Koterminalwinkel-Rechner

θ′ = θ + 360°n koterminal = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋

θ

Der eingegebene Winkel in Grad. Er darf negativ sein und er darf weit größer als eine volle Umdrehung sein; beides sind hier gewöhnliche Eingaben und keine Sonderfälle

n

Eine beliebige ganze Zahl, positiv, negativ oder null. Jeder Wert von n greift einen Angehörigen der Familie von Winkeln heraus, die sich denselben Endschenkel teilen; es gibt also unendlich viele davon, und die Seite gibt die beiden brauchbarsten aus

360°

Eine volle Umdrehung. Sie abzuziehen lässt den Strahl genau dorthin zeigen, wo er vorher zeigte, und genau das macht zwei Winkel koterminal statt verschieden

⌊θ ÷ 360°⌋

Wie viele ganze Umdrehungen abgezogen werden, abgerundet in Richtung minus unendlich — nicht in Richtung null. Ein Abrunden in Richtung null würde einen negativen Winkel außerhalb des Intervalls liegen lassen, statt ihn hineinzudrehen, und das ist die einzige Stelle, an der diese Seite still falsch rechnen kann

Koterminaler Winkel

Der Vertreter von 0 bis ausschließlich 360 Grad. Auf ihn sind die Trigonometrietabellen und der Einheitskreis geschrieben, und in ihm wird die Mehrzahl der Antworten gewünscht

Negativer koterminaler Winkel

Derselbe Strahl als negative Drehung beschrieben: der reduzierte Winkel minus einer ganzen Umdrehung, also von minus 360 bis ausschließlich null. Er liegt immer genau 360 unter der anderen Zahl

Zwei Dezimalstellen

So breit werden die Werte ausgegeben. Winkel werden üblicherweise auf Bruchteile eines Grades gemessen und nicht auf Bruchteile einer Winkelsekunde, und zwei Dezimalstellen sind ungefähr so fein, wie eine Winkelmesser-Ablesung ehrlicherweise sein kann

Immer wenn ein Winkel über eine volle Umdrehung hinausgelaufen ist und eine Antwort innerhalb einer Umdrehung gebraucht wird. Wellen und rotierende Maschinen sind der klarste Fall: Eine Kupplung, die dreieinviertel Umdrehungen gedreht wurde, hat eine Endstellung, die als Winkel unter 360 angegeben wird, und dieselbe Reduktion gilt für eine Nocke, eine Kurbel, einen Drehteller oder ein Robotergelenk, dessen Verfahrweg in Umdrehungen angegeben ist. Wickeln und Aufspulen ist der zweite Fall: eine vierzehnmal gewickelte Spule, ein Kabel, das ab- und wieder aufgerollt wird, eine Feder, die um eine bekannte Zahl von Windungen gedreht wurde — all das wird in Umdrehungen gezählt und in Grad gebraucht. Messgeräte sind der dritte Fall: ein Phasenwinkel, der sich über viele Perioden eines Signals aufsummiert hat, ein Gesamtwinkel von einem Geber, der hochzählt, ohne zurückzusetzen, ein aufgelaufener Kurswinkelfehler, und jedes Instrument, das einen Winkel meldet, der über eine Umdrehung hinauslaufen durfte. Navigation und Vermessung brauchen es für Kurswinkel, die so oft addiert und subtrahiert wurden, dass sie den Bereich von 0 bis 360 verlassen, und für die Differenz zweier Richtungen — deshalb wird ein Kurs von minus 30 Grad routinemäßig als 330 geschrieben. In der Mathematik ist es der erste Schritt fast jeder trigonometrischen Rechnung: Eine Tabelle mit Sinus- und Kosinuswerten deckt nur eine Umdrehung ab, jeder Winkel außerhalb dieses Bereichs muss also erst hineingeholt werden, bevor die Tabelle brauchbar ist. Im Unterricht ist es die Anschauung für die Periodizität: denselben Endschenkel für 30, 390 und 750 Grad zeichnen, sehen, dass alle drei Schenkel auf derselben Geraden landen, und schon ist der Grund, warum sich der Sinus alle 360 Grad wiederholt, keine Regel zum Auswendiglernen mehr. Und im Alltagsrechnen ist es der kleine Haufen von Fällen, in denen ein Winkel von einem anderen abgezogen wurde und negativ herauskam — der Punkt, an dem die meisten zum ersten Mal eine Antwort zwischen 0 und 360 wollen statt einer mit Vorzeichen.

1. Ein Winkel von 400 Grad

   1. Die vollen Umdrehungen zählen: 400 ÷ 360 = 1,11, es wird also eine Umdrehung abgezogen
   2. Abziehen: 400 − 360 = 40
   3. Für den negativen Wert noch eine Umdrehung abziehen: 40 − 360 = −320

   Das Paar, mit dem die Seite startet, gewählt, weil es nur knapp über eine volle Umdrehung hinausgeht — wer der Sache nie begegnet ist, sieht die ganze Operation in einem Schritt. Die beiden Antworten liegen 360 auseinander, was in jeder Zeile der Tabelle gilt und die schnellste Prüfung ist, ob ein Ergebnis Sinn ergibt.

2. Ein Winkel von 750 Grad

   1. Die vollen Umdrehungen zählen: 750 ÷ 360 = 2,08, es werden also zwei Umdrehungen abgezogen
   2. Abziehen: 750 − 720 = 30
   3. Noch eine Umdrehung abziehen: 30 − 360 = −330

   Derselbe Endschenkel wie ein Winkel von 30 Grad, zwei volle Umdrehungen weiter herum, und das Zeilenpaar, das zeigt, wozu die Tabelle da ist. Die Reduktion an der Spalte mit den Umdrehungen abzulesen — zwei Umdrehungen von 750 lassen 30 übrig — ist genau die Art, wie man das von Hand rechnet, und deshalb steht diese Spalte überhaupt in der Tabelle.

3. Ein Winkel von minus 30 Grad

   1. Die vollen Umdrehungen zählen, abgerundet: −30 ÷ 360 = −0,08, abgerundet ergibt −1
   2. Diese Umdrehung zurückaddieren: −30 − 360 × (−1) = 330
   3. Für die negative Seite eine Umdrehung abziehen: 330 − 360 = −30

   Die Richtung, aus der die meisten kommen, denn ein negativer Winkel entsteht, wenn ein Kurswinkel von einem anderen abgezogen wird. Zu beachten ist, dass der negative Vertreter der ursprüngliche Winkel ist, unverändert: minus 30 liegt bereits im negativen Intervall. Das Abrunden muss hier nach unten gehen — in Richtung null würde minus 30 so stehen bleiben, wie es war, außerhalb des positiven Intervalls, in das es gehört.

4. Ein Winkel von 1.000 Grad

   1. Die vollen Umdrehungen zählen: 1.000 ÷ 360 = 2,78, es werden also zwei Umdrehungen abgezogen
   2. Abziehen: 1.000 − 720 = 280
   3. Noch eine Umdrehung abziehen: 280 − 360 = −80

   Zwei Umdrehungen und ein Rest von 280, und ab hier ist die Rechnung nicht mehr selbstverständlich: Das Ergebnis liegt nahe an einer vollen Umdrehung und nicht nahe bei null, wer den kleinen Rest der früheren Beispiele erwartet, wird hier überrascht. Die Seite nimmt auch eine Million Grad an, und dabei kommt dasselbe 280 und dasselbe minus 80 heraus — die Zahl der Umdrehungen ändert sich, der Endschenkel nicht.

5. Ein Winkel von 0 Grad

   1. Es wird keine volle Umdrehung abgezogen: 0 liegt schon im Intervall
   2. Der positive Vertreter ist 0
   3. Für die negative Seite eine Umdrehung abziehen: 0 − 360 = −360

   Der Fall, der die Regel für die negative Seite festlegt. Die alternative Lesart würde hier zweimal die null ausgeben, was wie eine Seite aussieht, die nichts getan hat. Den negativen Vertreter als eine volle Umdrehung unter dem reduzierten Winkel anzusetzen garantiert, dass die beiden ausgegebenen Zahlen nie gleich sind, und das gilt an dieser Grenze genauso wie überall sonst.

Diese Seite reduziert einen Winkel und sonst nichts: Sie sagt nicht, in welchem Quadranten der Endschenkel liegt, sie gibt keinen Referenzwinkel an und sie wertet keine trigonometrische Funktion aus. Jedes davon gehört auf eine eigene Seite. Es werden nur Grad angenommen — eine Ausgabe im Bogenmaß gibt es nicht, und ein im Bogenmaß angegebener Winkel muss vorher umgerechnet werden. Die Eingabe ist in beide Richtungen auf eine Million Grad begrenzt, das sind rund 2.778 volle Umdrehungen; darüber entspricht die Zahl nichts mehr, was jemand tatsächlich misst, obwohl die Rechnung weiterliefe. Die beiden ausgegebenen Zahlen liegen immer genau 360 Grad auseinander, und die negative ist immer die kleinere von beiden, eine negative Eingabe kann also eine positive Ausgabe ergeben und umgekehrt. Streng genommen sind koterminale Winkel solche, die nicht zusammenfallen, deren Endschenkel aber zusammenfällt; der eingegebene Winkel ist in diesem strengen Sinn also nicht mit sich selbst koterminal — er fällt mit sich selbst zusammen. Die Seite folgt dem gewöhnlichen Sprachgebrauch, in dem jeder Winkel auf demselben Endschenkel zählt, und sagt das hier statt in einer Fußnote. Winkel werden auf zwei Dezimalstellen gerundet, was eine Anzeigebreite ist und keine Aussage über die Genauigkeit. Nichts hier behandelt Grad, Minuten und Sekunden als getrennte Einheiten, und nichts behandelt Winkel in Neugrad oder in Umdrehungen.

Ich habe 40 eingegeben und der koterminale Winkel kam als 40 zurück. Ist da etwas passiert?

Es musste nichts passieren: 40 liegt bereits innerhalb einer Umdrehung, ist also sein eigener Vertreter, und die Reduktion lässt ihn unberührt. Streng genommen sind koterminale Winkel solche, die nicht zusammenfallen, aber auf demselben Strahl enden; ein Winkel ist nach dieser Definition also nicht mit sich selbst koterminal — er fällt mit sich selbst zusammen. Die Seite folgt dem gewöhnlichen Sprachgebrauch, in dem alles auf demselben Endschenkel zählt, die erste Zahl wiederholt also die Eingabe, wann immer die Eingabe schon reduziert ist. Die zweite Zahl ist die, die sich ändert.

Warum liegt der negative Winkel eine volle Umdrehung darunter und ist nicht einfach derselbe Winkel mit Vorzeichen?

Weil die naheliegende Alternative bei null zusammenbricht. Wäre der negative Vertreter irgendetwas von minus 360 bis null, dann würde eine Eingabe von null zweimal die null ausgeben — zwei gleiche Zahlen, was wie eine Seite aussieht, die nichts getan hat. Ihn genau eine Umdrehung unter den reduzierten Winkel zu legen bedeutet, dass die beiden ausgegebenen Zahlen nie gleich sind und immer genau 360 Grad auseinanderliegen, was sich in jeder Zeile der Tabelle nachprüfen lässt.

Kann ich einen negativen Winkel eingeben?

Ja, und er gehört zu den häufigsten Eingaben. Ein negativer Winkel taucht immer auf, wenn ein Kurswinkel von einem anderen abgezogen wird oder eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, und minus 30 Grad wird routinemäßig als 330 geschrieben. Genau deshalb rundet die Reduktion nach unten und nicht in Richtung null: Ein Abrunden in Richtung null würde minus 30 außerhalb des Intervalls liegen lassen, statt ihn hineinzudrehen.

Warum liegen die beiden Antworten immer 360 Grad auseinander?

Weil die zweite konstruktionsbedingt die erste minus einer vollen Umdrehung ist. Einem Winkel 360 Grad abzuziehen lässt den Strahl genau dorthin zeigen, wo er vorher zeigte, die beiden Zahlen beschreiben also denselben Endschenkel und unterscheiden sich um genau eine Umdrehung. Das ist die schnellste Plausibilitätsprüfung für jedes Ergebnis dieser Seite: 360 auf die kleinere Zahl addieren, und man muss auf der größeren landen.

Sagt mir diese Seite, in welchem Quadranten der Winkel liegt?

Nein — sie reduziert den Winkel und hört dort auf. In welchen Quadranten der Endschenkel fällt und wie groß der Referenzwinkel zwischen diesem Schenkel und der nächsten Achse ist, ist das Thema der Seite zum Referenzwinkel und der zum Einheitskreis. Die Reduktion dieser Seite ist der Schritt davor, und deshalb ist sie eine eigene Seite und nicht eine Zeile in der Ausgabe von jemand anderem.

Kann ich das Bogenmaß eingeben?

Auf dieser Seite nicht — sie nimmt nur Grad und hat keinen Umschalter für Einheiten. Ein Winkel im Bogenmaß muss vorher umgerechnet werden, indem man mit 180 multipliziert und durch π teilt. Die Reduktion selbst ist in beiden Einheiten derselbe Gedanke, aber die Seite müsste erst wissen, welche gemeint ist, bevor sie entscheiden könnte, was eine volle Umdrehung ist.

• Coterminal Angle — angles whose terminal sides coincide, with the definition this page implements and the n = 0 case that is coincident rather than coterminal — Wolfram MathWorld (United States)
• Angle — what an angle is, including angle standard position, from which the initial side and the terminal side are defined — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — why an angle is reduced into a single turn before a table of values can be used, which is the commonest reason to want this reduction — Wolfram MathWorld (United States)
• Winkel — Grundbegriffe des Winkels: Scheitelpunkt, Drehung und die beiden Winkelmaße Grad und Bogenmaß — Lernhelfer