Abstand-Rechner

Abstand = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) Waagerechte Kathete = x₂ − x₁ Senkrechte Kathete = y₂ − y₁

Erster Punkt

Ein x und ein y — der Punkt, von dem aus gemessen wird. Seine Koordinaten sind reine Zahlen, dürfen also negativ, gebrochen oder null sein, und es gibt keine Einheit zur Auswahl

Zweiter Punkt

Der Punkt, zu dem gemessen wird, mit denselben Regeln. Er darf in jeder Richtung vom ersten liegen, auch genau darüber, darunter, links oder rechts von ihm

Waagerechte Kathete

Das erste x vom zweiten abgezogen, also der Schritt zur Seite von einem Punkt zum anderen. Ein negativer Wert heißt, dass der zweite Punkt links vom ersten liegt, und es ist dieselbe Zahl, die eine Steigungsrechnung als horizontale Differenz verwendet

Senkrechte Kathete

Das erste y vom zweiten abgezogen, der Schritt nach oben zwischen den Punkten. Ein negativer Wert heißt, dass der zweite Punkt tiefer liegt. Zusammen mit der waagerechten Kathete bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Abstand ist

Entfernung

Die Wurzel aus den beiden quadrierten Katheten, addiert. Sie ist nie negativ, nur dann null, wenn die beiden Punkte zusammenfallen, und weil sie meistens eine Wurzel ist, wird sie auf vier Nachkommastellen gerundet

Diese Seite ist für alle Fälle gedacht, in denen zwei Punkte vorliegen und nur der Zwischenraum interessiert, nicht die Richtung. Wie weit zwei Kartenpunkte auseinanderliegen, wie lang ein Zaun zwischen zwei Pfosten wird, wie viel Kabel eine Diagonale durch einen Raum braucht, wie weit eine Lieferung von einem Depot entfernt ist, wenn die Route eine Gerade ist und keine Straße. Sie ist außerdem die Kontrolle, zu der man greift, wenn eine längere Rechnung schiefgegangen ist: zwei Ergebnisse, die sich in einer Ebene eintragen lassen, kann man gegeneinander messen, und ein Abstand, der um eine Größenordnung danebenliegt, verrät einen Vorzeichenfehler weiter oben. Die beiden Katheten verdienen sich in einer anderen Gruppe von Aufgaben ihren Platz. Wer wissen will, wie viel des Zwischenraums zur Seite geht und wie viel nach oben, bekommt das hier direkt beantwortet, und zwar mit Vorzeichen, also mit Richtung und nicht nur mit Betrag. Genau das braucht man, bevor eine Steigung, ein Winkel oder ein Kurswinkel berechnet wird — diese Seite liefert keinen davon, aber sie gibt die beiden Zahlen heraus, aus denen sie alle gebaut sind. Eine Übung, die sich lohnt: die beiden Katheten im Kopf quadrieren und addieren, bevor die Antwort gelesen wird. Neun plus sechzehn ist fünfundzwanzig, ein Abstand von 5 ist also richtig, und ein Abstand von 50 wäre ein verrutschtes Komma und kein überraschendes Ergebnis.

1. Drei nach rechts, vier nach oben

   1. Waagerechte Kathete: 3 − 0 = 3
   2. Senkrechte Kathete: 4 − 0 = 4
   3. Beide quadrieren: 9 und 16
   4. Addieren und die Wurzel ziehen: √25 = 5

   Die Voreinstellung der Seite und zugleich das kleinste rechtwinklige Dreieck, dessen drei Seiten alle ganze Zahlen sind. Zwei Dinge sind daran bemerkenswert. Die beiden Katheten sind genau die eingegebenen Zahlen, was nur vorkommt, wenn ein Punkt im Ursprung liegt, und der Abstand ist exakt statt eine gerundete Wurzel, was auf dieser Seite selten ist. Nehmen Sie diese Eingabe als Eichung: Kommt hier 5 zurück, stimmt die Rechnung, und jede seltsam aussehende Antwort an anderer Stelle ist eine Eigenschaft der Eingabe und kein Defekt.

2. Eine Diagonale, deren Abstand eine gerundete Wurzel ist

   1. Waagerechte Kathete: 5 − 1 = 4
   2. Senkrechte Kathete: 8 − 2 = 6
   3. Beide quadrieren: 16 und 36
   4. Addieren: 52, dann die Wurzel ziehen: 7,21110255…, gerundet 7,2111

   Der gewöhnliche Fall und nicht der saubere. 52 ist keine Quadratzahl, die Antwort ist also irrational, und die vier gedruckten Stellen sind ihr Anfang und nicht das Ganze. Eine Kontrolle, die nichts kostet: der Abstand muss länger sein als jede der beiden Katheten, 7,2111 gegen Katheten von 4 und 6 ist also plausibel, während ein Abstand kürzer als die längere Kathete hieße, dass die Wurzel auf die falsche Größe angewendet wurde.

3. Dieselben zwei Punkte, andersherum gemessen

   1. Waagerechte Kathete: 0 − 3 = −3
   2. Senkrechte Kathete: 0 − 4 = −4
   3. Beide quadrieren: 9 und 16, denn das Quadrieren nimmt die Vorzeichen weg
   4. Addieren und die Wurzel ziehen: √25 = 5

   Die Strecke mit dem Seitenverhältnis 3 zu 4 zu 5 mit vertauschten Enden und die klarste Vorführung zweier Eigenschaften auf einmal. Beide Katheten kommen negativ zurück, weil beide Differenzen jetzt in die andere Richtung gemessen werden, der Abstand bleibt bei 5, weil das Quadrieren die Vorzeichen wegwirft, bevor sie Schaden anrichten können. Das ist der ganze Grund, warum ein Abstand immer positiv ist: er ist eine Länge, und die Richtung, in der gemessen wurde, geht in die Rechnung nie ein.

4. Ein Abstand in Millionenhöhe

   1. Waagerechte Kathete: 6.000.000 − 0 = 6.000.000
   2. Senkrechte Kathete: 8.000.000 − 0 = 8.000.000
   3. Beide quadrieren und addieren: 3,6 × 10¹³ plus 6,4 × 10¹³ ergibt 10¹⁴
   4. Die Wurzel ziehen: 10.000.000

   Dasselbe Dreieck, um zwei Millionen vergrößert — das ist der Fall, der auftritt, wenn dieselben Koordinaten für ein projiziertes Kartenraster in Metern stehen und nicht für ein Diagramm auf Papier. An der Größe der Zahlen ändert sich auf der Seite nichts: die beiden Katheten sind so exakt wie die Eingaben, und der Abstand kommt ganzzahlig heraus. Diese Zeile steht hier, damit das deutlich wird, denn wer bei großen Koordinaten mit Rundung rechnet, misstraut sonst der exakten Antwort.

5. Zwei Punkte, die derselbe Punkt sind

   1. Waagerechte Kathete: 2,5 − 2,5 = 0
   2. Senkrechte Kathete: ((−1,5) − (−1,5)) = 0
   3. Beide quadrieren: 0 und 0
   4. Addieren und die Wurzel ziehen: √0 = 0

   Ein Abstand von null ist für einen Punkt und sich selbst die richtige Antwort, und es ist die einzige Eingabe, die eine liefern kann, denn die Summe zweier Quadrate ist nur dann null, wenn beide Quadrate null sind. Die Seite behandelt das nicht als leeres Ergebnis. Es lohnt sich, das einmal gesehen zu haben, damit eine Null in der Spalte nicht als nicht ausgefülltes Feld gelesen wird.

Die Seite misst in der Ebene und nur in der Ebene. Für eine dritte Koordinate gibt es kein Feld, ein Abstand zwischen zwei Punkten im Raum ist also außer Reichweite: dafür bräuchte man zusätzlich die Differenz auf der dritten Achse, und diese Seite hat keinen Platz dafür. Ein Entwurf mit optionalen z-Feldern wurde erwogen und verworfen, weil ein Punkt mit z und einer ohne keine sinnvolle Antwort hat und die beiden benachbarten Koordinatenseiten dieselben Felder hätten nachziehen müssen. Die Koordinaten sind einheitenlos, die Antwort steht also in derselben Einheit wie die Eingabe, und die Seite erkennt ein gemischtes Paar nicht: steht ein Punkt in Metern und der andere in Millimetern, läuft die Rechnung munter durch und liefert eine Zahl, die falsch ist, und nichts auf der Seite sagt das. Die beiden Katheten sind gerichtete Differenzen und keine Abstände, eine negativ gedruckte Kathete ist also richtig und kein Fehler, den man beheben müsste. Der Abstand selbst ist auf vier Nachkommastellen gerundet und meistens irrational, der gedruckte Wert ist also die Stelle, an der die Ziffern aufhören, und nicht die ganze Antwort. Koordinaten sind auf plus/minus eine Milliarde begrenzt, was weit über jedes Diagramm hinausgeht, aber deutlich innerhalb mancher in Metern gemessenen Projektionssysteme liegt; solche Eingaben werden abgelehnt statt berechnet. Und schließlich ist das ein geradliniger Abstand und keine Route: wer Straßen, Mauern oder eine Küstenlinie entlang muss, für den ist die Zahl hier der kürzestmögliche Weg und immer kürzer als der Weg, der sich tatsächlich zurücklegen lässt.

Wie lautet die Abstandsformel?

Es ist der Satz des Pythagoras in Koordinaten. Man nimmt die Differenz der beiden x-Werte und die Differenz der beiden y-Werte, quadriert jede für sich, addiert beide und zieht die Wurzel. Die beiden Differenzen sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, der Abstand ist seine Hypotenuse; die Formel ist also keine zweite Regel zum Auswendiglernen, sondern die Dreiecksregel angewendet auf den Schritt zwischen den Punkten. Für (0; 0) und (3; 4) ist das √(9 + 16), und das ist 5.

Warum sind die beiden Zusatzspalten manchmal negativ?

Weil sie gerichtete Schritte sind und kein bloßer Zwischenraum, und ein Schritt hat eine Richtung. Die waagerechte Kathete ist das erste x vom zweiten abgezogen, sie ist also genau dann negativ, wenn der zweite Punkt links vom ersten liegt; die senkrechte Kathete ist negativ, wenn der zweite Punkt tiefer liegt. Die Seite behält das Vorzeichen absichtlich. Es ist das Einzige, was sagt, auf welcher Seite der zweite Punkt liegt, es ist das, was eine Steigungs- oder Kurswinkelrechnung als Nächstes braucht, und der Abstand selbst ignoriert die Vorzeichen vollständig, weil das Quadrieren sie entfernt.

Funktioniert das auch für Punkte im Raum?

Nein, und die Seite tut nicht so — es gibt kein drittes Koordinatenfeld zum Ausfüllen. Ein räumlicher Abstand braucht zusätzlich die Differenz auf der dritten Achse, zur Summe der Quadrate addiert, bevor die Wurzel gezogen wird, und mit nur zwei Koordinaten müsste die Seite einen Wert für die dritte annehmen. Wer Punkte im Raum hat, kann den Abstand in der Ebene mit dieser Seite berechnen und ihn anschließend selbst mit dem Höhenunterschied zusammenführen; diesen Schritt nimmt die Seite aber nicht ab.

Sind die Koordinaten in Metern, Zentimetern oder etwas anderem?

In dem, was Sie dafür erklären. Die Seite behandelt sie als reine Zahlen, hängt der Antwort keine Einheit an und bietet auch keine Auswahlliste dafür, und das ist Absicht: ein Koordinatenpaar aus einem Diagramm oder einem Kartenraster hat erst dann eine Einheit, wenn man entschieden hat, worin das Raster gezeichnet wurde. Sind die Zahlen in Metern, ist der Abstand in Metern, sind sie in Längengraden, ist er in Grad, und diese letzte Angabe lässt sich ohne den Ort auf dem Globus nicht in Kilometer umrechnen.

Kann der Abstand negativ oder null sein?

Negativ kann er nicht sein, weil das Quadrieren der beiden Katheten jedes Vorzeichen entfernt, bevor addiert wird, und eine Wurzel aus einer nicht negativen Zahl nie negativ ist. Null ist er nur, wenn beide Katheten null sind, das heißt wenn die beiden Punkte derselbe Punkt sind — eine echte Antwort und keine gescheiterte Rechnung. Jedes andere Paar verschiedener Punkte ergibt einen positiven Abstand, so nah sie auch beieinanderliegen.

Wie prüfe ich die Antwort ohne Rechner?

Man quadriert die beiden Katheten und addiert sie, dann fragt man, welche Zahl ins Quadrat diese Summe ergibt. Vier und sechs geben 16 plus 36, also 52, und 7,2111 zum Quadrat liegt nahe bei 52 — die Antwort liegt damit im richtigen Bereich, obwohl 52 keine Quadratzahl ist. Zwei Eigenschaften machen die Prüfung kurz: der Abstand ist immer länger als jede der beiden Katheten, weil die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist, und er ist immer kürzer als die Summe der beiden Katheten. Alles außerhalb dieser Grenzen ist falsch.

• Distance — the distance between two points in the plane, given as the square root of the sum of the squared coordinate differences, which is the formula this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Cartesian coordinates — the coordinate system in which a point is named by its perpendicular distances from a pair of axes, and the setting in which the two legs here are horizontal and vertical — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — the relation between the legs of a right triangle and its hypotenuse, which is what the distance formula is, since the two coordinate differences are the legs and the distance is the hypotenuse — Wolfram MathWorld (United States)
• Abstand Punkt-Punkt — die Herleitung des Abstands zweier Punkte in der Ebene aus dem Satz des Pythagoras, mit Beispielen und dem Hinweis, dass die Koordinaten beim Quadrieren ihre Vorzeichen verlieren — Mathebibel (Deutschland)