Kosinus-Rechner

cos θ = Ankathete ÷ Hypotenuse cos θ = die x-Koordinate des Punktes, auf dem θ landet

θ

Der Winkel, in Grad oder Bogenmaß. Er darf negativ sein und größer als eine volle Umdrehung — es zählt nur, wo er auf dem Kreis landet

Ankathete

Die Seite neben dem Winkel θ in einem rechtwinkligen Dreieck, das um ihn herum gebaut ist: diejenige, die nicht gegenüber von θ liegt und nicht die Hypotenuse ist. Der Kosinuswert ist sie geteilt durch die Hypotenuse

Hypotenuse

Die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist immer mindestens so lang wie die Ankathete, weshalb das Verhältnis nie über eins steigt

Greifen Sie zu dieser Seite, wenn Sie den Kosinus eines Winkels berechnen wollen und eine Zahl statt dreier brauchen: den Kosinus eines Phasenwinkels, den Sie gerade in Komponenten zerlegen, den Anteil einer Kraft, der entlang einer Fläche wirkt, die x-Koordinate eines Punktes, den Sie drehen. Die Wertetabelle unten deckt zwölf Winkel ab, vier auf eine Umdrehung, und sie ist der schnellste Weg, die ganze Gestalt der Funktion zu sehen — sie beginnt bei eins, fällt bei einem rechten Winkel auf null, erreicht bei einer halben Umdrehung minus eins und kehrt zurück. Wenn Sie Sinus und Tangens desselben Winkels dazu brauchen, druckt der Trigonometrie-Rechner alle drei zusammen, und die Zahlen stimmen bis auf die letzte Nachkommastelle überein; wenn Sie sich den Punkt selbst vorstellen wollen, ist der Einheitskreis die Seite dafür. Und wenn Sie einen Kosinus haben und den Winkel zurückwollen — ein Kosinus von 0,5 gehört zu mehr als einem Winkel, das ist also eine andere Frage mit einer Menge von Antworten statt mit einer —, macht das die Arkuskosinus-Seite.

1. Ein Winkel von 60 Grad

   1. Drehen Sie 60 Grad gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus
   2. Der Punkt, auf dem Sie landen, ist (1/2, √3/2)
   3. Die x-Koordinate ist der Kosinus, der Kosinus ist also 1/2 — die √3/2 gehört dem Sinus

   Der Winkel, mit dem die Seite lädt, und der, den man gegen die Trigonometrie-Seite halten sollte: Dort gibt derselbe Winkel den Kosinus 0,5 und den Sinus 0,866, und die 0,5 ist genau das, was hier herauskommt. Das Paar ist die klarste Erinnerung daran, dass der Kosinus von 60 und der Sinus von 30 dieselbe Zahl sind, weil 60 und 30 die beiden Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind.

2. Ein Winkel von 0 Grad, der größte Wert, den ein Kosinus annimmt

   1. Null Grad sind gar keine Drehung: Der Punkt liegt noch auf der positiven x-Achse
   2. Seine Koordinaten sind (1, 0)
   3. Die x-Koordinate ist 1, der Kosinus ist also 1

   Eins ist die Decke. Der Kosinus kann sie bei keinem Winkel überschreiten, weil er die x-Koordinate eines Punktes im Abstand eins vom Ursprung ist und kein solcher Punkt weiter rechts als eins liegt. Er erreicht diesen Wert bei null Grad und wieder bei jeder vollen Umdrehung danach — 360, 720 — und dazwischen nirgends.

3. Ein Winkel im zweiten Quadranten, 120 Grad

   1. 120 Grad sind ein Drittel einer Umdrehung, der Punkt liegt also im zweiten Quadranten
   2. Seine x-Koordinate liegt jetzt links vom Ursprung, ist also negativ
   3. Der Betrag der Anzeige ist derselbe wie bei 60 Grad, und das Vorzeichen hat gewechselt

   Jenseits eines rechten Winkels wechselt der Punkt auf die linke Seite der y-Achse und der Kosinus wird negativ, wo er bis 270 Grad bleibt. Das ist das Einzige, was das Vorzeichen eines Kosinus am nützlichsten verrät: Ein negativer Kosinus heißt, dass die Richtung, die Sie beschreiben, rückwärts zeigt, ganz gleich, was der Sinus gerade tut.

4. Ein negativer Winkel, minus 60 Grad

   1. Ein negativer Winkel dreht im Uhrzeigersinn statt gegen ihn
   2. Der Punkt landet unter der x-Achse, bei (1/2, −√3/2)
   3. Seine x-Koordinate ist dieselbe 1/2, der Kosinus bleibt also unverändert

   Der Kosinus ist eine gerade Funktion: Er gibt für einen Winkel und für seinen negativen dieselbe Antwort. Sinus und Tangens tun das nicht — bei beiden wechselt hier das Vorzeichen. In einer Tabelle mit einer einzigen Spalte sieht man das leicht, weshalb die zwölf Winkel unten zwei enthalten, die die Negativen der ihnen gegenüberliegenden sind.

Zwei Dinge sollte man im Kopf behalten. Die Anzeigen sind auf vier Nachkommastellen angegeben, und für die meisten Winkel der Tabelle ist der exakte Wert eine Wurzel oder ein Bruch, den keine Dezimalzahl abschließt: Der Kosinus von 30 Grad ist Wurzel drei durch zwei, und 0,866 ist das, was nach dem Runden herauskommt, nicht die Zahl selbst. Die Winkel, bei denen der Wert exakt ist — 0, 60, 90, 120, 180 —, sind die, bei denen die Anzeige sauber aussieht, und das ist eine Eigenschaft dieser Winkel und nicht des Rechners. Zweitens geht diese Seite nicht den umgekehrten Weg. Ein Kosinus von 0,5 gehört zu 60 Grad, zu 300 Grad und zu unendlich vielen Winkeln darüber hinaus, weil die Funktion sich nach jeder vollen Umdrehung wiederholt und an der Null spiegelt; aus einem Kosinus einen einzelnen Winkel zurückzugewinnen braucht eine zusätzliche Entscheidung darüber, welchen Bereich Sie wollen, und das ist die Aufgabe der Arkuskosinus-Seite.

Gibt es einen Winkel, dessen Kosinus nicht existiert?

Nein. Der Kosinus ist an jedem Winkel definiert, auch an denen, an welchen der Tangens keinen Wert hat: Bei 90 Grad ist der Kosinus null und bei 270 Grad wieder null, beides ganz gewöhnliche Zahlen. Das ist der Unterschied der beiden Funktionen in einem Satz — der Tangens ist ein Verhältnis, das durch null geteilt werden kann, der Kosinus nie. Diese Seite lehnt deshalb nie eine Anzeige ab.

Warum ist der Kosinus von 60 Grad derselbe wie der Sinus von 30 Grad?

Weil 60 und 30 die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind. In diesem Dreieck ist die Seite neben dem 60-Grad-Winkel die Seite gegenüber dem 30-Grad-Winkel, das Verhältnis, das den Kosinus des einen gibt, ist also dasselbe, das den Sinus des anderen gibt. Die Tabelle unten zeigt dasselbe von der Kreisseite her: Die Kosinusspalte und die Sinusspalte führen dieselben Zahlen, um eine Vierteldrehung verschoben.

Was bedeutet ein negativer Kosinus?

Dass die Richtung, die Sie beschreiben, links von der y-Achse zeigt — mehr als eine Vierteldrehung von Ihrem Startpunkt weg und weniger als drei Viertel. Das ist kein Fehler und kein kleinerer Wert: minus ein halb ist größer als minus eins, und den kleinsten Wert erreicht der Kosinus bei einer halben Umdrehung. Zwischen 90 und 270 Grad ist jeder Kosinus negativ, außerhalb dieses Bereichs jeder positiv.

Kann ich einen Winkel im Bogenmaß eingeben?

Ja — neben dem Feld sitzt eine Auswahl für die Einheit, und der Winkel wird in jeder von ihnen gleich gelesen. 60 Grad und 1,0472 im Bogenmaß ergeben denselben Kosinus, nämlich ein halb. Zu prüfen ist nur, welche Einheit eine Quelle annimmt, mit der Sie vergleichen, denn standardmäßig meinen die meisten Grad.

Warum zeigt der Kosinus von 90 Grad null, während der Sinus desselben Winkels genau eins ist?

Weil der Punkt bei einem rechten Winkel auf der y-Achse liegt: Seine x-Koordinate ist null und seine y-Koordinate ist eins. Der Kosinus ist die x-Koordinate, also null, und der Sinus ist die y-Koordinate, also eins. Beides ist exakt, und das Paar ist die klarste Veranschaulichung dessen, was die beiden Funktionen sind — der Kosinus misst, wie weit rechts der Punkt liegt, und bei diesem Winkel liegt er überhaupt nicht rechts.

Warum gibt diese Seite eine Zahl, wo die Trigonometrie-Seite drei gibt?

Weil das der Zweck der beiden ist. Die Trigonometrie-Seite existiert, damit die drei Verhältnisse miteinander verglichen werden können, und ihre Tabelle hat für jedes eine Spalte. Diese Seite existiert für den Leser, der den Kosinus und sonst nichts will, und ihre einzelne Spalte ist es, die die Gestalt der Funktion sichtbar macht: eins bei null, null bei einem rechten Winkel, minus eins bei einer halben Umdrehung, wieder null bei drei Vierteln, zurück zu eins. Die beiden Seiten stimmen bei jedem Winkel bis auf die letzte Nachkommastelle überein, die Wahl ist also eine Frage der Darstellung und nicht der Rechnung.

• Cosine — the function the unit circle reads off as the x-coordinate, its even symmetry, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their ranges, and why the cosine is defined everywhere while the tangent is not — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit Circle — the circle of radius one, and why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine — Wolfram MathWorld (United States)
• Kosinusfunktion — der Kosinus am Einheitskreis, sein Wertebereich von −1 bis 1, seine Achsensymmetrie und seine Nullstellen bei 90° und 270° — Mathebibel (Deutschland)