Mittelpunkt-Rechner

Mittelpunkt x = (x₁ + x₂) ÷ 2 Mittelpunkt y = (y₁ + y₂) ÷ 2 Abstand zum Ende = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ÷ 2

Erster Endpunkt

Eines der beiden Enden der Strecke, als x und y. Welches Ende zuerst eingetragen wird, ist gleichgültig — vertauscht man die beiden Paare, ändert sich der Mittelpunkt nicht, weil die Addition die Reihenfolge nicht kennt

Zweiter Endpunkt

Das andere Ende, mit denselben Regeln. Kein Ende muss größer sein als das andere, das zweite x darf also kleiner als das erste sein, und jede Koordinate darf negativ sein

Mittelpunkt

Die beiden Mittelwerte, einer je Achse, jeder auf vier Nachkommastellen gerundet. Das ist die Antwort, und sie liegt immer zwischen den beiden Enden — ein Mittelpunkt außerhalb bedeutet, dass irgendwo ein Vorzeichen verlorengegangen ist

Abstand zum Ende

Der Abstand vom Mittelpunkt zu einem der beiden Enden, direkt aus den beiden Enden berechnet und nicht aus dem gerundeten Mittelpunkt. Für beide Enden dieselbe Zahl, und genau das ist die Kontrolle, für die diese Zeile da ist

Vier Dezimalstellen

Die Breite, in der jede Zahl auf der Seite geschrieben wird, und keine Aussage über die Genauigkeit. Koordinaten werden mit ihren abschließenden Nullen gedruckt, und der Abstand zum Ende ist oft eine Wurzel, die niemals endet — vier Stellen sind also die Stelle, an der abgeschnitten wird

Greifen Sie zum Mittelpunkt, wenn etwas gleichmäßig zwischen zwei benennbaren Dingen liegen soll. Auf halber Strecke zwischen zwei Orten auf einer Karte, die Mitte eines Durchmessers, der Punkt, an dem ein Vermesser einen Pflock setzt, die Mitte einer Wand, an der etwas aufgehängt wird, der Schwerpunkt zwischen zwei Zahlen auf einem Diagramm. In allen Fällen hat man die beiden Enden und will das, was dazwischen liegt, und das Mitteln jeder Koordinate berechnet es. Es ist zugleich der schnellste Weg zum Kreismittelpunkt, wenn zwei gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis bekannt sind, denn der Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelpunkt jedes Durchmessers. Die andere Hälfte der Seite ist der Teil, den man vergisst zu benutzen. Ein Mittelpunkt ist nicht bloß ein Zahlenpaar aus einer Regel, sondern ein Punkt, der von beiden Enden gleich weit entfernt ist, und die Zeile mit dem Abstand zum Ende erlaubt es, das sofort zu bestätigen. Wer die Strecke mit dem Lineal gemessen hat, kennt die Gesamtlänge bereits, und ihre Hälfte muss dem entsprechen, was die Seite druckt. Passt es nicht, ist die Eingabe falsch und nicht die Antwort, und die häufigste Ursache ist ein Vorzeichen: die Differenz zwischen einem y von minus 7 und einem y von 7 ist vierzehn und nicht null, und ein verschwundenes Minus im zweiten Ende verschiebt die ganze Antwort um sieben nach oben oder unten, während sie weiter völlig unauffällig aussieht. Wer stattdessen die umgekehrte Richtung braucht — Mittelpunkt und ein Ende gegeben, das andere Ende gesucht —, ist auf der Seite für den Endpunkt richtig.

1. Die Strecke der Voreinstellung, eins bis fünf nach rechts und zwei bis acht nach oben

   1. Die x-Werte mitteln: (1 + 5) ÷ 2 = 3
   2. Die y-Werte mitteln: (2 + 8) ÷ 2 = 5
   3. Der Mittelpunkt ist (3; 5)
   4. Abstand zum Ende: die x-Differenz ist 4 und die y-Differenz 6, die Gesamtlänge ist also √(16 + 36) = √52 = 7,2111, und die Hälfte davon ist 3,6056

   Das Paar, das beim Laden auf der Seite steht, und ein gutes zum Prüfen mit dem Auge. Beide Mittelwerte sind ganze Zahlen, die beiden Koordinaten sind also exakt, während der Abstand zum Ende eine Wurzel und damit gerundet ist — ein faires Bild der Seite als Ganzes. Von (1; 2) nach (5; 8) geht es vier nach rechts und sechs nach oben; der Mittelpunkt liegt zwei nach rechts und drei nach oben vom ersten Ende, genau das ist (3; 5), und der Abstand von 3,6056 ist die Diagonale dieses Schritts von zwei mal drei.

2. Die Strecke mit dem Seitenverhältnis 3 zu 4 zu 5, bei der jede Zahl exakt ist

   1. Die x-Werte mitteln: (0 + 3) ÷ 2 = 1,5
   2. Die y-Werte mitteln: (0 + 4) ÷ 2 = 2
   3. Der Mittelpunkt ist (1,5; 2)
   4. Die x-Differenz ist 3 und die y-Differenz 4, die Gesamtlänge ist also √(9 + 16) = 5 und der Abstand zum Ende 2,5

   Das Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3 zu 4 zu 5 taucht in dieser Gruppe überall auf, weil es das kleinste rechtwinklige Dreieck mit ganzzahligen Seiten ist, und hier zahlt es sich doppelt aus: die Gesamtlänge ist genau 5 und der Abstand zum Ende genau 2,5, es ist also nichts gerundet. Nehmen Sie es als Eichung, wenn Sie unsicher sind, ob eine überraschende Antwort ein Rundungsartefakt ist — bei dieser Eingabe kann sie keines sein. Beachten Sie außerdem die abschließende Null in anderer Form: die x-Koordinate ist 1,5 und wird als 1,5000 gedruckt, was der Vier-Stellen-Vertrag ist und keine Behauptung, die Antwort sei auf vier Stellen bekannt.

3. Zwei Enden auf gegenüberliegenden Seiten des Ursprungs

   1. Die x-Werte mitteln: (4 + (−4)) ÷ 2 = 0
   2. Die y-Werte mitteln: ((−7) + 7) ÷ 2 = 0
   3. Der Mittelpunkt ist der Ursprung, (0; 0)
   4. Die x-Differenz ist −8 und die y-Differenz 14, die Länge ist also √(64 + 196) = √260 = 16,1245 und die Hälfte 8,0623

   Ein Mittelpunkt bei null ist eine echte Antwort und kein leeres Feld. Das Paar liegt hier symmetrisch zum Ursprung, der Ursprung liegt also genau in der Mitte zwischen den beiden Punkten, und beide Koordinaten kommen als 0,0000 zurück. Dieselbe Null erscheint auf der Seite für jede Strecke, deren Enden Spiegelbilder voneinander sind, und das ist eine große Familie und keine Kuriosität. Beachten Sie den Umgang mit Vorzeichen in den Differenzen: eine negative Koordinate abzuziehen addiert, die y-Differenz ist also 14, obwohl die beiden y-Werte 7 und minus 7 sind.

4. Ein Mittelpunkt, der aus krummen Enden auf einer ganzen Zahl landet

   1. Die x-Werte mitteln: ((−3) + 7) ÷ 2 = 2
   2. Die y-Werte mitteln: (4 + (−2)) ÷ 2 = 1
   3. Der Mittelpunkt ist (2; 1)
   4. Die x-Differenz ist 10 und die y-Differenz −6, die Länge ist also √(100 + 36) = √136 = 11,6619 und die Hälfte 5,831

   Beide Differenzen sind hier gerade, deshalb mitteln sich zwei auf den ersten Blick unbequeme Koordinaten zu ganzen Zahlen aus. Zehn nach rechts und sechs nach unten ergeben einen Abstand zum Ende von 5,831, eine Wurzel, die nie abbricht; dieser Fall zeigt also auch den Vier-Stellen-Schnitt bei der Arbeit. Wer die Zeile mit der Hand prüfen will, quadriert den gedruckten Abstand: 5,831 zum Quadrat ist 34,0 und 5,8309 zum Quadrat ist 33,999 — nah genug an der 34, deren Quadrat die exakte Antwort ist, und damit die beste Bestätigung, die vier Stellen hergeben.

5. Zwei Enden, die derselbe Punkt sind

   1. Die x-Werte mitteln: (2,5 + 2,5) ÷ 2 = 2,5
   2. Die y-Werte mitteln: ((−1,5) + (−1,5)) ÷ 2 = −1,5
   3. Der Mittelpunkt ist der Punkt, von dem Sie ausgegangen sind
   4. Beide Differenzen sind null, die Länge ist also 0 und der Abstand zum Ende ebenfalls 0

   Eine Strecke der Länge null, und die Seite beantwortet sie ehrlich: der Mittelpunkt eines Punktes und seiner selbst ist dieser Punkt, und der Abstand zum Ende ist null. Das ist die einzige Art Eingabe, die in der dritten Zeile eine Null erzeugen kann, denn ein Abstand von null verlangt, dass beide Enden zusammenfallen. Es lohnt sich, das einmal zu sehen, damit eine Seite mit drei Zahlen, von denen eine null ist, nicht als fehlender Wert gelesen wird — hier ist nichts unberechnet geblieben.

Die Seite gibt den Mittelpunkt der beschriebenen Strecke zurück und nichts weiter über sie. Sie liefert nicht die Gerade durch die beiden Punkte, sagt also nichts über Steigung, Achsenabschnitte oder die Gleichung dieser Geraden, und sie liefert auch nicht die volle Länge der Strecke — die dritte Zeile ist ihre Hälfte, wer die ganze Länge will, verdoppelt also den Abstand. Die Koordinaten sind einheitenlos, und an keine der Ausgaben ist eine Einheit gehängt. Sind Ihre Punkte in Fuß, sind die Antworten in Fuß, sind es Rasterquadrate, sind es Rasterquadrate, aber die Seite rechnet nichts ineinander um und warnt nicht, wenn über die beiden Enden hinweg Meter mit Millimetern gemischt werden. Das ist ein echtes Risiko bei einer einheitenlosen Seite: sie kann nicht sehen, dass (1; 2) und (5000; 8000) wahrscheinlich dieselbe Strecke in verschiedenen Einheiten sind, und der zurückgegebene Mittelpunkt ist dann schlicht um einen Faktor falsch. Koordinaten sind auf plus/minus eine Milliarde begrenzt. Die Grenze besteht aus arithmetischen Gründen und nicht aus mathematischen, und die Fehlermeldung nennt das betroffene Feld, aber sie bedeutet, dass die Seite kein Werkzeug für Koordinaten im Maßstab einer Landesvermessung oder einer in Metern ausgedrückten Satellitenbahn ist. Der Abstand zum Ende schließlich ist auf vier Nachkommastellen gerundet und häufig eine irrationale Zahl, für die meisten Eingaben also eine Näherung; die Verdopplung am Ende einer Handrechnung erbt diese Rundung, weshalb ein verdoppelter Abstand in der letzten oder vorletzten Stelle von der Gesamtlänge abweichen kann.

Wie lautet die Mittelpunktformel?

Jede Koordinate wird einzeln gemittelt. Der Mittelpunkt x ist die Summe der beiden x-Werte, halbiert, und der Mittelpunkt y die Summe der beiden y-Werte, halbiert; deshalb liegt die Antwort immer zwischen den Enden, und zwar Achse für Achse und nicht irgendwo sonst in der Ebene. Für die Endpunkte (1; 2) und (5; 8) ergibt das 3 und 5, weil 1 und 5 gemittelt 3 ergeben, während 2 und 8 gemittelt 5 ergeben. Hinter der ersten Regel steckt keine zweite: wer zwei Zahlen mitteln kann, findet einen Mittelpunkt. Um den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten zu berechnen, genügt also das Mitteln — ein zweiter Rechenschritt kommt nicht hinzu.

Warum druckt die Seite eine dritte Zahl neben den beiden Koordinaten?

Weil sich zwei Koordinaten nicht prüfen lassen und ein Abstand zum Ende schon. Jeder Punkt hat Koordinaten, ein falscher Mittelpunkt ist also weiterhin ein plausibles Zahlenpaar, dem nichts anzusehen ist. Der Abstand zum Ende ist die Länge vom Mittelpunkt hinaus zu einem der Enden, und per Definition sind diese beiden Längen gleich — der Vergleich mit der halben Länge, die Sie gemessen haben, ist also eine Prüfung, die sofort durchgeht oder durchfällt. Häufig ist es außerdem die Zahl, die man eigentlich wollte: der Abstand von der Mitte einer Sache bis zu ihrem Rand.

Haben die Koordinaten eine Einheit?

Nein, und die Antwort ebenso wenig. Die Seite behandelt Ihre Zahlen als reine Koordinaten, und das ist Absicht: eine Koordinatenebene hat keine festgelegte Einheit, und ein Rechner, der einen erst Zentimeter oder Zoll wählen lässt, bevor man eine Diagrammablesung eintippen darf, würde eine Einheit erfinden, die es nie gab. Stammen Ihre Punkte aus einer Karte in Metern, lesen Sie die Ausgabe als Meter; sind es Längen- und Breitengrade, ist der Abstand zum Ende in Grad, und das ist keine Länge in Kilometern und lässt sich ohne den Ort auf dem Globus auch nicht in eine umrechnen.

Kann der Mittelpunkt außerhalb der Strecke liegen?

Nein, und das ist nützlich zu wissen, wenn eine Antwort geprüft wird. Der Mittelpunkt zweier Zahlen ist ihr Mittelwert, und ein Mittelwert liegt nie außerhalb des Bereichs der Zahlen, aus denen er gebildet wurde; der Mittelpunkt einer Strecke liegt also immer irgendwo zwischen ihren beiden Enden, und nur dann auf dem Rand, wenn beide Enden gleich sind. Kommt ein Punkt zurück, der nicht zwischen den beiden Enden liegt, sind die Eingaben falsch und nicht die Rechnung. Ein verschwundenes Minus ist die übliche Ursache.

Was passiert, wenn die beiden Enden derselbe Punkt sind?

Sie bekommen diesen Punkt zurück und einen Abstand zum Ende von null, und das ist die richtige Antwort und kein Fehler. Ein Punkt und er selbst legen eine Strecke ohne Länge fest, und der Mittelpunkt dieser Strecke ist der Punkt selbst. Es ist die einzige Eingabe, die in der dritten Zeile eine Null erzeugen kann, denn ein Abstand von null verlangt, dass beide Differenzen verschwinden. Die Seite beschwert sich nicht, weil es nichts zu beanstanden gibt.

Wie viele Nachkommastellen hat die Antwort?

Vier, und die abschließenden Nullen werden gedruckt statt weggelassen, der Mittelpunkt von (1; 2) und (5; 8) liest sich also als 3,0000 und 5,0000. Diese Nullen sind eine Aussage über die Anzeigebreite und nicht über die Sicherheit: die Koordinate ist exakt 3, und die Seite druckt sie so, damit eine Spalte von Zahlen bündig bleibt. Der Abstand zum Ende ist die Zahl, die meistens angenähert ist, denn bei den meisten Eingaben ist er eine Wurzel, und vier Stellen sind die Stelle, an der die Seite aufhört, ihn aufzuschreiben.

Bleibt der Mittelpunkt gleich, wenn ich die beiden Enden vertausche?

Ja. Die Addition kennt keine Reihenfolge, der Mittelwert von 1 und 5 ist also derselbe wie der von 5 und 1, und dasselbe gilt für jedes andere Feld. Das Einzige, was sich beim Vertauschen der Enden ändert, ist das Vorzeichen der beiden Differenzen für den Abstand zum Ende — und weil die Differenzen vor dem Addieren quadriert werden, kommt auch der Abstand gleich heraus. Tauschen Sie die Paare beliebig; nichts auf der Seite hängt davon ab, welches Ende zuerst eingetragen wurde.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, with the coordinate formula for it and the property that the midpoint of a diameter is the centre of a circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, and the object whose midpoint this page returns — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair this page takes in and gives back, and the reason a coordinate-plane problem carries no unit unless the axes were drawn with one — Wolfram MathWorld (United States)
• Strecke — die von zwei Endpunkten begrenzte Geradenstrecke, mit Länge und Mittelpunkt, und der Hinweis, dass die Koordinaten dabei reine Zahlen ohne Einheit sind — Mathebibel (Deutschland)