Kotangens-Rechner

cot θ = 1 ÷ tan θ cot θ = Ankathete ÷ Gegenkathete cot θ = cos θ ÷ sin θ

θ

Der Winkel, in Grad, Bogenmaß oder Neugrad. Er darf negativ sein und größer als eine volle Umdrehung — es zählt nur, wo er auf dem Kreis landet

Ankathete / Gegenkathete

Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Winkel θ: die Seite neben θ und die Seite gegenüber. Der Kotangens ist die erste durch die zweite, also der Tangens verkehrt herum

tan θ

Der Tangens desselben Winkels. Eins durch ihn ergibt den Kotangens, überall dort, wo er nicht null ist — bei einem rechten Winkel hat der Tangens keinen Wert, und der Kotangens ist dort stattdessen null

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie den Kotangens berechnen wollen — also das Verhältnis, bei dem die Ankathete oben steht: eine Neigung als Lauf durch Steigung statt als Steigung durch Lauf, eine Steigungsangabe andersherum gelesen, ein Winkel, den Sie in Grad kennen und als Kehrwert seines Tangens brauchen. Die Tabelle unten führt beide Spalten, deshalb ist sie auch der schnellste Weg zu sehen, wie Tangens und Kotangens die Plätze tauschen: Die eine Spalte hat genau dort ein „—", wo die andere eine Null stehen hat. Wenn Sie den Tangens statt seines Kehrwerts wollen und dazu Sinus und Kosinus, druckt der Trigonometrie-Rechner alle drei zusammen, und die Zahlen stimmen bis auf die letzte Nachkommastelle überein. Und wenn Sie einen Kotangens haben und den Winkel zurückwollen, ist das die umgekehrte Richtung: eine andere Frage mit mehr als einer Antwort.

1. Ein Winkel von 45 Grad, die einzige ganzzahlige Antwort

   1. Bei 45 Grad sind die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks gleich lang
   2. Der Kotangens ist die Ankathete durch die Gegenkathete
   3. Gleiche Größen geteilt ergeben genau eins, die Anzeige ist also 1 und nicht 0,9999

   Der Winkel, mit dem die Seite lädt, und der einzige Winkel, an dem diese Funktion eine ganze Zahl liefert. Bei 45 Grad ist auch der Tangens eins, und das ist kein Zufall: Wenn eine Zahl ihr eigener Kehrwert ist, stimmen die Funktion und ihr Kehrwert an dieser Stelle überein. Jede andere Anzeige auf dieser Seite ist entweder eine Wurzel oder der Kehrwert einer Wurzel, weshalb die Tabelle unten auf vier Nachkommastellen geschrieben ist.

2. Ein Winkel von 30 Grad

   1. Der Tangens von 30 Grad ist √3/3, also etwa 0,5774
   2. Der Kotangens ist eins durch diesen Wert, das ist √3
   3. Auf vier Nachkommastellen gerundet ist √3 gleich 1,7321

   Der Kotangens von 30 Grad ist dieselbe Zahl wie der Tangens von 60 Grad, und das ist eine Regel und kein Zufall: Die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ergänzen sich zu 90 Grad, und die Seite gegenüber dem einen ist die Seite neben dem anderen. Der Kotangens eines Winkels ist also immer der Tangens seines Komplementwinkels, und die Tabelle unten zeigt das Paar in benachbarten Zeilen.

3. Ein Winkel im zweiten Quadranten, 135 Grad

   1. 135 Grad sind 45 Grad jenseits eines rechten Winkels
   2. Der Punkt liegt im zweiten Quadranten, die Ankathete ist also negativ und die Gegenkathete weiterhin positiv
   3. Positiv geteilt durch negativ ist negativ, der Kotangens ist also −1

   Genau das Negative der Anzeige von 45 Grad, und das ist das Muster für den ganzen zweiten Quadranten: Der Betrag des Kotangens ändert sich gegenüber dem auf ihn gefalteten Winkel aus dem ersten Quadranten nicht, es bewegt sich nur das Vorzeichen. Der Betrag kehrt hier zu eins zurück, weil das Dreieck dieselbe Gestalt hat wie bei 45 Grad und nur anders im Koordinatensystem liegt.

4. Ein Winkel von 90 Grad, wo der Kotangens null ist

   1. Bei einem rechten Winkel ist die Ankathete auf null geschrumpft
   2. Der Kotangens ist die Ankathete durch die Gegenkathete, hier also null durch eine positive Zahl
   3. Null geteilt durch irgendetwas von null Verschiedenes ist null, die Anzeige ist also 0

   Das ist der Winkel, den die Tangensseite ablehnt, und hier ist er eine ganz gewöhnliche Null. Es wird nichts besonders behandelt: Das Verhältnis hat die Null oben statt unten, und null durch eine Zahl zu teilen ist erlaubt. Es ist das klarste Beispiel dafür, was die Kehrwertbeziehung bewirkt — die beiden Funktionen unterscheiden sich an diesem Winkel nicht bloß in der Größe, sie tauschen das Definierte und das Undefinierte.

Drei Grenzen, die man klar aussprechen sollte. Die Anzeigen sind auf vier Nachkommastellen angegeben, und die meisten davon sind irrational: Der Kotangens von 30 Grad ist √3, 1,7321 ist also ein Abschneiden und nicht die Antwort. 45 Grad ist der einzige Winkel auf dieser Seite mit einem exakten, abbrechenden Wert, weshalb die Tabelle ungleichmäßig aussieht — einige Zeilen landen auf sauberen Zahlen und der Rest nicht. Zweitens hat der Kotangens bei null Grad, bei 180 Grad und bei jedem Winkel keinen Wert, der auf einen dieser beiden reduziert werden kann, negative Winkel und Winkel jenseits einer vollen Umdrehung eingeschlossen; diese Seite lehnt sie alle ab, und dieselbe Ablehnung trifft jeden Winkel, den Sie durch Addition einer vollen Umdrehung zu diesen beiden erreichen. Drittens kehrt die Seite nicht um. Bei einem Kotangens von 1,7321 könnte der Winkel 30 Grad, 210 Grad oder jeder der unendlich vielen Winkel in einem halben Umdrehungsabstand sein, und die Wahl dazwischen braucht eine Entscheidung, die diese Seite nicht trifft.

Warum hat der Kotangens bei 0 Grad keinen Wert?

Weil der Kotangens die Ankathete durch die Gegenkathete ist und bei null Grad die Gegenkathete auf null geschrumpft ist. Durch null zu teilen hat keine Antwort. Es ist derselbe Ausfall, den der Tangens bei 90 Grad hat, nur um eine Vierteldrehung verschoben: Die beiden Funktionen sind Kehrwerte, also ist dort, wo die eine null ist, die andere undefiniert, und die Nullstellen und die Definitionslücken tauschen die Plätze.

Ist der Kotangens einfach eins durch den Tangens?

Ja, und das ist die kürzeste Beschreibung. Er ist außerdem der Kosinus durch den Sinus und die Ankathete durch die Gegenkathete, und alle drei sagen dasselbe. Aufpassen muss man nur an den Winkeln, an denen der Tangens null oder undefiniert ist: Eins durch null ist keine Zahl, der Kotangens ist deshalb bei null und 180 Grad undefiniert, obwohl der Tangens dort definiert ist, und er ist bei 90 und 270 Grad null, wo der Tangens es nicht ist.

Warum ist der Kotangens von 90 Grad null?

Weil bei einem rechten Winkel die Ankathete auf null geschrumpft ist, während die Gegenkathete ihre größte Länge hat. Ein Verhältnis mit einer Null oben ist null, die Anzeige ist also eine ganz gewöhnliche Null — es wird nichts besonders behandelt. Es ist der Winkel, den die Tangensseite ablehnt, und der Kontrast ist der Punkt: Die beiden Funktionen tauschen, welche von ihnen eine Antwort hat und welche nicht.

Was bedeutet ein negativer Kotangens?

Dass die beiden Katheten entgegengesetzte Vorzeichen haben, was im zweiten und im vierten Quadranten der Fall ist. Jenseits eines rechten Winkels zeigt die Ankathete in die andere Richtung, während die Gegenkathete es nicht tut, das Verhältnis wird also negativ und bleibt es bis 180 Grad, wird im dritten Quadranten wieder positiv, wo beide negativ sind, und kippt jenseits von 270 Grad erneut ins Negative.

Wiederholt sich der Kotangens, und wie oft?

Alle halbe Umdrehung, also doppelt so oft wie Sinus und Kosinus. 180 Grad zu einem Winkel zu addieren dreht das Vorzeichen sowohl der Ankathete als auch der Gegenkathete um, und ein Verhältnis zweier umgedrehter Größen bleibt unverändert. 30 Grad und 210 Grad teilen sich also einen Kotangens von 1,7321, und die Tabelle unten zeigt das Paar in acht Zeilen Abstand. Sinus und Kosinus brauchen dagegen eine volle Umdrehung, um zurückzukommen.

Kann der Winkel im Bogenmaß eingegeben werden?

Ja — neben dem Eingabefeld sitzt eine Auswahl für die Einheit, und der Winkel wird in jeder von ihnen gleich gelesen. 45 Grad und 0,7854 im Bogenmaß ergeben denselben Kotangens, nämlich eins. Zu prüfen ist wie immer, welche Einheit eine Quelle annimmt, mit der Sie vergleichen, denn die meisten gedruckten Tabellen sind in Grad geschrieben.

• Cotangent — the reciprocal of the tangent, its period of half a turn, and its poles at zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions and domains of all six ratios, including where each of them is undefined — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the function this one inverts, its own poles at ninety and two hundred and seventy degrees, and the reciprocal relationship between the two — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangens und Kotangens — beide Funktionen am Einheitskreis, ihre Definitionslücken bei 90° bzw. 0° und der Zusammenhang cot α = 1 / tan α — Mathepedia (Deutschland)