Arkustangens-Rechner

θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (−90°, 90°) die andere Lösung in [0°, 360°) ist θ + 180°

x

Der Tangenswert, der jede reelle Zahl sein darf. Hier wird nichts abgelehnt, weil der Tangens jeden reellen Wert irgendwo auf dem Kreis annimmt

θ

Der Winkel, den die Funktion zurückgibt, immer echt zwischen minus 90 Grad und 90. Beide Enden sind ausgeschlossen, weil der Tangens an keinem von beiden einen Wert hat

θ + 180°

Der zweite Winkel im Kreis mit demselben Tangens. Der Tangens wiederholt sich alle halbe Umdrehung, der Partner wird also durch Addieren gefunden und nicht durch Spiegeln an einer Achse

Greifen Sie zu dieser Seite, wenn Sie aus einer Steigung den zugehörigen Winkel berechnen wollen — Höhe durch Lauf, die Neigung einer Straße oder eines Dachs, die Richtung eines Vektors in der Ebene. Es ist außerdem die Umkehrfunktion, zu der man greift, wenn die beiden bekannten Seiten die sind, die sich im rechten Winkel treffen, denn der Tangens eines Winkels ist die Gegenkathete durch die Ankathete, und es ist die, die eine Eingabe nie ablehnt, weil sie zu groß wäre. Zwei Nachbarseiten sind wichtig. Wenn das Verhältnis, das Sie halten, die Gegenkathete durch die Hypotenuse ist, ist das der Arkussinus, dessen Wertemenge die rechte Hälfte des Kreises abdeckt statt des mittleren Bands. Und wenn Sie den Tangens zu einem Winkel wollen statt den Winkel zu einem Tangens, läuft die Tangens-Seite in die andere Richtung, und ihre eigene Seite erklärt, warum das Verhältnis bei einem rechten Winkel davonläuft.

1. Ein Tangenswert von 1

   1. Der Wert wird angenommen, was er auch ist, es gibt also einen Winkel zu finden
   2. 45 Grad ist der Winkel in der Wertemenge, dessen Tangens 1 ist, die Seite gibt also 45 Grad aus
   3. Im Bogenmaß ist das ein Viertel pi, das ist 0,7854

   Der Wert, mit dem die Seite lädt, und das kleinste Beispiel für den Halbumdrehungspartner. Ein Tangens von 1 gehört auch zu 225 Grad, das ist 45 plus eine halbe Umdrehung — die dritte Spalte der Tabelle liest in dieser Zeile 225. Beachten Sie, was der Partner nicht ist: Er ist keine Spiegelung von 45 an einer der beiden Achsen, wie es die zweite Lösung auf der Arkussinus- und der Arkuskosinus-Seite ist. Der Tangens wiederholt sich schlicht eine halbe Umdrehung später, und das ist dieselbe Aussage wie die, dass der Tangens eine Periode von 180 Grad hat und nicht von 360.

2. Ein negativer Tangenswert, minus 1

   1. Der Wert wird angenommen, und er ist negativ, die Antwort wird es also auch sein
   2. Der Winkel in der Wertemenge, dessen Tangens minus 1 ist, ist minus 45 Grad
   3. Das Bogenmaß folgt dem Vorzeichen: minus 0,7854

   Die vorzeichenbehaftete Lesart, wie auf der Arkussinus-Seite und anders als beim Arkuskosinus. Eine negative Steigung ergibt einen negativen Winkel, weil die Wertemenge das Band von minus 90 bis 90 ist und seine Hälfte unter null liegt. Der Partner ist hier 135 Grad, das ist minus 45 plus eine halbe Umdrehung, und er ist zugleich die Spiegelung von 45 an der senkrechten Achse — aber dieser Zusammenfall gehört zu diesem Wert und nicht zu dieser Seite, und er hört auf zu gelten, sobald der Wert nicht mehr genau minus eins ist.

3. Ein Tangenswert von 0,5, kein besonderer Winkel

   1. Ein Halb ist der Tangens keines Winkels der üblichen Tafel, die Antwort wird also eine Dezimalzahl
   2. Der Winkel, dessen Tangens 0,5 ist, beträgt 26,57 Grad
   3. Im Bogenmaß ist derselbe Winkel 0,4636

   Die meisten Steigungen landen auf einer Zeile wie dieser und nicht auf einem besonderen Winkel. Es ist zugleich die klarste Stelle, an der man die Gestalt der Antwort sieht: Wächst der Wert, klettert der Winkel auf 90 zu und berührt es nie, und schrumpft der Wert gegen null, fällt der Winkel gegen null. Der Tangens eines kleinen Winkels liegt im Bogenmaß sehr nah am Winkel selbst — 0,4636 gegen 0,5 —, das ist dieselbe Kleinwinkelnäherung, die auf der Arkussinus-Seite auftaucht, und sie ist hier lockerer als dort.

4. Ein Tangenswert von einer Million, am Rand der Wertemenge

   1. Eine Million ist hier eine gewöhnliche Eingabe, weil keine Schranke gilt
   2. Der Winkel, dessen Tangens eine Million ist, beträgt 89,99994 Grad, ein Haar unter 90
   3. Zwei Nachkommastellen reichen nicht, um den Unterschied zu zeigen, die Seite druckt also 90 Grad

   Die Zeile, vor der die Seite warnen soll. 90 Grad liegt nicht in der Wertemenge und wird es nie — der Tangens hat dort überhaupt keinen Wert —, aber eine so große Eingabe landet nah genug, dass die gedruckte Antwort darauf aufrundet. Die gedruckte Zahl ist ehrlich darin, was sie ist: Der Winkel beträgt 90 Grad auf die gezeigte Genauigkeit. Falsch wäre es, sie als exakten Wert zu lesen, oder schlimmer, sie so zu lesen, dass der Tangens von 90 Grad eine Million sei statt undefiniert. Schieben Sie die Eingabe weiter, auf hundert Millionen, und der wahre Winkel rückt näher an 90 heran, ohne dass sich die Anzeige ändert.

Drei Dinge tut diese Seite nicht. Erstens werden die Enden der Wertemenge nie zurückgegeben. 90 Grad und minus 90 sind ausgeschlossen, weil der Tangens dort keinen Wert hat, die Antwort nähert sich ihnen also, ohne anzukommen; bei Eingaben, die groß genug sind, dass der Unterschied unter zwei Nachkommastellen fällt, druckt die Seite trotzdem das Ende, und diese Anzeige ist eine gerundete und keine exakte. Zweitens ist die Antwort nur der Hauptwert. Der Tangens wiederholt sich alle halbe Umdrehung, jeder Wert auf dieser Seite gehört also zu zwei Winkeln in einer vollen Umdrehung und zu unendlich vielen über die Umdrehungen hinweg, und die Seite gibt den zurück, der echt zwischen minus 90 und 90 liegt; die dritte Spalte der Tabelle hat den Partner, der eine halbe Umdrehung entfernt ist. Drittens ist das Bogenmaß auf vier Nachkommastellen gedruckt und der Gradwert auf zwei, ein Wert, der nach dem Runden nahe an einem besonderen Winkel landet, wird also als dieser Winkel gedruckt — der Arkustangens von 1,7321 erscheint als 60 Grad, obwohl der exakte Tangens von 60 Grad etwas größer ist.

Warum ist hier jeder Wert erlaubt, während die anderen beiden Werte über 1 ablehnen?

Weil der Tangens keine obere Schranke hat. Arkussinus und Arkuskosinus nehmen ein Verhältnis zweier Seiten mit der längsten Seite im Nenner, ihre Eingabe kann eins also nicht überschreiten; der Tangens ist die Gegenkathete durch die Ankathete, und keine von beiden ist die längste Seite, das Verhältnis darf also so groß werden, wie das Dreieck steil ist. Ein Tangens von einer Million ist die Steigung einer Wand, die eine Million mal höher ist als breit.

Warum ergibt ein sehr großer Wert genau 90 Grad?

Streng genommen nicht — er ergibt einen Winkel knapp unter 90, der darauf rundet. 90 Grad liegt nicht in der Wertemenge, weil der Tangens dort keinen Wert hat: Das Verhältnis würde durch null teilen. Wächst die Eingabe, klettert die Antwort auf 90 zu und kommt nie an, für alles über etwa zehntausend ist die gedruckte Antwort also 90 Grad auf die zwei gezeigten Nachkommastellen. Die Anzeige ist auf dieser Genauigkeit richtig und falsch, wenn Sie sie als exakt behandeln.

Warum ist der zweite Winkel eine halbe Umdrehung entfernt statt eine Spiegelung?

Weil der Tangens sich alle 180 Grad wiederholt und nicht alle 360. Eine halbe Umdrehung zu einem Winkel zu addieren lässt sowohl die Gegenkathete als auch die Ankathete das Vorzeichen umdrehen, ihr Verhältnis bleibt also unverändert. Die Arkussinus- und die Arkuskosinus-Seite finden ihre zweite Lösung durch Spiegeln an einer Achse, weil Sinus und Kosinus von Spiegelbildern geteilt werden; beim Tangens ist das nicht so, sein Partner kommt also vom Addieren statt vom Subtrahieren.

Wie finde ich einen Winkel aus einem Tangenswert von Hand?

Merken Sie sich, dass ein Tangens von 1 45 Grad ist und ein Tangens von 1,7321 60, arbeiten Sie den Rest aus einer Tafel oder mit einem Rechner heraus, und addieren Sie dann 180 Grad, wenn Sie den anderen Winkel im Kreis wollen. Das ist die Umkehrfunktion für eine Steigung — Höhe durch Lauf — und die, die man nimmt, wenn die beiden bekannten Seiten die sind, die sich im rechten Winkel treffen.

Warum ist die Antwort bei einem negativen Wert negativ?

Weil die Wertemenge von minus 90 Grad bis 90 läuft und ihre Hälfte unter null liegt. Ein negativer Tangens heißt, dass Gegenkathete und Ankathete entgegengesetzte Vorzeichen haben, das ist eine Steigung, die hinuntergeht statt hinauf, und die Seite gibt sie mit dem Vorzeichen aus, das die Eingabe nahelegt. Der Partnerwinkel eine halbe Umdrehung weiter ist ein positiver — minus 45 und 135 sind dieselbe Steigung in entgegengesetzten Richtungen.

Ist der Arkustangens dasselbe wie eins durch den Tangens?

Nein. Der Arkustangens macht den Tangens rückgängig: Geben Sie ihm 1, gibt er 45 Grad zurück. Eins durch den Tangens gibt 1 die Antwort 1, und das ist der Kotangens von 45 Grad — ein Verhältnis statt eines Winkels. Die beiden fallen nur bei 45 Grad zusammen, und genau solche Zufälle machen die Verwechslung so hartnäckig.

• Inverse Tangent — the function this page computes, with the open range and the behaviour at large values — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — the three inverse functions together, and why only this one accepts every real number — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the definition of the ratio, its period of half a turn, and the angles at which it has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen — Arkustangens mit offenem Wertebereich, und warum nur er jede reelle Zahl annimmt — Mathepedia (Deutschland)