Sinus-Rechner

sin θ = Gegenkathete ÷ Hypotenuse sin θ = y ÷ r sin θ = −sin(−θ)

θ

Der Winkel, in Grad oder Bogenmaß. Er darf negativ sein und größer als eine volle Umdrehung — es zählt nur, wo er auf dem Kreis landet

Gegenkathete / Hypotenuse

Die beiden Seiten, die ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel θ hergibt: die Seite gegenüber von θ und die längste Seite. Der Sinus ist die erste durch die zweite, weshalb er nie größer als eins und nie kleiner als minus eins wird

y / r

Dasselbe Verhältnis, gelesen auf einem Kreis mit dem Radius r: y ist die Höhe des Punktes, auf dem der Winkel landet. Am Einheitskreis ist r gleich eins, der Sinus ist dort also schlicht diese Höhe

Quadrant

Das Viertel der Koordinatenebene, in dem der Winkel landet, gegen den Uhrzeigersinn gezählt von der positiven horizontalen Achse aus. Eine Null bedeutet, dass der Winkel genau auf einer Achse liegt und zu keinem Quadranten gehört

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie den Sinus eines Winkels berechnen wollen, also die Höhe, die zu einem Winkel gehört — die senkrechte Komponente einer Schräge, die Steighöhe einer Rampe gemessen an ihrer Länge, die Zerlegung einer Kraft in ihren nach oben gerichteten Anteil. Sie ist außerdem der schnellste Weg, um ein Vorzeichen zu prüfen: Wenn Sie wissen, dass der Winkel jenseits eines rechten Winkels liegt, ist der Sinus bis 180 Grad weiter positiv, und diese Seite druckt den Quadranten, damit Sie sehen, dass der Punkt nach links gewandert ist, während er oben geblieben ist. Die Tabelle ordnet dieselben zwölf Winkel in dieselbe Reihenfolge wie die Kosinusseite, die beiden lassen sich also nebeneinander lesen: Dort steht in einer Spalte ein Strich, wo der Tangens aufgibt, und diese Seite hat überhaupt keinen Strich. Wenn Sie den Sinus neben Kosinus und Tangens wollen, druckt der Trigonometrie-Rechner alle drei zusammen. Und wenn Sie einen Sinuswert haben und den Winkel zurückwollen, ist das die umgekehrte Richtung, in der sich jeder Wert zwischen minus eins und eins auf zwei Winkel verteilt.

1. Ein Winkel von 30 Grad, der Startwert dieser Seite

   1. Die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks ist das rechtwinklige Dreieck bei 30 Grad
   2. Die Seite gegenüber dem 30-Grad-Winkel ist halb so lang wie die Hypotenuse
   3. Ein halb geteilt durch eins ist 0,5, und der Punkt liegt über der Achse und rechts von ihr, der Quadrant ist also 1

   Der Winkel, mit dem die Seite lädt, und die eine Anzeige auf dieser Seite, die auf eine Weise exakt ist, die man ohne Nachkommastellen sieht. 30 Grad ist außerdem der kleinste Sinus unter den besonderen Winkeln, deren Wert nicht null ist — eine Vierteldrehung ist eins, ein Achtel einer Umdrehung ist 0,7071, und hier steht 0,5. Die Quadrantenspalte liest 1, weil der Punkt über der horizontalen Achse und rechts von der senkrechten liegt.

2. Ein Winkel von 150 Grad, derselbe Sinus in einem anderen Quadranten

   1. 150 Grad sind 30 Grad vor einem gestreckten Winkel
   2. Der Punkt ist über die senkrechte Achse nach links gewandert, liegt aber weiterhin über der horizontalen
   3. Die Höhe ist dieselbe wie bei 30 Grad, der Sinus ist also 0,5, und der Quadrant ist 2 geworden

   Der klarste Fall dafür, warum diese Seite überhaupt einen Quadranten druckt: Die Zahl allein kann diese beiden Winkel nicht auseinanderhalten. 30 und 150 Grad teilen sich einen Sinuswert von 0,5, und es sind die einzigen beiden Winkel in einer vollen Umdrehung, die das tun. Dieses Paar ist eine Regel und kein Zufall — der Sinus eines Winkels ist gleich dem Sinus seines Supplementwinkels, und genau das sieht man, wenn man den Kreis an der senkrechten Achse nach unten klappt.

3. Ein negativer Winkel, minus 30 Grad

   1. Minus 30 Grad sind 30 Grad in der anderen Richtung, also im Uhrzeigersinn von der positiven horizontalen Achse aus
   2. Der Punkt liegt jetzt unter der Achse statt darüber, die Höhe ist also negativ
   3. Die Anzeige ist −0,5 und der Quadrant ist 4

   Das heißt es, dass eine Funktion ungerade ist: Ändern Sie das Vorzeichen des Winkels, ändert die Antwort ihr Vorzeichen mit. Der Kosinus verhält sich nicht so — seine Anzeige bei minus 30 Grad ist dieselbe 0,866, die er bei plus 30 Grad liefert. Der Unterschied ist es wert, festgehalten zu werden, denn er kommt in jeder Formel wieder, die die beiden mischt, und er ist der Grund, warum die Tabelle unten nicht symmetrisch um ihre erste Zeile liegt.

4. Ein Winkel von 90 Grad, wo die Quadrantenspalte null liest

   1. Bei einem rechten Winkel sind Gegenkathete und Hypotenuse dieselbe Seite
   2. Eine Seite durch sich selbst geteilt ist eins, der Sinus ist also 1 — der größte Wert, den er je annimmt
   3. Der Punkt liegt auf der senkrechten Achse statt innerhalb eines Viertels, der Quadrant ist also 0

   Die Anzeige 1 ist die Obergrenze, und kein Winkel überschreitet sie. Die Null in der Quadrantenspalte ist die Konvention, die diese Seite für alle vier Achsenwinkel befolgt: 0, 90, 180 und 270 Grad liegen in keinem Quadranten, weil ein Quadrant ein offenes Viertel ist und die Achse seine Grenze. Beide Nullen in der Tabelle unten stammen aus dieser Regel, und das hier ist die Zeile, an der am leichtesten zu sehen ist, warum das die ehrliche Antwort ist und kein fehlender Wert.

Drei Grenzen, die man klar aussprechen sollte. Die Anzeigen sind auf vier Nachkommastellen angegeben, und die meisten davon sind irrational: Der Sinus von 60 Grad ist die Hälfte der Quadratwurzel aus drei, 0,866 ist also ein Abschneiden und nicht die Antwort; 30, 90 und ihre Spiegelungen sind die einzigen Zeilen auf dieser Seite mit kurzen exakten Werten. Zweitens ist der Quadrant die Bezeichnung eines Viertels der Ebene und keine Messung, und die vier Winkel, die auf einer Achse liegen, gehören zu gar keinem Viertel — die Spalte liest für sie null. Diese Null ist kein fehlender Wert und kein fünfter Quadrant; sie ist die Aussage, dass der Winkel auf der Grenze liegt. Drittens kehrt die Seite nicht um. Bei einem Sinus von 0,5 könnte der Winkel 30 Grad, 150 Grad oder einer dieser beiden plus einer beliebigen ganzen Zahl von Umdrehungen sein, und die Wahl dazwischen braucht eine Entscheidung, die diese Seite nicht trifft. Winkel jenseits einer Million Grad in beide Richtungen werden abgelehnt statt reduziert, weil die Reduktion selbst ab dieser Größe ihre Bedeutung verliert.

Warum läuft der Sinus nie aus, der Tangens aber schon?

Weil die Division andersherum geht. Der Sinus ist die Gegenkathete durch die Hypotenuse, und die Hypotenuse ist die längste Seite, der Bruch liegt also immer zwischen minus eins und eins und der Nenner wird nie null. Der Tangens ist die Gegenkathete durch die Ankathete, und bei einem rechten Winkel ist die Ankathete null — durch null zu teilen hat keine Antwort, das ist also der Winkel, den die Tangensseite ablehnt. Diese Seite nimmt jeden Winkel an, auch 90 Grad, wo die Anzeige eins ist.

Was sagt mir die Quadrantenspalte?

In welchem Viertel der Koordinatenebene der Winkel landet, gegen den Uhrzeigersinn gezählt von der positiven horizontalen Achse aus. Das Vorzeichen des Sinus sagt, ob der Punkt über oder unter der Achse liegt, und das Vorzeichen des Kosinus sagt, ob er links oder rechts liegt, beide Vorzeichen zusammen benennen also das Viertel. Diese Seite druckt den Quadranten, weil der Sinus das allein nicht kann: 30 Grad und 150 Grad teilen sich einen Sinuswert von 0,5, und nur der Quadrant sagt, welchen der beiden Sie haben.

Warum zeigen die Achsenwinkel einen Quadranten von null?

Weil 0, 90, 180 und 270 Grad auf einer Achse liegen statt innerhalb eines Viertels, und ein Quadrant ist ein offenes Viertel, dessen Grenze die Achse ist. Sie unter dem ersten Quadranten zu verbuchen wäre eine Behauptung, die nicht stimmt — der Punkt liegt nicht über der horizontalen Achse, er liegt auf ihr. Die Null ist die ehrliche Antwort, und es ist dieselbe Konvention, die die Tabelle in ihrer Quadrantenspalte verwendet.

Warum ist der Sinus von 150 Grad derselbe wie der Sinus von 30 Grad?

Weil der Sinus eines Winkels gleich dem Sinus seines Supplementwinkels ist. 150 Grad sind 30 Grad vor einem gestreckten Winkel, und das Klappen des Kreises an seiner senkrechten Achse führt den einen Punkt in den anderen über, die beiden Punkte liegen also auf derselben Höhe. Die Winkel, die sich einen Sinus teilen, sind immer ein Paar innerhalb einer vollen Umdrehung, und sie sind Spiegelbilder an der senkrechten Achse statt an der horizontalen — genau deshalb ändert sich der Quadrant, während der Wert bleibt.

Wird der Sinus jemals negativ?

Ja, bei jedem Winkel unterhalb der horizontalen Achse, also in der zweiten Hälfte der Umdrehung und bei jedem negativen Winkel. Die Anzeige ist zwischen 180 und 360 Grad negativ, und den kleinsten Wert erreicht sie mit minus eins bei 270 Grad. Darin unterscheidet sich der Sinus vom Kosinus um eine Vierteldrehung statt um eine halbe: Der Kosinus kippt ins Negative, sobald der Punkt die senkrechte Achse überquert, der Sinus, sobald er die horizontale überquert.

Kann ich den Winkel im Bogenmaß eingeben?

Ja — neben dem Eingabefeld sitzt eine Auswahl für die Einheit, und der Winkel wird in jeder von ihnen gleich gelesen. 30 Grad und 0,5236 im Bogenmaß ergeben denselben Sinus, nämlich ein halb, und denselben Quadranten. Zu prüfen ist, welche Einheit eine Quelle annimmt, mit der Sie vergleichen, denn die meisten gedruckten Tabellen sind in Grad geschrieben, die meisten Programmiersprachen dagegen nicht.

• Sine — the opposite-over-hypotenuse ratio, its odd symmetry, and its period of one full turn — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of all six ratios, their ranges, and why the sine is defined at every angle while the tangent is not — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit Circle — the circle of radius one, the four quadrants it is divided into, and why a point on it is read as a cosine and a sine — Wolfram MathWorld (United States)
• Sinus und Kosinus — beide Funktionen am Einheitskreis, ihre Werte bei 0°, 30°, 45°, 60° und 90° sowie Vorzeichen und Periode — Mathepedia (Deutschland)