Arkuskosinus-Rechner
Ergebnis
Winkel
- Winkel im Bogenmaß
- 1,0472 rad
Ein Arkuskosinus-Rechner nimmt einen Kosinuswert und gibt den Winkel zurück, zu dem er gehört, in Grad und im Bogenmaß. Der Wert muss zwischen minus eins und eins liegen, weil der Kosinus eines Winkels dieses Band nie verlässt, und die Antwort liegt immer zwischen null und einer halben Umdrehung. Beides folgt aus derselben Tatsache wie auf der Arkussinus-Seite: Ein Kosinuswert gehört nicht zu einem einzigen Winkel. Ein Kosinus von 0,5 ist der Kosinus von 60 Grad, und auch von 300 Grad, und von jedem dieser Winkel plus oder minus einer vollen Umdrehung. Die Arkuskosinus-Funktion, geschrieben arccos und ebenso als cos mit einer kleinen minus eins darüber, gibt genau einen davon zurück — den in der oberen Hälfte des Kreises —, und der Rest sind Antworten auf dieselbe Gleichung, die die Funktion nicht geben darf. Drei Dinge trennen diese Seite von ihrer Nachbarin. Die Wertemenge ist die obere Hälfte des Kreises statt der rechten, die Antwort ist also nie negativ: Ein Wert, der zu einem stumpfen Winkel gehört, kommt als Winkel über 90 Grad zurück, wo der Arkussinus dieselbe Richtung als negativen Winkel unter null geliefert hätte. Die Wertemenge ist außerdem eine fallende, und die Tabelle unten ist die einzige auf dieser Seite, deren Antwortspalte rückwärts läuft — 180 oben, null unten. Und die zweite Lösung wird durch Abziehen von einer vollen Umdrehung gefunden statt von einer halben, weil ein Kosinus von Winkeln geteilt wird, die an der waagerechten Achse gespiegelt sind, und nicht an der senkrechten. Die beiden Seiten treffen sich in einer einzigen Identität: Arkuskosinus und Arkussinus desselben Werts addieren sich zu 90 Grad, und das ist die billigste Probe für beide.
Neun Kosinuswerte mit dem Hauptwert und der zweiten Lösung
| cos θ | θ (Grad) | zweiter Winkel θ (Grad) | θ (Bogenmaß) |
|---|---|---|---|
| -1 | 180 | 180 | 3.1416 |
| -0.866 | 150 | 210 | 2.6179 |
| -0.7071 | 135 | 225 | 2.3562 |
| -0.5 | 120 | 240 | 2.0944 |
| 0 | 90 | 270 | 1.5708 |
| 0.5 | 60 | 300 | 1.0472 |
| 0.7071 | 45 | 315 | 0.7854 |
| 0.866 | 30 | 330 | 0.5236 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
Lesen Sie die Eingabespalte nach unten und danach die Antwortspalte: Die Eingabe steigt von minus eins auf eins, während die Antwort von 180 auf null fällt. Das ist die einzige Tabelle auf dieser Seite, die so in entgegengesetzte Richtungen läuft, und es ist eine Eigenschaft der Kosinuskurve und nicht dieser Seite. Die beiden Winkelspalten addieren sich in jeder Zeile zu einer vollen Umdrehung, das ist die Arithmetik des Spiegelbilds an der waagerechten Achse. An den Enden fällt das Paar zusammen — 180 mit 180 oben, null mit null unten —, weil diese beiden Punkte die sind, an denen die Kosinuskurve wendet, und das Spiegelbild eines Wendepunkts ist es selbst. Die mittlere Zeile ist die, die man bemerken sollte: Ein Kosinus von null ergibt genau 90 Grad, das ist die Stelle, an der die beiden Lesarten die Plätze tauschen, und es ist zugleich der Wert, an dem die Identität mit dem Arkussinus am schlichtesten ist, 90 plus null. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (0.7071 statt 0,7071), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.
Formel
θ = arccos x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [0°, 180°] die andere Lösung in [0°, 360°) ist 360° − θ
- x
- Der Kosinuswert, mit dem Sie starten, zwischen minus eins und eins. Außerhalb dieses Bands hat ihn kein Winkel, und die Seite lehnt den Wert ab, statt zu nähern
- θ
- Der Winkel, den die Funktion zurückgibt. Anders als beim Arkussinus ist er nie negativ, weil die Wertemenge die obere Hälfte des Kreises abdeckt und nicht die rechte
- 360° − θ
- Der zweite Winkel im Kreis mit demselben Kosinus. Spiegelbilder an der waagerechten Achse teilen sich einen Kosinus, weshalb der Partner hier durch Abziehen von einer vollen Umdrehung gefunden wird und auf der Arkussinus-Seite von einer halben
Greifen Sie zu dieser Seite, wenn Sie das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse haben und den Winkel dazwischen berechnen wollen — der Winkel einer Leiter zur Wand, der Winkel zwischen zwei Vektoren aus ihrem Skalarprodukt, eine Richtung, die als Kosinus abgelegt wurde und in einen Winkel umrechnen werden soll. Es ist außerdem die Funktion, zu der man greift, wenn eine Dreiecksaufgabe drei Seiten liefert und nach einem Winkel fragt, denn der Kosinussatz erzeugt einen Kosinus und sonst nichts. Zwei Nachbarseiten sind wichtig. Wenn das Verhältnis, das Sie halten, die Gegenkathete durch die Hypotenuse ist, ist das der Arkussinus, dessen Wertemenge die rechte Hälfte des Kreises abdeckt statt der oberen und dessen Antwort vorzeichenbehaftet ist; die beiden stimmen im ersten Quadranten überein und trennen sich überall sonst. Und wenn Sie den Kosinus zu einem Winkel wollen statt den Winkel zu einem Kosinus, läuft die Kosinus-Seite in die andere Richtung.
Rechenbeispiele
Ein Kosinuswert von 0,5
- Der Wert liegt im Band, es gibt also einen Winkel zu finden
- 60 Grad ist der Winkel in der Wertemenge, dessen Kosinus 0,5 ist, die Seite gibt also 60 Grad aus
- Im Bogenmaß sind das 60 mal pi durch 180, also ein Drittel pi, das ist 1,0472
Der Wert, mit dem die Seite lädt, und der, welcher zeigt, wie die beiden Arkusseiten zusammenpassen. Der Arkussinus von 0,5 ist 30 Grad und der Arkuskosinus von 0,5 ist 60, und 30 plus 60 ist 90 — kein Zufall, sondern die Identität, die die beiden Seiten verbindet, und sie gilt für jeden Wert im Band. Derselbe Wert zeigt auch, woher die zweite Lösung kommt: Auch 300 Grad hat einen Kosinus von 0,5, und es ist das Spiegelbild von 60 an der waagerechten Achse, weshalb die dritte Spalte der Tabelle in dieser Zeile 300 liest.
Ein negativer Kosinuswert, minus 0,5
- Minus 0,5 liegt im Band, die Seite findet also einen Winkel
- Der Winkel in der Wertemenge, dessen Kosinus minus 0,5 ist, ist 120 Grad
- Im Bogenmaß sind das zwei Drittel pi, das ist 2,0944
Die Zeile, die erklärt, warum diese Seite nie eine negative Antwort zurückgibt. Ein negativer Kosinus gehört zu einem stumpfen Winkel, und die Wertemenge löst das, indem sie über 90 Grad hinausgeht statt unter null — 120 Grad, nicht minus 60. Die Arkussinus-Seite steht vor derselben Eingabe und antwortet mit derselben Richtung als vorzeichenbehafteter Winkel, minus 60 Grad bei minus 0,5. Beides ist richtig; die beiden Funktionen teilen den Kreis nur verschieden auf, und die Identität gilt weiterhin: Der Arkussinus von minus 0,5 ist minus 30, und minus 30 plus 120 ist 90.
Ein Kosinuswert von 0,25, kein besonderer Winkel
- Ein Viertel ist der Kosinus keines Winkels der üblichen Tafel, die Antwort wird also eine Dezimalzahl
- Der Winkel, dessen Kosinus 0,25 ist, beträgt 75,52 Grad
- Im Bogenmaß ist derselbe Winkel 1,3181
Die meisten Eingaben landen hier und nicht auf einem besonderen Winkel. Die Zeile ist zugleich die klarste Stelle, an der man das Fallen sieht: Ein Viertel ist ein kleiner Kosinus, und ein kleiner Kosinus gehört zu einem Winkel nahe dem oberen Ende der Wertemenge statt nahe dem unteren. Vergleichen Sie die Arkussinus-Seite, wo ein kleiner Wert einen kleinen Winkel ergibt. Diese Umkehr ist kein Zufall der beiden Definitionen, sie ist dieselbe Umkehr, die man in den Formen der beiden Kurven sieht, und die Tabellen machen sie sichtbar, wo die Formeln es nicht tun.
Ein Kosinuswert von minus 1, am Rand des Bands
- Minus eins ist der kleinste Kosinus, den irgendein Winkel hat, die Antwort ist also das obere Ende der Wertemenge
- 180 Grad hat einen Kosinus von minus eins, und kein Winkel hat einen kleineren
- Im Bogenmaß ist eine halbe Umdrehung pi, das ist 3,1416
Eine der beiden Zeilen, in denen die zweite Lösung kein zweiter Winkel ist. Ein Kosinus von minus eins gehört zu 180 Grad und zu nichts sonst im Kreis, weil die Kosinuskurve an ihrem tiefsten Punkt wendet und das Spiegelbild dieses Punktes an der waagerechten Achse der Punkt selbst ist. Die Tabelle zeigt es: Die zweite und die dritte Spalte der ersten Zeile lesen beide 180. Das andere Ende verhält sich genauso, wo ein Kosinus von eins allein zu null Grad gehört. Zwischen diesen beiden Zeilen hat jeder Wert im Band ein echtes Paar, und das Paar addiert sich zu einer vollen Umdrehung.
Einschränkungen
Drei Dinge tut diese Seite nicht. Erstens wird ein Wert außerhalb des Bands von minus eins bis eins abgelehnt, weil kein Winkel einen solchen Kosinus hat — dieselbe Grenze wie auf der Arkussinus-Seite und aus demselben Grund. Zweitens ist die Antwort nur der Hauptwert. Jeder Kosinus zwischen minus eins und eins gehört zu zwei Winkeln in einer vollen Umdrehung und zu unendlich vielen über die Umdrehungen hinweg, und die Seite gibt den in der oberen Hälfte des Kreises zurück; die dritte Spalte der Tabelle hat den anderen, und nichts hier berichtet, wie viele ganze Umdrehungen entfernt eine weitere Kopie sitzt. Drittens ist das Bogenmaß auf vier Nachkommastellen gedruckt und der Gradwert auf zwei, ein Wert, der auf einen besonderen Winkel rundet, wird also als dieser Winkel gedruckt — der Arkuskosinus von 0,866 erscheint als 30 Grad, obwohl der exakte Kosinus von 30 Grad etwas kleiner ist als 0,866.
Häufige Fragen
- Warum ergibt der Arkuskosinus nie einen negativen Winkel?
- Weil die Wertemenge auf die obere Hälfte des Kreises festgelegt ist, von null bis 180 Grad. Ein negativer Kosinus gehört zu einem stumpfen Winkel, und diese Wertemenge gibt ihn als Winkel über 90 Grad aus, statt ihn wie der Arkussinus unter null zu falten. Minus 0,5 hat einen Kosinus bei 120 Grad, nicht bei minus 60, obwohl diese beiden Winkel in dieselbe Richtung zeigen.
- Worin unterscheidet sich das vom Arkussinus?
- In der Wertemenge und damit darin, was außerhalb des ersten Quadranten geschieht. Der Arkussinus gibt einen Winkel zwischen minus 90 und 90 zurück, der Arkuskosinus einen zwischen null und 180. Für jeden Wert im Band addieren sich die beiden Antworten zu 90 Grad, und das ist die schnellste Probe für beide — der Arkuskosinus von 0,5 ist 60 und der Arkussinus 30. Auch die zweite Lösung wird anders gefunden, hier durch Abziehen von einer vollen Umdrehung und dort von einer halben.
- Was geschieht, wenn der Wert größer als 1 ist?
- Die Seite lehnt ihn ab. Der Kosinus eines Winkels bleibt zwischen minus eins und eins, was der Winkel auch tut; die Wertemenge der Umkehrfunktion ist also genau dieses Band, und ein Wert außerhalb entspricht überhaupt keinem Winkel. Das ist dieselbe Grenze wie beim Arkussinus, und sie kommt von derselben Stelle: Ein Verhältnis zweier Dreiecksseiten kann eins nicht überschreiten, wenn die Seite im Nenner die längste der drei ist.
- Wie finde ich einen Winkel aus einem Kosinuswert von Hand?
- Nehmen Sie die Werte, die man sich merkt — ein Kosinus von 0,5 ist 60 Grad, 0,7071 ist 45, und 0,866 ist 30 —, und lesen Sie den Rest aus einer Tafel oder von einem Rechner ab. Denken Sie dann an den zweiten Winkel, das Spiegelbild des ersten an der waagerechten Achse, gefunden durch Abziehen von 360. Diese Seite ist die richtige, wenn ein Dreieck Ihnen drei Seiten gibt: Der Kosinussatz liefert einen Kosinus und hört dort auf.
- Warum läuft die Tabelle rückwärts?
- Weil der Kosinus fällt, wenn der Winkel wächst. Über die Wertemenge, die diese Seite ausgibt, also von null bis 180 Grad, fällt der Kosinus von eins auf minus eins, eine größere Eingabe bedeutet also immer einen kleineren Winkel. Lesen Sie die Tabelle von oben nach unten, geht die Antwortspalte von 180 auf null herunter. Die Arkussinus-Seite verhält sich andersherum, und dieser Unterschied ist derselbe, den man an den Formen der beiden Kurven sieht.
- Ist der Arkuskosinus dasselbe wie eins durch den Kosinus?
- Nein. Der Arkuskosinus macht den Kosinus rückgängig: Geben Sie ihm 0,5, gibt er 60 Grad zurück. Eins durch den Kosinus gibt 0,5 die Antwort 2, und das ist der Sekans von 60 Grad — ein Verhältnis statt eines Winkels. Die Schreibweise macht die Verwechslung leicht, denn die Umkehrfunktion wird oft mit einer hochgestellten minus eins geschrieben, die wie ein Exponent aussieht und keiner ist.
Quellen
- Inverse Cosine — the function this page computes, with its range and the sense in which it decreases — Wolfram MathWorld (United States)
- Inverse Trigonometric Functions — all three inverse functions together, with the ranges that separate them — Wolfram MathWorld (United States)
- Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and the identity that ties the first two together — Wolfram MathWorld (United States)
- Arkussinus und Arkuskosinus — Definitions- und Wertebereiche beider Umkehrfunktionen nebeneinander, und die Identität arcsin x + arccos x = 90° — Mathepedia (Deutschland)