Arkussinus-Rechner

θ = arcsin x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [−90°, 90°] die andere Lösung in [0°, 360°) ist 180° − θ

x

Der Sinuswert, mit dem Sie starten. Er muss zwischen minus eins und eins liegen: Der Sinus eines Winkels kann dieses Band nicht verlassen, ein Wert außerhalb entspricht also überhaupt keinem Winkel

θ

Der Winkel, den die Funktion zurückgibt, der Hauptwert. Er liegt immer zwischen minus 90 Grad und 90 Grad und wird in Grad und im Bogenmaß ausgegeben

180° − θ

Der zweite Winkel im Kreis mit demselben Sinus. Spiegelbilder an der senkrechten Achse teilen sich den Sinus, weshalb man den Partner durch Abziehen von 180 Grad findet und nicht durch Addieren

Greifen Sie zu dieser Seite, wenn Sie einen Winkel aus einem Sinuswert berechnen wollen — eine vermessene Neigung, die als Sinus angegeben ist, eine Kraftkomponente als Bruchteil des Ganzen, ein Wert aus einer Tabelle, in der nur das Verhältnis aufgeführt war. Die Arkussinus-Funktion ist auch die, zu der man greift, wenn eine Dreiecksaufgabe zwei Seiten liefert und nach dem Winkel gegenüber einer von ihnen fragt, denn der Sinus eines Winkels ist die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Dabei ist die Einheit des Eingabewerts nicht die einzige Sache, die man umrechnen kann — wer den Winkel in einer anderen Einheit braucht, findet beide nebeneinander. Zwei Nachbarseiten sind hier wichtig. Wenn Sie die drei Verhältnisse zu einem Winkel wollen statt den Winkel zu einem Verhältnis, läuft der Trigonometrie-Rechner in die andere Richtung, und die beiden stimmen überall überein, wo beide definiert sind. Und wenn Sie tatsächlich das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse haben, ist das der Arkuskosinus, dessen Wertemenge die obere Hälfte des Kreises abdeckt statt der rechten.

1. Ein Sinuswert von 0,5

   1. Der Wert liegt im Band von minus eins bis eins, es gibt also einen Winkel zu finden
   2. 30 Grad ist der Winkel im Hauptbereich, dessen Sinus 0,5 ist, die Seite gibt also 30 Grad aus
   3. Im Bogenmaß sind das 30 mal pi durch 180, also ein Sechstel pi, das ist 0,5236

   Der Wert, mit dem die Seite lädt, und der, welcher zeigt, was der Bereich kostet. Auch 150 Grad hat einen Sinus von 0,5 — es ist das Spiegelbild von 30 Grad an der senkrechten Achse —, aber die Funktion gibt eine Zahl zurück, und 30 ist die im Bereich. Die Tabelle macht den verlorenen Winkel sichtbar: 0,5 ist die sechste ihrer neun Zeilen, und die dritte Spalte dieser Zeile ist 150. Beide Winkel sind Antworten auf dieselbe Frage; nur einer davon ist das, was eine Funktion zurückgeben darf.

2. Ein Sinuswert von 0,25, kein besonderer Winkel

   1. Ein Viertel ist der Sinus keines Winkels der üblichen Tafel, die Antwort wird also eine Dezimalzahl
   2. Der Winkel, dessen Sinus 0,25 ist, beträgt 14,48 Grad, auf zwei Nachkommastellen
   3. Im Bogenmaß ist derselbe Winkel 0,2527, also rund ein Viertel des Sinuswerts selbst

   Die meisten Werte landen hier und nicht auf einem besonderen Winkel, und diese Zeile ist das, was ein echter Nachschlag aussieht. Ein Blick auf die Bogenmaßspalte lohnt sich: Bei kleinen Winkeln liegt das Bogenmaß sehr nah am Sinuswert selbst, weshalb 0,2527 nahe bei 0,25 sitzt. Das ist die Kleinwinkelnäherung, und dass sie hier unaufgefordert in einer Tabelle auftaucht, ist der kürzeste Beleg dafür, warum das Bogenmaß die Einheit ist, mit der die Analysis rechnet.

3. Ein negativer Sinuswert, minus 0,5

   1. Minus 0,5 liegt im Band, die Seite findet also einen Winkel
   2. Der Winkel im Hauptbereich, dessen Sinus minus 0,5 ist, ist minus 30 Grad
   3. Das Bogenmaß folgt demselben Vorzeichen: minus 0,5236

   Die andere Stelle, an der diese Seite anders liest als die Doppelwinkel- und die Halbwinkelseite. Dort wurde ein negativer Winkel in den Bereich geholt, bevor irgendetwas anderes geschah, und kam als Position in der oberen Hälfte des Kreises zurück. Hier bleibt die Antwort vorzeichenbehaftet, weil der Hauptbereich das Band von minus 90 bis 90 ist und seine Hälfte unter null liegt. 30 Grad unter der Waagerechten und 30 Grad darüber sind derselbe Winkel mit entgegengesetzten Vorzeichen, und die Funktion gibt den zurück, der zum Vorzeichen des Eingabewerts passt. Die Tabellenzeile für minus 0,5 zeigt beide Lesarten: minus 30 in der zweiten Spalte und 210 in der dritten.

4. Ein Sinuswert von 1, am Rand des Bands

   1. Eins ist der größte Sinus, den irgendein Winkel hat, die Antwort ist also das obere Ende des Hauptbereichs
   2. 90 Grad hat einen Sinus von eins, und kein Winkel hat einen größeren
   3. Im Bogenmaß ist ein rechter Winkel die Hälfte von pi, das ist 1,5708

   Die Zeile, in der die beiden Lösungen zu einer zusammenfallen. Jeder andere Sinuswert im Band gehört zu zwei verschiedenen Winkeln, aber eins gehört zu 90 und zu nichts sonst im Kreis — die Sinuskurve wendet dort, das Spiegelbild von 90 Grad an der senkrechten Achse ist also wieder 90 Grad. Die Tabelle zeigt das deutlich: Die zweite und die dritte Spalte der letzten Zeile lesen beide 90. Das ist kein doppelter Eintrag, das ist die Kurve, die an ihrem Scheitel flach wird.

Drei Dinge tut diese Seite nicht. Erstens hat ein Wert außerhalb des Bands von minus eins bis eins keine Antwort und wird abgelehnt statt genähert — 1,5 ist der Sinus von nichts. Zweitens ist die Antwort nur der Hauptwert. Jeder Sinuswert zwischen minus eins und eins gehört zu zwei Winkeln in einer vollen Umdrehung und zu unendlich vielen über die Umdrehungen hinweg, und die Seite gibt den im Band von minus 90 bis 90 zurück; wenn Sie den anderen wollen, steht er in der dritten Spalte der Tabelle, und wenn es derselbe Winkel plus oder minus ganzer Umdrehungen sein soll, sagt Ihnen nichts hier, wie viele. Drittens ist das Bogenmaß auf vier Nachkommastellen gedruckt und der Gradwert auf zwei, ein Wert, der nach dem Runden auf einem besonderen Winkel landet, wird also als dieser Winkel gedruckt — der Arkussinus von 0,866 erscheint als 60 Grad, obwohl der exakte Sinus von 60 Grad etwas größer ist als 0,866.

Warum ergibt der Arkussinus von 0,5 30 Grad und nicht 150?

Weil beide Winkel einen Sinus von 0,5 haben und eine Funktion nur eine Zahl zurückgeben kann. Die Wertemenge der Arkussinus-Funktion ist auf das Band von minus 90 Grad bis 90 Grad festgelegt, und 30 ist der Winkel in diesem Band. 150 Grad ist eine vollkommen richtige Antwort auf die Gleichung, und die Tabelle auf dieser Seite zeigt sie in der dritten Spalte, aber es ist nicht das, was die Funktion zurückgibt.

Was geschieht, wenn ich einen Wert größer als 1 eingebe?

Die Seite lehnt ihn ab, weil kein Winkel einen Sinus über eins hat. Der Sinus eines Winkels bleibt zwischen minus eins und eins, was der Winkel auch tut; die Wertemenge der Umkehrfunktion ist also genau dieses Band, und nichts außerhalb davon entspricht einem Winkel. Das ist etwas anderes als ein Wert wie 1,5 in einer Division, wo eine große Zahl einfach eine kleine erzeugt — hier hat die Frage selbst keine Antwort.

Warum ist die Antwort bei einem negativen Wert negativ?

Weil der Hauptbereich von minus 90 Grad bis 90 Grad läuft und seine Hälfte unter null liegt. Die Sinusfunktion ist ungerade — der Sinus von minus 30 ist das Negative des Sinus von 30 —, das Umkehren bei einem negativen Wert ergibt also einen negativen Winkel. Der gleichwertige Winkel in der unteren Hälfte des Kreises, bei einem Eingabewert von minus 0,5 also 330 Grad, ist dieselbe Richtung; die Seite gibt den vorzeichenbehafteten zurück.

Wie finde ich einen Winkel aus einem Sinuswert von Hand?

Schlagen Sie den Wert in einer Sinustafel nach, oder schätzen Sie über das Band: Ein Sinus von 0,5 ist 30 Grad, ein Sinus von 0,7071 ist 45, und ein Sinus von 0,866 ist 60. Für alles dazwischen ist ein Rechner der praktikable Weg. Das eine, woran man von Hand denken muss, ist der zweite Winkel: Jeder Sinuswert im offenen Band gehört zu zwei Winkeln in einer vollen Umdrehung, und eine Tafel führt gewöhnlich nur den ersten auf.

Wie lautet der Arkussinus im Bogenmaß?

Derselbe Winkel, anders gemessen. 30 Grad sind ein Sechstel pi, das sind 0,5236 im Bogenmaß, und die Seite druckt beides, damit die Umrechnung nie von Hand geschehen muss. Das Bogenmaß ist die Einheit, in der die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist, weshalb alles, was mit Analysis zu tun hat, Winkel so angibt, während alles, was mit einem Geodreieck gemessen wird, sie in Grad angibt.

Ist der Arkussinus dasselbe wie eins durch den Sinus?

Nein, und die beiden sind leicht zu verwechseln, weil in beiden das Wort Sinus steckt. Der Arkussinus macht den Sinus rückgängig: Er nimmt 0,5 und gibt 30 Grad zurück. Eins durch den Sinus nimmt 0,5 und gibt 2 zurück, das ist der Kosekans von 30 Grad — ein Verhältnis, kein Winkel. Die Schreibweise macht es schlimmer, denn die Umkehrfunktion wird oft mit einer hochgestellten minus eins geschrieben, die genau wie ein Exponent aussieht.

• Inverse Sine — the function this page computes, its principal range, and why the range has to be chosen at all — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — the three inverse functions together, with the ranges and the branch cuts — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and the band each of them stays inside — Wolfram MathWorld (United States)
• Arkussinus und Arkuskosinus — beide Umkehrfunktionen mit Definitions- und Wertebereich, und warum der Hauptwert gewählt werden muss — Mathepedia (Deutschland)