Endpunkt-Rechner

Anderes Ende x = 2 × (Mittelpunkt x) − (bekanntes Ende x) Anderes Ende y = 2 × (Mittelpunkt y) − (bekanntes Ende y) Abstand zum Ende = √((bekanntes x − Mittelpunkt x)² + (bekanntes y − Mittelpunkt y)²)

Mittelpunkt

Ein x und ein y für den Punkt in der Mitte der Strecke. Er ist vorgegeben und wird nicht berechnet, muss also der wahre Mittelpunkt der Strecke sein, die Sie im Kopf haben — die Seite kann nicht erkennen, dass er es nicht ist

Bekannter Endpunkt

Das Ende, das Sie bereits haben. Es muss eines der beiden Enden sein und nicht irgendein anderer Punkt auf der Strecke, denn die Regel setzt voraus, dass es genau so weit vom Mittelpunkt entfernt liegt wie die Antwort

Anderer Endpunkt

Die Antwort, eine Koordinate je Achse, jede auf vier Nachkommastellen gerundet. Sie liegt gleich weit vom Mittelpunkt entfernt wie das bekannte Ende, aber auf der gegenüberliegenden Seite, und fällt damit meistens außerhalb des Bereichs der Zahlen, die Sie eingetippt haben

Abstand zum Ende

Der Abstand vom bekannten Ende zum Mittelpunkt, direkt aus diesen beiden Punkten berechnet. Er ist die Selbstkontrolle der Seite: das rekonstruierte Ende muss gleich weit vom Mittelpunkt entfernt liegen, und der Vergleich dieser Zahl mit Ihrer eigenen Messung ist es, was ein umgedrehtes Vorzeichen auffliegen lässt

Vier Dezimalstellen

Die Breite, in der jede Zahl geschrieben wird, abschließende Nullen eingeschlossen. Koordinaten, die ganze Zahlen sind, werden trotzdem mit vier Nullen gedruckt, und das ist eine Anzeigeentscheidung und keine Aussage über die Genauigkeit

Die naheliegende Aufgabe ist, eine Form fertigzustellen: Sie haben die Mitte von etwas und eine Kante, und Sie brauchen den direkt gegenüberliegenden Punkt. Der Kreismittelpunkt und ein Ende eines Durchmessers liefern das andere Ende dieses Durchmessers, und das ist dieselbe Aufgabe in anderen Worten. Wer als Vermesser in der Mitte eines Verlaufs einen Pflock gesetzt hat und weiß, wo ein Ende gelandet ist, will das andere Ende, und genau das ist diese Seite. Sie taucht auch beim Zeichnen auf — die Mitte einer Linie und ein Ende sind bekannt, und für eine Spiegelung oder ein passendes Gegenstück wird das ferne Ende gebraucht. Es gibt eine zweite, weniger offensichtliche und oft wertvollere Verwendung: das Prüfen. Nehmen Sie eine Strecke, bestimmen Sie ihren Mittelpunkt, geben Sie diesen und ein Ende hier ein, und die Seite sollte das andere Ende zurückgeben. Tut sie es nicht, war der Mittelpunkt falsch oder die Strecke ist nicht gerade, und in beiden Fällen haben Sie etwas erfahren, das man wissen will, bevor man darauf aufbaut. Die Zeile mit dem Abstand ist die schnellste Form dieser Prüfung, denn eine Form, deren beide Hälften nicht übereinstimmen, ist nicht symmetrisch zu dem Punkt, den Sie für ihre Mitte hielten. Eine Gewohnheit macht die Antwort viel vertrauenswürdiger: fragen Sie sich vor dem Lesen des Ergebnisses, auf welcher Seite des Mittelpunkts der neue Punkt liegen muss. Die Antwort ist immer die dem eingegebenen Ende gegenüberliegende Seite, und ein Ergebnis auf derselben Seite wie das bekannte Ende ist ein Vorzeichenfehler und keine Überraschung.

1. Das Paar der Voreinstellung, also der Mittelpunkt-Fall rückwärts gelesen

   1. Das Doppelte des Mittelpunkt-x: 3 × 2 = 6, dann das bekannte x abziehen: 6 − 1 = 5
   2. Das Doppelte des Mittelpunkt-y: 5 × 2 = 10, dann das bekannte y abziehen: 10 − 2 = 8
   3. Das andere Ende ist (5; 8)
   4. Abstand: der Weg von (1; 2) nach (3; 5) ist √(4 + 9) = √13 = 3,6056

   Dieselbe Strecke, mit der die Mittelpunktseite lädt, nur in der anderen Richtung: gibt man jener Seite (1; 2) und (5; 8), liefert sie (3; 5), und genau dort beginnt diese Seite. Dass die beiden Seiten übereinstimmen, ist die billigste mögliche Prüfung, dass keine der beiden Formeln ihre Vorzeichen vertauscht hat, und sie gilt für jede Eingabe und nicht nur für diese. Der Abstand von 3,6056 ist dieselbe Zahl, die die Mittelpunktseite für dieselbe Strecke druckt, und das ist kein Zufall — es ist derselbe Weg zwischen demselben Punktepaar.

2. Das andere Ende einer Strecke, deren Mitte im Ursprung liegt

   1. Das Doppelte des Mittelpunkt-x: 0 × 2 = 0, dann das bekannte x abziehen: 0 − 3 = −3
   2. Das Doppelte des Mittelpunkt-y: 0 × 2 = 0, dann das bekannte y abziehen: 0 − 4 = −4
   3. Das andere Ende ist (−3; −4)
   4. Abstand: der Weg von (3; 4) zum Ursprung ist √(9 + 16) = 5

   Ein Mittelpunkt im Ursprung lässt die Regel zu einem Vorzeichenwechsel zusammenfallen, und das ist der klarste Fall, um zu sehen, was die Seite tut: die Antwort ist eine Spiegelung des bekannten Endes am Mittelpunkt. Bei mehreren Nullen in der Eingabe geht außerdem leicht ein Vorzeichen verloren, diese Eingabe ist also die richtige, wenn ein Ergebnis falsch aussieht — die Antwort ist hier erzwungen, und es gibt nichts zu runden.

3. Ein Endpunkt im gegenüberliegenden Quadranten

   1. Das Doppelte des Mittelpunkt-x: (−2) × 2 = −4, dann das bekannte x abziehen: −4 − 4 = −8
   2. Das Doppelte des Mittelpunkt-y: 1 × 2 = 2, dann das bekannte y abziehen: 2 − (−3) = 5
   3. Das andere Ende ist (−8; 5)
   4. Abstand: der Weg von (4; −3) nach (−2; 1) ist √(36 + 16) = √52 = 7,2111

   Hier tut jedes Vorzeichen etwas, und die zweite Zeile ist die, die Leute erwischt: ein negatives y abzuziehen addiert, die Antwort 5 liegt also über dem Mittelpunkt von 1 und nicht darunter. Das rekonstruierte Ende liegt im diagonal gegenüberliegenden Quadranten des bekannten Endes, und das ist das allgemeine Muster — eine Strecke durch einen Mittelpunkt wechselt in beiden Achsen zugleich von einer Seite auf die andere.

4. Ein bekanntes Ende, das der Mittelpunkt selbst ist

   1. Das Doppelte des Mittelpunkt-x: 2 × 2 = 4, dann das bekannte x abziehen: 4 − 2 = 2
   2. Dasselbe für y: 4 − 2 = 2
   3. Das andere Ende ist (2; 2), der Punkt, von dem Sie ausgegangen sind
   4. Abstand: der Weg ist null, weil die beiden Punkte zusammenfallen

   Eine Strecke der Länge null ist der einzige Fall, in dem die Antwort nicht auf der Gegenseite des Mittelpunkts liegt — sie ist der Mittelpunkt, und das bekannte Ende liegt dort ebenfalls. Das ist die richtige Antwort und kein entarteter Fehlschlag: sind beide Enden einer Strecke derselbe Punkt, dann ist dieser Punkt auch ihre Mitte, und die Seite hat nichts weiter zu sagen. Einmal gesehen zu haben lohnt sich, damit eine wiederholte Koordinate nicht als Programmfehler gelesen wird.

5. Ein Mittelpunkt weit entfernt vom bekannten Ende

   1. Das Doppelte des Mittelpunkt-x: 1.000.000 × 2 = 2.000.000, dann das bekannte x abziehen: 2.000.000 − 0 = 2.000.000
   2. Das Doppelte des Mittelpunkt-y: 0 × 2 = 0, dann das bekannte y abziehen: 0 − 0 = 0
   3. Das andere Ende ist (2.000.000; 0)
   4. Abstand: der Weg vom Ursprung nach (1.000.000; 0) ist 1.000.000

   Der Fall, der zeigt, dass die Antwort nicht auf den Bereich der Eingaben beschränkt ist. Beide eingetippten Zahlen liegen innerhalb einer Million um den Ursprung, und die Antwort liegt zwei Millionen weit draußen — weiter als alles auf der Seite, weil das bekannte Ende und die Antwort den Mittelpunkt umschließen statt nebeneinander zu liegen. Nichts davon ist ein Überlauf oder eine Näherung: ganze Zahlen zu verdoppeln und zu subtrahieren bleibt weit über diese Größe hinaus exakt.

Die Seite setzt voraus, dass der Punkt, den Sie Mittelpunkt nennen, wirklich einer ist. Sie prüft nicht, ob das bekannte Ende und das rekonstruierte Ende gleich weit von ihm entfernt liegen — sie konstruiert das zweite so, dass sie es sind; ein Mittelpunkt, der schon falsch hineinging, liefert also eine Antwort, die um genau dasselbe Maß falsch ist, und die Seite kann das nicht erkennen. Ist Ihr Mittelpunkt eine Schätzung und keine Messung, ist die Antwort ebenfalls eine Schätzung. Die Koordinaten tragen keine Einheit, und die Seite rechnet nichts um und speichert nichts, sie kann also nicht sehen, dass ein Mittelpunkt in Metern und ein Ende in Millimetern gemischt wurden. Die vier Eingaben sind auf plus/minus eine Milliarde begrenzt, das rekonstruierte Ende aber nicht: es kann drei Milliarden erreichen, und das ist richtig und kein Fehler, weil Verdoppeln und anschließendes Subtrahieren über die Zahlen hinausgehen darf, die vorgegeben wurden. Eine rekonstruierte Koordinate außerhalb des eingetippten Bereichs ist auf dieser Seite normal. Der Abstand ist auf vier Nachkommastellen gerundet und häufig irrational, für die meisten Eingaben also eine Näherung, und eine Handrechnung gegen Ihre eigene Messung wird nicht immer auf der letzten Stelle übereinstimmen. Schließlich rekonstruiert die Seite einen Punkt und sagt sonst nichts: sie liefert nicht die volle Länge der Strecke, nicht die Steigung der Geraden durch sie und keine dritte Dimension, ein Punktepaar im Raum lässt sich hier also auch dann nicht vervollständigen, wenn zwei der drei Koordinaten bekannt sind.

Wie lautet die Endpunktformel?

Das Doppelte des Mittelpunkts nehmen und das bekannte Ende davon abziehen, einmal je Achse. Ist der Mittelpunkt 3 und das bekannte Ende 1, dann ist das andere Ende 6 minus 1, also 5. Es ist die Mittelpunktregel umgestellt: der Mittelpunkt ist der Mittelwert der beiden Enden, die beiden Enden zusammen sind also das Doppelte des Mittelpunkts, und eines davon abzuziehen lässt das andere übrig. Außer der Richtung dieser letzten Subtraktion gibt es nichts zu merken. Auf dem Ergebnisbereich trägt die Zeile Anderer Endpunkt x die x-Koordinate und die Zeile Anderer Endpunkt y die y-Koordinate.

Warum liegt die Antwort außerhalb des Bereichs der Zahlen, die ich eingetippt habe?

Weil die beiden Enden auf gegenüberliegenden Seiten des Mittelpunkts liegen, die Antwort also ebenso weit über die Mitte hinausreicht, wie das eingegebene Ende dahinter zurückliegt. Tippen Sie einen Mittelpunkt eine Million vom Ursprung entfernt und ein bekanntes Ende im Ursprung ein, liegt die Antwort zwei Millionen weit draußen. Das ist kein Überlauf und kein Fehler — Verdoppeln und Subtrahieren darf eine größere Zahl liefern als beide Eingaben, und die Seite hat für das Ergebnis keine eigene Obergrenze, nur die milliardenbreite Grenze für das, was in die vier Felder eingetippt werden kann.

Wofür ist die dritte Zahl auf der Seite gut?

Sie ist die Seite, die sich selbst prüft. Ein Mittelpunkt ist von beiden Enden gleich weit entfernt, der Abstand zwischen dem bekannten Ende und dem Mittelpunkt muss also genauso groß sein wie der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und dem gerade rekonstruierten Ende. Die Seite druckt den ersten dieser beiden Abstände, und passt er zu der halben Länge, die Sie bereits kannten, ist die Antwort stimmig. Den zweiten Abstand zum Vergleich heranzuziehen würde nichts beweisen, denn dann prüfte die Seite ihre eigene Antwort mit ihrer eigenen Antwort.

Prüft die Seite, ob mein Mittelpunkt wirklich der Mittelpunkt ist?

Nein, und sie kann es nicht. Die Seite nimmt den Punkt, den Sie Mittelpunkt nennen, als gegebene Tatsache und baut das andere Ende so, dass es gleich weit entfernt liegt — war der eingegebene Punkt nicht die wahre Mitte der Strecke, ist die Antwort um genau dasselbe Maß falsch, und nichts auf der Seite sieht ungewöhnlich aus. Ein Mittelpunkt, der eine Schätzung und keine Messung ist, liefert einen geschätzten Endpunkt. Die Zeile mit dem Abstand ist der einzige Griff, den Sie bekommen, und sie sagt nur etwas über die eingegebene Geometrie aus und nichts über die Wirklichkeit.

Kann ich das für Punkte im Raum verwenden?

Nur wenn Sie Achse für Achse arbeiten. Die Seite hat zwei Koordinatenfelder je Punkt und kein drittes, ein dreidimensionales Problem lässt sich also nicht so eintragen, wie es ist. Die Regel selbst hat mit zwei Dimensionen nichts zu tun — den Mittelpunkt verdoppeln und das bekannte Ende abziehen, auf jeder Achse —, Sie können dieselbe Rechnung also selbst auf die dritte Koordinate anwenden, aber die Seite tut es nicht und zeigt das Ergebnis nicht.

Was ist, wenn das bekannte Ende der Mittelpunkt ist?

Dann ist die Antwort derselbe Punkt, und der Abstand ist null. Eine Strecke, deren Enden zusammenfallen, hat keine Länge, und ihre Mitte ist der Punkt selbst, es ist also nichts schiefgegangen. Es ist der einzige Fall, in dem das rekonstruierte Ende nicht auf der gegenüberliegenden Seite des Mittelpunkts liegt, und ihn einmal zu sehen lohnt sich, damit eine wiederholte Koordinate nicht wie ein Fehlschlag der Rechnung aussieht.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, and the relation this page inverts to recover the far end from the middle and one end — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, where knowing the middle and one end determines the other end completely — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair the page takes in and gives back, and the reason no unit is attached to any of it — Wolfram MathWorld (United States)
• Verbindungsvektor — der Vektor von einem Punkt zum anderen, aus dem sich das fehlende Ende einer Strecke ergibt, wenn Mittelpunkt und ein Ende bekannt sind — Mathebibel (Deutschland)