Tangens-Rechner

tan θ = Gegenkathete ÷ Ankathete tan θ = sin θ ÷ cos θ tan θ = Steigung

θ

Der Winkel, in Grad oder Bogenmaß. Der Tangenswert hängt allein davon ab, wo er auf dem Kreis landet — er darf negativ sein und größer als eine volle Umdrehung

Gegenkathete / Ankathete

Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Winkel θ: die Seite gegenüber von θ und die Seite neben ihm. Der Tangens ist die erste durch die zweite — die Hypotenuse spielt überhaupt keine Rolle

sin θ ÷ cos θ

Dasselbe Verhältnis, ausgedrückt durch die beiden anderen. Das ist die Form, welche die Definitionslücken erklärt: Überall dort, wo der Kosinus null ist, hat die Division keine Antwort, und der Kosinus ist bei 90 und bei 270 Grad null

Steigung

Was das Verhältnis am Einheitskreis bedeutet: die Steigung der Geraden vom Ursprung zu dem Punkt, auf dem der Winkel landet. Ein Tangens von eins ist eine 45-Grad-Gerade, und je größer die Anzeige, desto steiler die Gerade

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie den Tangens eines Winkels berechnen wollen und die gesuchte Größe eine Steigung ist und keine Höhe — die Dachneigung als Steigung durch Lauf angegeben, das Gefälle einer Straße in Prozent, der Winkel, in dem eine Leiter oder eine Rampe stehen muss, die Richtung einer Geraden durch zwei Punkte. Es ist auch die Seite für den Fall, dass Sie wissen wollen, wie steil etwas ist, und zwar in einer Zahl statt in zweien, denn Sinus und Kosinus sagen Ihnen jeweils nur die halbe Richtung. Zwei Dinge sollte man beim Lesen im Kopf behalten. Liegt der Winkel jenseits von 90 Grad, wird die Anzeige negativ und wächst auf der anderen Seite im Betrag weiter, und wenn Sie von einer Zeichnung statt von Koordinaten ausgehen, sagt Ihnen dieses Vorzeichen, dass die Gerade andersherum lehnt, und nicht, dass sich die Steilheit geändert hätte. Und wenn sich der Winkel einem rechten Winkel nähert, wächst die Anzeige über alle Grenzen, womit die Seite Ihnen sagt, dass die Gerade senkrecht geworden ist — bei genau 90 Grad gibt es keine Anzeige, weil eine senkrechte Gerade keinen Lauf hat, durch den man teilen könnte. Wenn Sie Sinus und Kosinus daneben wollen, druckt der Trigonometrie-Rechner alle drei; wenn Sie den Kehrwert dieser Zahl wollen, ist das eine andere Funktion mit ihren Definitionslücken an den beiden anderen Stellen.

1. Ein Winkel von 45 Grad, die eine ganzzahlige Antwort

   1. Bei 45 Grad sind die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks gleich lang
   2. Der Tangens ist die Gegenkathete durch die Ankathete
   3. Gleiche Größen geteilt ergeben genau eins, die Anzeige ist also 1 und nicht 0,9999

   Der Winkel, mit dem die Seite lädt, und der einzige Winkel, an dem diese Funktion eine ganze Zahl liefert. 45 Grad ist außerdem der Winkel, dessen Gerade die Steigung eins hat, und das ist dieselbe Aussage in der Sprache der Steigungen: eine Einheit nach oben auf eine Einheit nach rechts. Jede andere Anzeige auf dieser Seite ist entweder eine Wurzel oder der Kehrwert einer Wurzel, weshalb die Tabelle unten auf vier Nachkommastellen geschrieben ist.

2. Ein Winkel von 30 Grad

   1. Die Gegenkathete ist bei 30 Grad halb so lang wie die Hypotenuse
   2. Die Ankathete ist die andere Kathete, also die halbe Quadratwurzel aus drei
   3. Ein halb geteilt durch die halbe Wurzel aus drei ist eins durch die Wurzel aus drei, also etwa 0,5774

   Der Tangens von 30 Grad ist der Kotangens von 60 Grad, und das ist eine Regel und kein Zufall: Die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ergänzen sich zu 90 Grad, und die Seite gegenüber dem einen ist die Seite neben dem anderen. Der Tangens eines Winkels ist also immer der Kotangens seines Komplementwinkels, und die umgekehrte Aussage ist die andere Hälfte derselben Tatsache.

3. Ein Winkel im zweiten Quadranten, 135 Grad

   1. 135 Grad sind 45 Grad jenseits eines rechten Winkels
   2. Der Punkt liegt im zweiten Quadranten, die Ankathete ist also negativ und die Gegenkathete weiterhin positiv
   3. Positiv geteilt durch negativ ist negativ, der Tangens ist also −1

   Genau das Negative der Anzeige von 45 Grad, und das ist das Muster für den ganzen zweiten Quadranten: Der Betrag des Tangens ändert sich gegenüber dem auf ihn gefalteten Winkel aus dem ersten Quadranten nicht, es bewegt sich nur das Vorzeichen. Das ist außerdem der Fall, den die Sinusseite andersherum meldet — bei 135 Grad ist der Sinus mit 0,7071 noch positiv, weil der Punkt über der Achse liegt; der Tangens ist negativ, weil der Lauf nach links gekippt ist.

4. Ein Winkel von 210 Grad, eine halbe Umdrehung jenseits von 30

   1. 210 Grad sind 30 Grad plus ein gestreckter Winkel
   2. 180 Grad dazuzuzählen dreht sowohl die Gegenkathete als auch die Ankathete um, beide sind also negativ
   3. Negativ geteilt durch negativ ist positiv, und die Beträge bleiben unverändert, die Anzeige ist also dieselbe 0,5774

   Die klarste Vorführung der Halbe-Umdrehung-Periode und die Stelle, an der sich diese Funktion von Sinus und Kosinus trennt: Jene beiden brauchen eine ganze Umdrehung, um zur selben Anzeige zurückzukommen, dieser ist schon nach der Hälfte dort. Der Grund ist, dass ein Verhältnis nicht davon berührt wird, wenn die beiden Größen darin zugleich das Vorzeichen wechseln. Die Tabelle unten zeigt dasselbe Paar in acht Zeilen Abstand.

Drei Grenzen, die man klar aussprechen sollte. Die Anzeigen sind auf vier Nachkommastellen angegeben und die meisten davon sind irrational: Der Tangens von 30 Grad ist eins durch die Quadratwurzel aus drei, 0,5774 ist also ein Abschneiden und nicht die Antwort, und 45 Grad ist die einzige Zeile auf dieser Seite mit einem exakten, abbrechenden Wert. Zweitens hat der Tangens bei 90 Grad, bei 270 Grad und bei jedem Winkel keinen Wert, der auf einen dieser beiden reduziert werden kann — negative Winkel und Winkel jenseits einer vollen Umdrehung eingeschlossen, minus 90 und 450 werden also aus demselben Grund abgelehnt wie 90. Wo eine benachbarte Anzeige riesig wäre, gibt diese Seite eine Fehlermeldung statt einer sehr großen Zahl aus, weil die Folge gegen nichts konvergiert: Die Werte wachsen über alle Grenzen, wenn man sich dem Winkel von der einen Seite nähert, und kommen von der unteren Grenze des Wertebereichs herauf, wenn man sich ihm von der anderen nähert. Drittens kehrt die Seite nicht um. Bei einem Tangens von eins könnte der Winkel 45 Grad, 225 Grad oder jeder der unendlich vielen Winkel in einem halben Umdrehungsabstand sein, und die Wahl dazwischen braucht eine Entscheidung, die diese Seite nicht trifft.

Warum hat der Tangens bei 90 Grad keinen Wert?

Weil der Tangens die Gegenkathete durch die Ankathete ist und bei einem rechten Winkel die Ankathete auf nichts zusammengeschrumpft ist. Durch null zu teilen hat keine Antwort, es gibt also nichts zu drucken. Es ist nicht so, dass der Wert riesig wäre — die Anzeigen wachsen über alle Grenzen, wenn sich der Winkel der 90 nähert, aber bei 90 selbst gibt es keine Zahl, und die beiden Seiten der Annäherung steuern nicht einmal auf dasselbe Ziel zu. 270 Grad ist derselbe Ausfall eine halbe Umdrehung später, und jeder Winkel, der auf einen der beiden reduziert werden kann, wird ebenfalls abgelehnt.

Ist der Tangens einfach der Sinus durch den Kosinus?

Ja, und das ist die kürzeste Beschreibung. Er ist außerdem die Gegenkathete durch die Ankathete und die Steigung der Geraden, die der Winkel aufspannt, und alle drei sagen dasselbe. Am meisten erklärt die Division: Überall dort, wo der Kosinus null ist, hat der Bruch keine Antwort, und der Kosinus ist bei 90 und bei 270 Grad null — genau dort, wo die Tabelle unten ihre zwei Striche hat.

Warum ist der Tangens von 135 Grad negativ, wenn der Sinus positiv ist?

Weil der Tangens den Lauf ebenso ansieht wie die Steigung. Bei 135 Grad liegt der Punkt noch über der waagerechten Achse, der Sinus bleibt also mit 0,7071 positiv, aber er ist über die senkrechte Achse nach links gewandert, die Ankathete ist damit negativ geworden und die Division kippt mit ihr ins Negative. Das Vorzeichen des Tangens ist in Wahrheit eine Aussage darüber, ob die beiden Katheten in der Richtung übereinstimmen, und nicht darüber, wie hoch der Punkt liegt — deshalb kippt es eine Vierteldrehung früher ins Negative als der Sinus.

Was bedeutet ein sehr großer Tangens?

Dass die Gerade nahezu senkrecht ist. Die Anzeige ist eine Steigung, ein Tangens von zehn heißt also zehn Einheiten nach oben auf eine nach rechts, und er wächst ohne Grenze, wenn sich der Winkel von unten der 90 Grad nähert. Auf der anderen Seite der 90 erscheint dieselbe Gerade unten im Wertebereich wieder und klettert zurück auf null, die Werte auf den beiden Seiten der Definitionslücke liegen also überhaupt nicht nahe beieinander — sie sind so weit voneinander entfernt, wie zwei Zahlen nur sein können.

Wie oft wiederholt sich der Tangens?

Alle halbe Umdrehung, also doppelt so oft wie Sinus und Kosinus. 180 Grad zu einem Winkel zu addieren dreht das Vorzeichen sowohl der Gegenkathete als auch der Ankathete um, und ein Verhältnis zweier umgedrehter Größen bleibt unverändert, 30 Grad und 210 Grad teilen sich also einen Tangens von 0,5774. Sinus und Kosinus brauchen dagegen eine volle Umdrehung, um zum selben Wert zurückzukommen.

Kann der Winkel im Bogenmaß eingegeben werden?

Ja — neben dem Feld sitzt eine Auswahl für die Einheit, und der Winkel wird in jeder von ihnen gleich gelesen. 45 Grad und 0,7854 im Bogenmaß ergeben denselben Tangens, nämlich eins. Zu prüfen ist wie immer, welche Einheit eine Quelle annimmt, mit der Sie vergleichen, denn die meisten gedruckten Tabellen sind in Grad geschrieben.

• Tangent — the opposite-over-adjacent ratio, its period of half a turn, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions, ranges and domains of all six ratios, including the angles at which each of them is undefined — Wolfram MathWorld (United States)
• Cotangent — the reciprocal of this function, whose own poles sit at zero and one hundred and eighty degrees instead — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangens und Kotangens — der Tangens als Steigung am Einheitskreis, seine Definitionslücken bei 90° und 270° und der Übergang zum Kotangens — Mathepedia (Deutschland)