Sinussatz-Rechner

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C sin B = b · sin A ÷ a C = 180° − A − B c = a · sin C ÷ sin A

a und A

Die Seite, die Sie kennen, zusammen mit dem Winkel gegenüber. Diese beiden sind das Paar, das das Verhältnis für das ganze Dreieck festlegt, und eines von beiden muss vorhanden sein, damit dieser Satz überhaupt anwendbar ist

b

Die zweite Seite, die Sie kennen. Sie ist die, welche entscheidet, wie viele Dreiecke die Stücke zulassen, und der ganze mehrdeutige Fall hängt daran, wie ihre Länge sich zu Seite a verhält

B

Der Winkel gegenüber der Seite b. Der Arkussinus des Verhältnisses gibt immer den spitzen Winkel zwischen null und 90 Grad zurück, und wenn der stumpfe Partner ebenfalls noch in einen gestreckten Winkel passt, gibt es ein zweites Dreieck, das ihn verwendet

C und c

Der dritte Winkel und die dritte Seite, beide erst erhalten, nachdem B festliegt: den Winkel, indem man die beiden anderen von einem gestreckten Winkel abzieht, die Seite aus demselben geteilten Verhältnis

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie zwei Seiten und einen Winkel kennen, der nicht zwischen ihnen liegt — zwei Peilungen und eine Strecke über eine Bucht, zwei Schenkel eines Polygonzugs, bei dem der Winkel am fernen Ende sitzt —, und den Rest des Dreiecks haben wollen. Es ist die einzige Winkel-Seiten-Form, die der Kosinussatz nicht bequem annehmen kann, und zugleich die einzige, bei der die Antwort eine Wahl statt einer Messung sein kann, weshalb diese Seite mit der Anzahl der Lösungen beginnt. Wer den Sinussatz nur umstellen will, um eine andere Seite zu bekommen, findet in der Formelzeile darunter die bereits aufgelöste Fassung. Lassen die Stücke zwei Dreiecke zu, sehen Sie sich neben den Seiten auch die Winkel an, bevor Sie entscheiden, in welchem Sie stehen: Wer zwei Landmarken anpeilt, weiß gewöhnlich, ob die Ecke vor ihm spitz oder stumpf ist, und diese eine Tatsache wählt das Dreieck aus. Haben Sie alle drei Seiten oder zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen, ist die Kosinussatz-Seite das richtige Werkzeug, und sie ist überhaupt nicht mehrdeutig. Und wenn Sie nur eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks wollen, ist die Seite zum rechtwinkligen Dreieck kürzer als beide.

1. Zwei Seiten und ein weit offener Winkel, 6, 30 Grad und 8

   1. Das geteilte Verhältnis ist Seite a durch den Sinus von Winkel A, also 6 geteilt durch 0,5, das ist 12
   2. Der Sinus von Winkel B ist Seite b durch dieses Verhältnis, also 8 geteilt durch 12, das ist 0,6667
   3. Der Winkel, dessen Sinus 0,6667 ist, beträgt 41,81 Grad — und sein Supplement von 138,19 Grad hat denselben Sinus, beide sind also Kandidaten
   4. Der Winkel C ist das, was von einem gestreckten Winkel übrig bleibt: 180 minus 30 minus 41,81 ist 108,19
   5. Seite c kommt aus demselben Verhältnis, 12 mal der Sinus von 108,19 Grad, das ist 11,4

   Die Startwerte der Seite und das Lehrbuchbild des mehrdeutigen Falls: Die zweite Seite ist länger als die erste, sie kann also auf beide Seiten des Lots ausschwingen und die Figur trotzdem schließen. Die vier Anzeigen beschreiben das Dreieck, das auf dem spitzen Winkel B aufgebaut ist — das, in dem die zweite Seite sich zur Grundseite hin zurücklehnt. Das andere Dreieck verwendet den stumpfen Partner von 41,81 Grad, also 138,19, und er steht in der letzten Spalte der Tabelle unten; sein dritter Winkel ist ein schmaler 11,81 Grad statt der hier gedruckten 108,19. Beide sind richtige Antworten auf dieselben drei Angaben.

2. Derselbe Winkel mit kürzerer zweiter Seite, 8, 30 Grad und 6

   1. Das geteilte Verhältnis ist 8 geteilt durch den Sinus von 30 Grad, also 16
   2. Der Sinus von Winkel B ist 6 geteilt durch 16, also 0,375
   3. Der Winkel, dessen Sinus 0,375 ist, beträgt 22,02 Grad; sein Supplement von 157,98 lässt für Winkel A keinen Platz, denn 30 plus 157,98 geht bereits über einen gestreckten Winkel hinaus, es überlebt also nur die spitze Möglichkeit
   4. Winkel C ist 180 minus 30 minus 22,02, das ist 127,98
   5. Seite c ist 16 mal der Sinus von 127,98 Grad, das ist 12,61

   Tauschen Sie die beiden Seiten, und die Mehrdeutigkeit verschwindet: 6 ist kürzer als 8, die zweite Stellung kann die Figur also nicht mehr schließen, und es bleibt nur ein Dreieck übrig. Die Anzahl fällt von zwei auf eins, ohne dass eine der anderen Zahlen ihre Art ändert, und genau darum steht die Anzahl vorn — dieselben drei Arten von Eingabe erzeugen je nach Verhältnis der beiden Längen eine andere Antwort. Beachten Sie, dass das übrig gebliebene Dreieck das stumpfe bei C ist, bei 127,98 Grad, weil die Figur bei kürzerer zweiter Seite durch weiteres Hinausreichen vollendet werden muss.

3. Der Grenzfall, 5, 30 Grad und 10

   1. Das geteilte Verhältnis ist 5 geteilt durch den Sinus von 30 Grad, also 10
   2. Der Sinus von Winkel B ist 10 geteilt durch 10, das ist genau 1
   3. Ein Sinus von 1 legt den Winkel ohne zweite Möglichkeit auf 90 Grad fest, weil es zwischen null und 180 keinen anderen Winkel mit demselben Sinus gibt
   4. Winkel C ist 180 minus 30 minus 90, das ist 60, und Seite c ist 10 mal der Sinus von 60 Grad, das ist 8,66

   Die zweite Seite ist genau lang genug, um einmal anzukommen: Sie fällt im rechten Winkel auf die dritte Seite, und das Dreieck ist ein rechtwinkliges mit B bei genau 90 Grad. Das ist die Trennlinie zwischen keinem Dreieck und zweien, und es lohnt sich anzusehen, was beim Überschreiten von unten geschieht — die beiden Lösungen erscheinen gemeinsam in dem Moment, in dem die Seite ein Haar länger ist als hier, die eine knapp über 90 Grad und die andere knapp darunter, und trennen sich dann, während die Seite wächst. Beim genauen Wert gibt es eines, und sein Sinus kommt mit genau 1 heraus, ohne dass etwas gerundet wurde.

4. Ein Winkel von 90 Grad, vorgegeben statt gefunden

   1. Das geteilte Verhältnis ist 10 geteilt durch den Sinus von 90 Grad, das ist 10 selbst
   2. Der Sinus von Winkel B ist 6 geteilt durch 10, also 0,6, das ergibt 36,87 Grad
   3. Winkel C ist 180 minus 90 minus 36,87, das ist 53,13
   4. Seite c ist 10 mal der Sinus von 53,13 Grad, das ist 8

   Hier ist der rechte Winkel eines der Stücke, die Sie geliefert haben, statt etwas, das die Rechnung entdeckt, und das geteilte Verhältnis wird die Hypotenuse durch eins — also die Hypotenuse selbst. Von dort gibt der Sinussatz die beiden spitzen Winkel direkt, und die dritte Seite kommt mit genau 8 heraus, eine saubere Zahl, weil das nichts anderes ist als das Dreieck mit den Seiten drei, vier und fünf, verdoppelt. Es ist eine nützliche Probe für die ganze Seite: Wann immer die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite die längste der drei ist, sollte alles mit dem Satz des Pythagoras übereinstimmen, und hier tut es das.

Drei Grenzen, die man klar aussprechen sollte. Das Panel druckt ein Dreieck, nicht zwei. Ist die Anzahl 2, gehören die vier Anzeigen darunter dem Dreieck, das auf dem spitzen Winkel B aufgebaut ist, und der stumpfe Partner steht in der letzten Spalte der Referenztabelle statt im Panel — das Panel hat einen Platz für eine Antwort und keine Möglichkeit, zwei nebeneinander zu stellen; die Wahl war also, den kleineren Winkel zu drucken und auf den anderen zu zeigen. Zweitens müssen die Stücke Sinn ergeben, bevor irgendetwas gelöst werden kann: Der gegebene Winkel muss echt zwischen null und 180 Grad liegen, und ist die zweite Seite zu kurz, um die dritte zu erreichen, gibt es kein Dreieck, und diese Seite meldet das, statt eines zu erfinden. Winkel von genau null oder genau einem gestreckten Winkel werden abgelehnt statt genähert, weil ein Dreieck mit einem Nullwinkel keine Gestalt hat, die man lösen könnte. Drittens sind die Anzeigen auf zwei Nachkommastellen angegeben, was bei einem sehr großen Dreieck nicht mehr viel bedeutet: Eine Seite von mehreren hundert Millionen Zentimetern kann Hundertstel in einem double nicht mehr tragen, die Nachkommastellen der gedruckten Seitenlänge sind also als Richtwert zu behandeln, sobald die Figur so groß ist. Die Winkel bleiben genau, weil ein Hundertstel Grad ein Hundertstel Grad bleibt, wie groß das Dreieck auch ist.

Was ist der mehrdeutige Fall beim Sinussatz?

Es ist die Lage, in der zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel zwei verschiedene Dreiecke zulassen statt eines. Der gegebene Winkel legt die Richtung der einen Seite fest, aber nicht, in welche Richtung die andere ausschwingt, die zweite Seite kann sich also zurücklehnen und die Figur früh schließen oder vorlehnen und sie spät schließen — das eine Dreieck ist klein mit einem stumpfen Winkel, wo das andere groß und spitz ist. Beide verwenden dieselben drei Angaben. Diese Seite zählt zuerst die Möglichkeiten und rechnet dann die spitze aus, weil es davon abhängt, wie die beiden Längen sich verhalten, ob die zweite Stellung überhaupt existiert.

Woran erkenne ich, ob es ein Dreieck gibt oder zwei?

Vergleichen Sie die zweite Seite mit der ersten. Rechnen Sie die zweite Seite mal den Sinus des gegebenen Winkels, geteilt durch die erste Seite: Liegt diese Zahl über eins, ergeben die Stücke überhaupt kein Dreieck, weil kein Winkel einen Sinus größer als eins hat. Liegt sie unter eins, haben Sie den spitzen Winkel, und ein zweites Dreieck gibt es immer dann, wenn sein stumpfer Partner noch Platz für den gegebenen Winkel lässt — also wenn die beiden Winkel zusammen unter 180 Grad bleiben. Diese Seite nimmt Ihnen den Vergleich ab und druckt die Anzahl als ihre Titelantwort.

Welches der beiden Dreiecke zeigt mir der Rechner?

Das auf dem kleineren Winkel B aufgebaute, also das, dessen dritter Winkel größer ist. Das Panel druckt die Anzahl und dann die vier Anzeigen für dieses Dreieck, und der stumpfe Partner von B erscheint daneben in der letzten Spalte der Referenztabelle, beide stehen also auf der Seite. Der Grund, eines statt beider zu zeigen, ist, dass ein Ergebnispanel einen Platz für eine Antwort hat; zwei Sätze von vier Zahlen zu drucken, ohne sie beschriften zu können, wäre schlechter, als einen zu drucken und den anderen zu benennen.

Warum lehnt die Seite einen Winkel von 0 oder 180 Grad ab?

Weil ein Dreieck mit einem Nullwinkel kein Dreieck ist — es ist eine Strecke mit einem Punkt darauf, und die dem Nullwinkel gegenüberliegende Seite müsste ebenfalls null sein. Diese beiden Werte sitzen an der Grenze, an der die Gestalt aufhört zu existieren, statt am Rand der Rechnung, und die ehrliche Antwort ist, das zu sagen, statt einen Winkel von null und eine Seite von null zurückzugeben, die wie eine Lösung aussehen. Winkel dazwischen sind in Ordnung, auch Winkel sehr nah an einem der beiden Enden, wo das Dreieck sehr lang und sehr dünn wird, aber ein wirkliches Dreieck bleibt.

Nehme ich den Sinussatz oder den Kosinussatz?

Nehmen Sie den Sinussatz, wenn Sie eine Seite zusammen mit dem Winkel gegenüber haben und ein weiteres Stück, und den Kosinussatz, wenn Sie alle drei Seiten haben oder zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen. Der Fall, der das entscheidet, sind zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt: Das ist die Form dieser Seite, und es ist die, die der Kosinussatz umständlich annimmt, weil er eine quadratische Gleichung lösen muss. Es ist zugleich die Form, welche die Mehrdeutigkeit trägt, weshalb diese Seite ihre Titelzeile für die Anzahl ausgibt.

Warum ist die gedruckte Seitenlänge nur auf etwa zwei Nachkommastellen genau?

Zwei Nachkommastellen sind das, worauf die Seite rundet, und bei einem gewöhnlichen Dreieck liegt das weit innerhalb dessen, was ein double darstellen kann. Bei einem sehr großen Dreieck ist das nicht mehr so: Eine Seite von mehreren hundert Millionen hat die Genauigkeit der Zahl erschöpft, bevor die Nachkommastellen irgendwohin kommen, die letzten Ziffern einer solchen Anzeige fahren also mit, statt gemessen zu sein. Die Winkel haben dieses Problem nicht, weil ein Hundertstel Grad ein Hundertstel Grad bleibt, wie groß das Dreieck auch ist.

• Law of Sines — the shared ratio of a side to the sine of the opposite angle, and the conditions under which the relation admits two triangles — Wolfram MathWorld (United States)
• Law of Cosines — the companion relation for three sides, and the shape of triangle this page cannot take — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the cases in which a triangle is not determined by its parts — Wolfram MathWorld (United States)
• Sinussatz — das geteilte Verhältnis von Seite zu gegenüberliegendem Winkel, und die Bedingungen, unter denen es zwei Dreiecke gibt — Mathepedia (Deutschland)