Steigung-aus-Höhe-und-Länge-Rechner

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) θ = arctan(m) Steigung in % = m × 100

m

Die Steigung: Höhenunterschied geteilt durch waagerechte Differenz. Sie ist eine reine Zahl ohne Einheit und sagt, um wie viele Einheiten die Gerade steigt, wenn man eine Einheit nach rechts geht. Ein Betrag über eins bedeutet einen Winkel über 45 Grad, ein Betrag unter eins einen flacheren Winkel, und das Vorzeichen sagt die Richtung; ein Minuszeichen heißt, dass die Gerade fällt

Δy = y₂ − y₁

Der Höhenunterschied. Er trägt ein Vorzeichen: Ein negatives Δy heißt, der zweite Punkt liegt tiefer als der erste, und die Gerade fällt. Der Name ist die englische Bezeichnung rise, die man in der Wendung rise over run wiederfindet, nach der diese Seite heißt. Die beiden Koordinaten eines Punktes gehören zusammen: x₁ gehört zu y₁, und wer hier die y-Koordinate des zweiten Punktes einträgt, beschreibt eine andere Gerade

Δx = x₂ − x₁

Die waagerechte Differenz. Sie ist der Nenner der Steigung und damit die Stelle, an der eine senkrechte Gerade auffällt: Wird sie null, gibt es keine Steigung, und die Seite lehnt die Rechnung ab. Sie steht mit im Ergebnis, weil man an ihr am schnellsten sieht, ob die eingetragenen Punkte weit auseinander oder dicht beieinander liegen

θ = arctan(m)

Der Steigungswinkel: der Arkustangens der Steigung, in Grad. Er ist die Schreibweise, die man für Sinus und Kosinus braucht, und er trägt dasselbe Vorzeichen wie die Steigung. Weil der Arkustangens immer zwischen minus 90 und plus 90 Grad liegt, kann er eine senkrechte Gerade gar nicht erst beschreiben — das ist der zweite Grund, warum diese Seite den senkrechten Fall ablehnt

Steigung in % = m × 100

Dieselbe Steigung, mit hundert multipliziert. So steht sie auf Verkehrszeichen und in den Vorschriften des Bauwesens: Eine Steigung von 0,05 ist eine Steigung von 5 Prozent. Diese Schreibweise wird bei kleinen Werten gebraucht, weil sich dort mit Prozent bequemer sprechen lässt — eine Steigung von 0,0833 ist als 8,33 Prozent sofort einzuordnen

Zwei Punkte, und dazwischen eine Gerade — mehr braucht diese Seite nicht, und fast jede Frage dieser Art lässt sich mit ihr beantworten. In der Geometrie und im Koordinatensystem ist sie der übliche Weg, aus zwei Punkten die Geradengleichung vorzubereiten: Die Steigung ist der eine Bestandteil davon, ein Punkt der andere. Im Bauwesen und in der Vermessung geht es um Gefälle und Steigungen: Für eine Rampe, eine Dachschräge, einen Abwasserkanal oder eine Straße sind zwei Höhen über einer bekannten Strecke das, was man vor Ort tatsächlich messen kann, und der Rest folgt. In der Physik und in der Technik ist die Steigung zwischen zwei Messpunkten oft selbst das Ergebnis — die Geschwindigkeit als Steigung im Weg-Zeit-Diagramm, der Widerstand als Steigung im Strom-Spannungs-Diagramm —, und dort ist der Steigungswinkel zwar selten die gesuchte Größe, die Steigung aber immer. Auch die Statistik kennt die Aufgabe: Eine Regressionsgerade ist genau die Gerade durch eine Punktwolke, und ihre Steigung ist die Zahl, über die am Ende gesprochen wird. Zwei Kontrollen, die die meisten Eingabefehler abfangen. Rechnen Sie die Steigung im Kopf nach, wenn die Punkte glatte Koordinaten haben — bei einem Punkt im Ursprung ist die Steigung einfach y₂ geteilt durch x₂, und bei der Steigung 0,5 muss die Gerade in vier Schritten nach rechts zwei nach oben gehen. Und prüfen Sie, ob das Vorzeichen zum Bild passt: Ein zweiter Punkt, der rechts und weiter unten liegt als der erste, ergibt eine negative Steigung; ein positives Ergebnis wäre dort ein Zeichen dafür, dass die beiden y-Werte vertauscht wurden.

1. Zwei Punkte mit glatten Koordinaten

   1. Höhenunterschied: 2 − 0 = 2
   2. Waagerechte Differenz: 4 − 0 = 4
   3. Steigung: 2 ÷ 4 = 0,5
   4. Steigungswinkel: arctan(0,5) = 26,565…, gerundet 26,57 Grad
   5. Steigung in Prozent: 0,5 × 100 = 50

   Die Voreinstellung des Formulars, und der Punkt liegt im Ursprung, deshalb ist die Steigung hier direkt als 2 geteilt durch 4 ablesbar. Beachten Sie das Zusammentreffen in der letzten Zeile: Eine Steigung von 0,5 ist eine Steigung von 50 Prozent, und beides bedeutet, dass die Gerade in zwei Schritten nach rechts einen nach oben geht. Der Winkel dagegen ist keine glatte Zahl, weil der Arkustangens von 0,5 irrational ist — 26,57 Grad ist die gerundete Fassung von 26,5650…, und genau deshalb steht auf dieser Seite jeder Winkel mit zwei Nachkommastellen und nicht als Bruch.

2. Ein Punkt außerhalb des Ursprungs

   1. Höhenunterschied: 8 − 2 = 6
   2. Waagerechte Differenz: 5 − 1 = 4
   3. Steigung: 6 ÷ 4 = 1,5
   4. Steigungswinkel: arctan(1,5) = 56,309…, gerundet 56,31 Grad
   5. Steigung in Prozent: 1,5 × 100 = 150

   Dasselbe Muster wie im ersten Beispiel, nur liegen die Punkte nicht mehr auf den Achsen — und das ist der Grund, warum dieses Beispiel hier steht. Es sind nicht die einzelnen Koordinaten, die in die Rechnung eingehen, sondern nur ihre Differenzen, und deshalb ist es gleichgültig, wo die Gerade liegt: Eine Gerade durch die Punkte eins, zwei und fünf, acht hat dieselbe Steigung wie eine Gerade durch null, null und vier, sechs. Eine Steigung über eins bedeutet einen Winkel über 45 Grad, und die 150 Prozent in der letzten Zeile sind die Bestätigung: Alles über 100 Prozent ist steiler als 45 Grad.

3. Eine sehr flache Steigung

   1. Höhenunterschied: 1 − 0 = 1
   2. Waagerechte Differenz: 12 − 0 = 12
   3. Steigung: 1 ÷ 12 = 0,0833…
   4. Steigungswinkel: arctan(0,0833…) = 4,763…, gerundet 4,76 Grad
   5. Steigung in Prozent: 0,0833… × 100 = 8,33

   Die flachste Zeile der Referenztabelle und der Fall, in dem die Prozentschreibweise ihre Berechtigung zeigt. Als reine Zahl ist 0,0833 kaum einzuordnen; als 8,33 Prozent erkennt man sofort, dass es sich um eine merkliche, aber flache Steigung handelt. Es ist außerdem die Steigung, die man als ein Zwölftel schreibt und die im Bauwesen als Verhältnis eins zu zwölf auftritt. Und sie zeigt, warum die Steigung mit vier Nachkommastellen ausgegeben wird: Auf zwei Stellen gerundet wäre aus 0,0833 eine 0,08 geworden, und damit hätte sich der Prozentwert auf 8 statt 8,33 verändert.

4. Ein Gefälle, der zweite Punkt liegt tiefer

   1. Höhenunterschied: 1 − 5 = −4
   2. Waagerechte Differenz: 7 − 2 = 5
   3. Steigung: −4 ÷ 5 = −0,8
   4. Steigungswinkel: arctan(−0,8) = −38,659…, gerundet −38,66 Grad
   5. Steigung in Prozent: −0,8 × 100 = −80

   Die einzige Zeile mit negativen Vorzeichen, und der Grund, warum es sie hier gibt: Ein Minuszeichen ist bei dieser Rechnung ein Ergebnis und kein Fehler. Der zweite Punkt liegt tiefer als der erste, also fällt die Gerade, also ist die Steigung negativ — und der Steigungswinkel und der Prozentwert tragen dasselbe Vorzeichen, weil beide aus der Steigung hervorgehen. Wer eines der drei Minuszeichen stehen lässt und die anderen beiden tilgt, macht aus einem Gefälle eine Steigung, und die Antwort ist dann um den Faktor zwei daneben.

Diese Seite rechnet mit zwei Punkten, und sie braucht beide. Ein einzelner Punkt legt keine Gerade fest, also gibt es mit nur einem eingetragenen Punkt nichts zu rechnen, und das Formular verlangt alle vier Koordinaten. Die Steigung selbst ist dimensionslos, und die vier Zahlen in den Koordinatenfeldern tragen keine Einheit: Die Seite weiß nicht, ob die Koordinaten Meter, Zoll oder Pixel sind, und sie zeigt deshalb auch keine an. Wer eine Steigung mit Einheiten braucht, muss sie selbst mitdenken — das Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechter Differenz bleibt davon unberührt, solange beide Koordinaten dieselbe Einheit haben. Liegen die beiden Punkte waagerecht übereinander, ist die Gerade senkrecht, und die Division durch null ist nicht ausführbar. Die Seite lehnt die Rechnung dann ab, statt ein Unendlichkeitszeichen auszugeben; eine senkrechte Gerade hat keine Steigung, und kein noch so großer Zahlenwert würde das richtig ausdrücken. Der Steigungswinkel kann diesen Fall ebenfalls nicht beschreiben, weil der Arkustangens nur Werte zwischen minus 90 und plus 90 Grad liefert. Zulässig sind Koordinaten von minus einer Milliarde bis plus einer Milliarde, und die Ausgabe der drei Koordinatengrößen erfolgt auf vier Nachkommastellen, der Winkel und der Prozentwert auf zwei. Bei Eingaben mit vielen Stellen schneidet diese Rundung ab, und ein sehr großes Δy bei sehr kleinem Δx kann die Steigung an den Rand des darstellbaren Bereichs treiben. Die Steigung wird nicht als Verhältnis eins zu n ausgegeben, wie es im Bauwesen für Rampen üblich ist — diese Schreibweise gehört auf eine eigene Seite, und das Verhältnis eins zu zwölf ist hier als Steigung von 0,0833 oder als 8,33 Prozent zu lesen. Und die Seite klassifiziert nicht: Sie sagt nicht, ob eine Steigung flach oder steil ist. Ob eine Rampe als zu steil gilt, hängt davon ab, wofür sie gedacht ist, und es gibt keine allgemeine Schwelle, die man als Maßstab anlegen könnte.

Was bedeutet rise over run, und wie heißt das auf Deutsch?

Rise ist der Höhenunterschied, run die waagerechte Differenz, und die Steigung ist der erste Wert geteilt durch den zweiten. Auf Deutsch spricht man von der Steigung als Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechtem Abstand. Die englische Wendung ist der Name dieser Seite, weil sie die Rechnung in zwei Wörtern zusammenfasst: erst nach oben zählen, dann nach rechts.

Ist es wichtig, welchen Punkt ich als ersten eintrage?

Nein. Tauschen Sie die beiden Punkte, ändern Höhenunterschied und waagerechte Differenz beide ihr Vorzeichen, und der Quotient bleibt derselbe — die Steigung ist also unverändert. Nur wenn Sie einen der beiden Punkte gar nicht als Punkt behandeln und etwa x₁ mit y₂ mischen, beschreibt die Rechnung eine andere Gerade. Prüfen Sie im Zweifel die Steigung selbst: Sie muss sich beim Vertauschen nicht ändern.

Die Steigung ist negativ. Habe ich etwas falsch gemacht?

Nein, das ist ein Gefälle. Liegt der zweite Punkt tiefer als der erste, wird der Höhenunterschied negativ, und damit auch die Steigung, der Steigungswinkel und der Prozentwert. Alle drei tragen dasselbe Vorzeichen, und alle drei sagen damit dasselbe: Die Gerade geht nach unten. Wer nur den Betrag behält, verliert die Hälfte der Antwort.

Was passiert, wenn beide Punkte denselben x-Wert haben?

Dann ist die Gerade senkrecht, und die Seite meldet einen Fehler, statt eine Zahl auszugeben. Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung: Die Division durch null ist nicht unendlich groß, sondern undefiniert, und kein noch so großer Wert würde das richtig wiedergeben. Der Steigungswinkel könnte den Fall ebenfalls nicht beschreiben, weil der Arkustangens nur zwischen minus 90 und plus 90 Grad liegt.

Warum steht die Steigung in Prozent noch einmal im Ergebnis?

Weil dieselbe Zahl in zwei verschiedenen Gewohnheiten gebraucht wird. Als reine Zahl ist 0,0833 schwer einzuordnen; als 8,33 Prozent erkennt man sofort, dass es eine flache, aber deutliche Steigung ist. Verkehrszeichen und die Vorschriften des Bauwesens benutzen ausschließlich die Prozentschreibweise, und beide Werte gehen aus derselben Steigung hervor — der Prozentwert ist die Steigung mal hundert.

In welchen Einheiten gebe ich die Koordinaten ein?

In beliebigen, solange alle vier dieselbe Einheit haben. Die Seite rechnet mit reinen Zahlen, und die Steigung ist ein Verhältnis zweier Differenzen, also kürzt sich die Einheit ohnehin heraus. Ein Höhenunterschied von zwei Metern auf vier Meter waagerechte Strecke ergibt dieselbe Steigung wie zwei Zentimeter auf vier Zentimeter. Deshalb zeigt der Ergebnisbereich bei diesen Zahlen auch keine Einheit an — es gibt keine.

• Slope — from Wolfram MathWorld (English original; the rise over run quotient this page computes, including its sign convention and its behaviour on a vertical line) — Wolfram MathWorld
• Line — from Wolfram MathWorld (English original; why two distinct points determine exactly one line, which is the reason this page asks for four coordinates and not fewer) — Wolfram MathWorld
• Point-Slope Form — from Wolfram MathWorld (English original; the equation of the line this page prepares, where the slope computed here is one of the two ingredients) — Wolfram MathWorld
• Steigungswinkel — Mathebibel: die Steigung einer Geraden als Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechtem Abstand, mit Tangens, Arkustangens und dem Vorzeichen bei fallender Geraden — Mathebibel