: Verdoppelt man jede Seite, vervierfacht sich die Fläche und verdoppelt sich der Umfang, und hier treffen sich die beiden Faktoren. Die Antwort selbst liest sich ebenfalls richtig: Die gesuchte 8 ist kürzer als die Hypotenuse 10 und länger als die Kathete 6, genau dorthin gehört sie.

4. Ein anderer Ausgangspunkt für dieselbe zweite Kathete

   1. Gesucht ist eine Kathete, also subtrahieren: 169 − 144 = 25
   2. Wurzel ziehen: √25 = 5
   3. Fläche: (5 × 12) ÷ 2 = 30
   4. Umfang: 5 + 12 + 13 = 30

   Dasselbe Dreieck wie im zweiten Beispiel, nur über ein anderes Feldpaar betreten — und damit die Selbstkontrolle der Seite. Das Dreieck mit 5, 12 und 13 lässt sich sowohl aus den beiden Katheten lösen (zweites Beispiel) als auch aus einer Kathete plus Hypotenuse (dieses Beispiel), und beide Wege müssen dieselben drei Seiten ergeben. Beachten Sie, dass hier ein anderes Feld leer bleibt: Die Antwort ist wieder eine Kathete, aber diesmal a und nicht b, und die beiden Eingabefelder tragen gegenüber dem vorigen Beispiel vertauschte Zahlen.

5. Die beiden Katheten sind gleich lang

   1. Hypotenuse: 1 + 1 = 2
   2. Wurzel ziehen: √2 = 1,4142135…, auf zwei Stellen gerundet 1,41
   3. Fläche: (1 × 1) ÷ 2 = 0,5
   4. Umfang: 1 + 1 + 1,41421 = 3,41421…, auf zwei Stellen gerundet 3,41

   Das kleinste gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck und die klarste Vorführung davon, dass die Antwort meistens keine ganze Zahl ist. Ein Quadrat mit der Seitenlänge eins hat die Diagonale Wurzel zwei — eine Zahl, die weder aufgeht noch periodisch wird, und kein ganzzahliges Dreieck hat ein Seitenverhältnis von eins zu eins zu Wurzel zwei. Genau deshalb muss der Satz hier gerundet werden. Der Umfang ist in dieser Zeile der interessante Wert: Er ist das einzige Ergebnis, das von der ungerundeten Hypotenuse abhängt, und bei diesen Eingaben ergibt die Summe der beiden angezeigten Zahlen plus die angezeigte 1,41 zufällig ebenfalls denselben Wert — aber nicht bei jeder Eingabe.

6. Die beiden Katheten sind 0,5 und 1,2

   1. Hypotenuse: 0,25 + 1,44 = 1,69
   2. Wurzel ziehen: √1,69 = 1,3
   3. Fläche: (0,5 × 1,2) ÷ 2 = 0,3
   4. Umfang: 0,5 + 1,2 + 1,3 = 3

   Ein getarntes ganzzahliges Tripel: 0,5 und 1,2 und 1,3 sind 5, 12 und 13, jede Seite durch zehn geteilt, also trotz der Nachkommastellen exakte Werte und keine gerundeten. Pythagoreische Tripel lassen sich skalieren, deshalb gibt es unendlich viele von ihnen und deshalb kann auch ein unhandlich aussehendes Dezimaltripel sauber sein. Die Zeile zeigt außerdem: Eine Antwort mit Komma und eine gerundete Antwort sind zwei verschiedene Dinge — die 1,3 hier ist exakt, die 1,41 im Beispiel darüber ist es nicht, und die Seite kann Ihnen nicht sagen, welchen der beiden Fälle Sie vor sich haben.

Diese Seite berechnet eine fehlende Seite und gibt dazu Fläche und Umfang aus. Sie sagt Ihnen nicht, ob die drei Längen ein pythagoreisches Tripel bilden, ob das Dreieck gleichschenklig ist und zu welcher Klasse von Dreiecken es gehört — das ist eine Entscheidung und kein Versäumnis. Ob eine Seitenkombination ein pythagoreisches Tripel ist, lässt sich innerhalb dieser Seite nicht zuverlässig beantworten, weil die Zahlen, die der Rechner zu sehen bekommt, bereits in Zentimeter umgerechnet sind: Eine Kathete, die als drei Zoll eingegeben wurde, kommt als 7,62 an, und ob das ursprüngliche Tripel ganzzahlig war, ist mit der Umrechnung verloren gegangen. Ein Urteil, das sich mit der gewählten Einheit ändert, ist schlechter als keines, deshalb schweigt diese Seite und überlässt die Einordnung einem anderen Werkzeug. Gerechnet wird durchgehend in Zentimetern und Quadratzentimetern, unabhängig davon, was im Auswahlfeld steht, und die Umrechnung liegt vor dem Lösen des Dreiecks und nicht dahinter. Quadrieren ist nicht linear, das ist also nicht dasselbe wie „in der ursprünglichen Einheit lösen und das Ergebnis umrechnen“: Ein in Zoll eingegebenes ganzzahliges Tripel ergibt keine ganzzahligen Zentimeter. Die gesuchte Seite kommt aus einer Wurzel und ist für nahezu jede Eingabe irrational, die zwei Nachkommastellen sind also ein Abschneiden und keine vollständige Antwort — auch wenn die eingegebenen Seiten selbst exakt sein können. Umfang und Fläche werden aus den ungerundeten Seitenlängen berechnet, deshalb kann das Nachrechnen mit den angezeigten Zahlen in der letzten Stelle um eins abweichen. Genau zwei der drei Felder müssen gefüllt sein: Ein einzelnes Feld wird abgelehnt, weil die Form damit nicht festliegt, und drei Felder ebenfalls, weil die drei Seiten einander bedingen und hinter einem widersprüchlichen Tripel kein Dreieck steht. Die Seitenlänge 0 wird nicht angenommen — anders als beim Kreis, wo der Radius null ein zulässiger Grenzfall ist —, denn ein Dreieck mit einer Seite der Länge null existiert nicht, und Fläche wie Umfang wären bedeutungslos. Die Hypotenuse muss strikt länger sein als eine gleichzeitig angegebene Kathete; passt das nicht, fordert die Seite Sie auf, die beiden Zahlen zu vertauschen, statt einen Fehlercode auszugeben — die Meldung bedeutet also, dass die Felder vertauscht sind, und das ist der häufigste Fehler, den diese Form provoziert. Und schließlich: Dies ist ein Dreieck in der Ebene mit einem rechten Winkel; schiefwinklige Dreiecke und Dreiecke auf einer Kugeloberfläche fallen nicht unter diesen Satz.

Welche zwei der drei Felder muss ich ausfüllen?

Beliebig zwei. Die beiden Katheten gehen, eine Kathete zusammen mit der Hypotenuse geht auch, und die Seite erkennt am leeren Feld, welcher der beiden Fälle gemeint ist. Ein einzelnes Feld wird abgelehnt, drei Felder ebenfalls. Eine einzige Seite legt ein rechtwinkliges Dreieck nicht fest, es gibt dann nichts zu lösen; und drei Seiten legen die Form überbestimmt fest — zwei beliebige bestimmen die dritte bereits, und hinter einem widersprüchlichen Tripel steht kein Dreieck.

Woran erkenne ich, ob ich addieren oder subtrahieren muss?

Daran, welches Feld leer geblieben ist. Ist die Hypotenuse die fehlende Seite, addieren Sie die Quadrate der beiden Katheten und ziehen die Wurzel; fehlt eine Kathete, subtrahieren Sie das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse und ziehen aus dem Rest die Wurzel. Die Seite entscheidet das anhand der Form Ihrer Eingabe, und genau das ist der Grund, sie statt eines gewöhnlichen Taschenrechners zu benutzen: Die beiden Fälle unterscheiden sich nur in einem Vorzeichen, und wer sie verwechselt, bekommt eine Antwort, die völlig unauffällig aussieht und trotzdem falsch ist.

Die Seite sagt, die Hypotenuse müsse länger sein als die Kathete. Was habe ich falsch gemacht?

Sie haben die beiden Zahlen in die falschen Felder geschrieben. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste der drei Seiten, sie kann also weder kürzer als eine Kathete noch gleich lang sein. Vertauschen Sie die beiden Werte. Das ist der häufigste Fehler auf dieser Seite, weil die beiden Felder völlig gleich aussehen — einem gewöhnlichen Eingabefeld sieht man nicht an, welches für die lange Seite gedacht ist, und ein Dreieck mit den Seiten 5, 5 und 3 gibt es nicht.

Ich habe ganze Zahlen eingegeben. Warum hat die gesuchte Seite Nachkommastellen?

Weil die Quadratwurzel einer ganzen Zahl meistens keine ganze Zahl ist. Ganzzahlige rechtwinklige Dreiecke — drei, vier, fünf oder fünf, zwölf, dreizehn oder acht, fünfzehn, siebzehn — gibt es wirklich, und es gibt unendlich viele davon, aber sie machen nur einen kleinen Teil aller rechtwinkligen Dreiecke aus. In allen übrigen Fällen ist die gesuchte Seite irrational, und die zwei angezeigten Stellen sind die Stelle, an der sie abgeschnitten wird. Eine Antwort wie 7,62 ist ein Näherungswert, eine wie 8 ein exakter.

Sagt mir die Seite, ob meine Längen ein pythagoreisches Tripel sind?

Nein, und sie versucht es bewusst nicht. Wenn die Rechnung läuft, sind die Längen bereits in Zentimeter umgerechnet: Ein Dreieck, das als drei und vier Zoll eingegeben wurde, kommt als 7,62 und 10,16 beim Rechner an — ob die ursprünglichen Zahlen ganzzahlig waren, ist verschwunden, bevor die Frage überhaupt gestellt werden kann. Eine Prüfung, die je nach gewählter Einheit zu einem anderen Ergebnis kommt, ist schlechter als keine, deshalb liefert diese Seite nur die fehlende Seite und überlässt die Einordnung einem anderen Werkzeug.

Sind Fläche und Umfang dasselbe?

Nur zufällig, und die Referenztabelle dieser Seite enthält genau so einen Fall: Das Dreieck mit 5, 12 und 13 hat die Fläche dreißig Quadratzentimeter und den Umfang dreißig Zentimeter. Das sind verschiedene Größen, sie stimmen nur in der Zahl überein. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist das halbe Produkt der Katheten, der Umfang die Summe der drei Seiten, und für dieses Dreieck und wenige andere fallen beide zusammen. Zwei Zeilen darüber, beim 3-4-5-Dreieck, ist die Fläche sechs und der Umfang zwölf.

Darf eine Seitenlänge 0 sein?

Nein. Ein Dreieck mit einer Seite der Länge null ist kein Dreieck — die drei Punkte lägen auf einer Geraden oder fielen zusammen, und Fläche wie Umfang verlören ihren Sinn. Das ist in der Tat anders als beim Kreis derselben Unterkategorie, wo der Radius null eine zulässige Eingabe ist und einen auf einen Punkt zusammengezogenen Kreis beschreibt. Hier wird die Länge null direkt am Feld abgelehnt, und negative Längen ebenso.

• Pythagorean Theorem — from Wolfram MathWorld (English original; the relation between the two legs and the hypotenuse of a right triangle, together with the history this page recounts: the relation was in use in Babylonian computation more than a thousand years before Pythagoras, appears in early Indian and Chinese sources, and the Zhoubi Suanjing preserves a dissection proof) — Wolfram MathWorld
• Pythagorean Triple — from Wolfram MathWorld (English original; triples like 3-4-5 in which all three sides are whole numbers, which this page computes without ever identifying them, and why they are the exception rather than the rule) — Wolfram MathWorld
• Right Triangle — from Wolfram MathWorld (English original; the shape this page solves, in which the hypotenuse is defined as the side opposite the right angle and is therefore the longest of the three) — Wolfram MathWorld
• Satz des Pythagoras — Mathebibel: die Beziehung a² + b² = c², ihre Umstellungen nach jeder der drei Seiten und die beiden Richtungen (addieren für die Hypotenuse, subtrahieren für eine Kathete), die das Formular dieser Seite unterscheidet — Mathebibel