Kosinussatz-Rechner

a² = b² + c² − 2bc·cos A cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)

a, b, c

Die drei Seiten des Dreiecks, in einer beliebigen Einheit, solange alle drei dieselbe verwenden. Seite a ist die, welche dem Winkel A gegenüberliegt, und die beiden anderen folgen demselben Muster

A

Der Winkel gegenüber der Seite a — der, den diese Form des Satzes zurückgewinnt. Die beiden anderen Winkel kommen aus derselben Formel mit vertauschten Buchstaben

cos A

Der Kosinus dieses Winkels, und das ist es, was die drei Seiten Ihnen unmittelbar liefern. Den Winkel daraus zurückzugewinnen ist ein eigener Schritt, und er ist der Schritt, der die Anzeige zwischen null und 180 Grad legt

2bc

Das doppelte Produkt der beiden Seiten, die sich in diesem Winkel treffen. Das ist der Korrekturterm, den der Satz des Pythagoras nicht hat, und er ist es, der den Satz auch dann arbeiten lässt, wenn kein Winkel ein rechter ist

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie alle drei Seiten eines Dreiecks haben und seine Winkel wollen — ein Grundstück, längs seiner Grenze vermessen, ein Winkelblech, auf drei Längen zugeschnitten, ein Dreieck auf einer Karte, dessen Seiten Sie abschreiten, dessen Ecken Sie aber nicht anpeilen können. Sie ist die einzige der beiden Dreiecksseiten, die ohne Winkel auskommt, und genau dann hilft der Sinussatz überhaupt nicht. Sie ist zugleich der schnellste Weg herauszufinden, ob drei Längen ein Dreieck bilden können, bevor Sie irgendetwas bauen: Tippen Sie sie ein, und es kommen entweder drei Winkel zurück oder eine Meldung, welche Seite zu lang ist. Haben Sie zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen, ist das die Form Seite-Winkel-Seite, die zur Seite zum rechtwinkligen Dreieck gehört und denselben Satz von der anderen Seite anpackt. Wollen Sie lieber die Seitenlängen des Dreiecks als seine Winkel, braucht auch die Fläche nichts weiter als dieselben drei Zahlen. Und haben Sie eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und einen Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt, ist die Sinussatz-Seite die richtige.

1. Das Dreieck mit den Seiten drei, vier und fünf, wo ein Winkel genau ein rechter ist

   1. Nehmen Sie den Winkel gegenüber der Seite der Länge 5
   2. Die Quadrate der beiden anderen Seiten addieren sich zu 9 plus 16, das ist 25
   3. Der Korrekturterm ist zweimal 3 mal 4 mal der Kosinus dieses Winkels; setzt man den ganzen Ausdruck gleich 25, bleibt der Kosinus bei null, der Winkel ist also 90 Grad
   4. Die beiden anderen Winkel folgen aus derselben Formel mit vertauschten Buchstaben und kommen als 36,87 und 53,13 heraus

   Die Startwerte der Seite und das Dreieck, das jeder Leser schon getroffen hat. Es ist der Fall, in dem der Kosinussatz und der Satz des Pythagoras übereinstimmen: Der Korrekturterm verschwindet, weil der Kosinus eines rechten Winkels null ist, und die Formel fällt auf den Satz zurück. Die beiden spitzen Winkel sind das Paar, das zeigt, warum man dieser Seite trauen kann — sie addieren sich zu genau 90, und der dritte Winkel ist eine saubere 90, an der nichts gerundet wurde.

2. Ein gleichseitiges Dreieck, wo nichts weggerundet wird

   1. Alle drei Seiten sind gleich, also sind auch alle drei Winkel gleich
   2. Die drei Winkel addieren sich zu 180 Grad
   3. 180 geteilt durch 3 ist genau 60, jede Anzeige ist also 60, ohne dass Nachkommastellen verloren gehen

   Drei gleiche Seiten ergeben drei gleiche Winkel, und da sie sich zu einem gestreckten Winkel addieren müssen, ist jeder genau 60 Grad — die einzige Zeile in der Tabelle unten, in der alle drei Anzeigen exakt sind und keine von ihnen null ist. Es ist zugleich eine nützliche Probe für die Formel: Der Korrekturterm ist hier zweimal 5 mal 5 mal der Kosinus von 60, das ist 25, und 25 plus 25 minus 25 ist 25, das Quadrat der dritten Seite. Die Formel stimmt mit sich selbst überein.

3. Ein stumpfes Dreieck, Seiten 2, 3 und 4

   1. Nehmen Sie den Winkel gegenüber der längsten Seite, das ist der, welcher stumpf sein kann
   2. Die Quadrate der beiden anderen Seiten addieren sich zu 4 plus 9, das ist 13
   3. Ziehen Sie das Quadrat der längsten Seite ab, 16, es bleibt minus 3
   4. Teilen Sie durch das doppelte Produkt der beiden anderen Seiten, das ist 12, das ergibt einen Kosinus von minus 0,25
   5. Der Winkel, dessen Kosinus minus 0,25 ist, beträgt 104,48 Grad, und die beiden anderen folgen mit 28,96 und 46,57

   Der Winkel gegenüber der längsten Seite ist der stumpfe, und das ist eine Regel und kein Zufall: Die größte Seite liegt dem größten Winkel gegenüber, und sobald eine Seite länger ist als die Wurzel aus der Summe der Quadrate der beiden anderen, geht der ihr gegenüberliegende Winkel über einen rechten hinaus. Hier ist 4 länger als die Wurzel aus dreizehn, der Winkel gegenüber ist also 104,48 Grad. Beachten Sie, was die drei Anzeigen zusammen ergeben: 180,01, ein Hundertstel über einem gestreckten Winkel, weil jede für sich gerundet wurde. Genau darum geht es im Abschnitt zu den Grenzen unten.

4. Drei Seiten, die gerade noch passen, 3, 4 und 7

   1. Drei plus vier ist sieben, genau die Länge der längsten Seite
   2. Der Korrekturterm erreicht seinen Extremwert, und der Kosinus des Winkels gegenüber der längsten Seite kommt bei minus eins heraus
   3. Der Winkel, dessen Kosinus minus eins ist, beträgt 180 Grad, und die beiden anderen fallen auf null zusammen

   Sieben ist genau drei plus vier, das Dreieck hat also keinen Platz mehr: Die beiden kürzeren Seiten liegen flach entlang der längsten, und die Figur ist eine Gerade, auf die die Ecken zusammengefallen sind. Das ist die Grenze, die die Dreiecksungleichung zulässt, und sie wird gedruckt statt abgelehnt, weil sie eine echte Grenze ist — die Winkel gehen wirklich gegen 0, 0 und 180. Schieben Sie eine der kurzen Seiten um irgendeinen Betrag hinauf, erscheint ein wirkliches Dreieck mit positiven Winkeln, die wachsen, während die Seiten sich trennen; schieben Sie sie hinunter, meldet die Seite, dass kein Dreieck diese Seiten hat.

Drei Grenzen, die man klar aussprechen sollte. Die drei Winkel werden unabhängig voneinander aus den drei Seiten gerechnet und jeder auf zwei Nachkommastellen gerundet, sie addieren sich also oft zu 180,01 oder 179,99 statt genau zu einem gestreckten Winkel — ein Dreieck mit den Seiten zwei, drei und vier liegt um ein Hundertstel daneben, wie das dritte Beispiel oben zeigt. Die Alternative wäre, zwei Winkel zu rechnen und den dritten durch Subtraktion zu gewinnen, was immer genau 180 ergibt — aber sie bricht die Symmetrie von der anderen Seite her auf: Ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Seiten von 3 und einer Grundseite von 3,3 hat zwei Basiswinkel von 56,63 Grad, und jenes Verfahren druckt sie als 56,63 und 56,64, weil der dritte Winkel von zwei Werten abgezogen wird, die bereits gerundet waren. Ein Hundertstel Grad Abweichung wurde für die kleinere Lüge gehalten. Zweitens müssen die Seiten die Dreiecksungleichung erfüllen: jede von ihnen kürzer als die Summe der beiden anderen. Diese Seite lehnt alles ab, was daran scheitert, und nimmt den Grenzfall an, in dem eine Seite genau die Summe der beiden anderen ist, was ein flaches Dreieck mit Winkeln von 0, 0 und 180 Grad ergibt. Drittens druckt die Seite keine Seitenlängen und keine Fläche. Die Seiten fehlen nicht — sie sind die drei Zahlen, die Sie eingetippt haben, und das Dreieck ist durch sie vollständig festgelegt, es gibt also nichts weiter zu berichten. Wollen Sie die Fläche, ist das eine andere Ausgabe derselben drei Zahlen.

Wofür verwendet man den Kosinussatz?

Für die beiden Arbeiten, die der Satz des Pythagoras nicht erledigen kann. Erstens, wenn Sie alle drei Seiten eines Dreiecks haben und seine Winkel wollen, und genau das tut diese Seite: Der Satz liefert nur dann einen Winkel, wenn einer von ihnen bereits ein rechter ist, und der zusätzliche Korrekturterm ist es, der ihn in jedem anderen Dreieck arbeiten lässt. Zweitens, wenn Sie zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen haben und die dritte Seite wollen — die Seite zum rechtwinkligen Dreieck nebenan verwendet ihn so. Die beiden Richtungen sind dieselbe Gleichung, von beiden Enden gelesen.

Warum addieren sich meine drei Winkel zu 180,01 statt zu 180?

Weil jeder Winkel für sich aus den drei Seiten gerechnet und dann auf zwei Nachkommastellen gerundet wird, und drei getrennte Rundungen müssen sich nicht aufheben. Das ist kein Fehler und heißt nicht, dass das Dreieck unmöglich ist; es heißt, dass jede der gedruckten Anzeigen um höchstens ein Hundertstel Grad vom wahren Winkel entfernt liegt. Die Alternative — zwei Winkel rechnen und den dritten von 180 abziehen — summiert sich immer exakt, rundet aber zwei Winkel und zieht sie dann voneinander ab, ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Basiswinkeln von 56,63 Grad kommt damit als 56,63 und 56,64 heraus, was in einer anderen Richtung die schlechtere Lüge ist.

Bilden drei beliebige Seitenlängen ein Dreieck?

Nein. Jede Seite muss kürzer sein als die beiden anderen zusammen, das ist die Dreiecksungleichung: Der kürzeste Weg zwischen zwei Ecken ist die Seite, die sie direkt verbindet, der Umweg über die dritte Ecke kann also nicht kürzer sein. Ist eine Seite länger als die Summe der beiden anderen, lehnt diese Seite die Eingabe ab, statt einen unmöglichen Winkel zurückzugeben. Ist sie genau so lang, ist das Dreieck flach und die Winkel kommen als 0, 0 und 180 heraus, was die Seite annimmt, weil das eine echte Grenze ist und kein Fehler.

Warum gibt diese Seite drei Winkel und keine Seitenlängen?

Weil die drei Seiten die Eingabe sind. Ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten ist vollständig festgelegt — es gibt genau eine Gestalt, die es haben kann, abgesehen vom Verschieben und Drehen —, die Seiten zurückzudrucken wäre also eine Wiederholung dessen, was Sie gerade eingetippt haben. Was die Seite hinzufügt, ist der Teil, den Sie nicht sehen konnten: wo die Ecken liegen, und das sind die drei Winkel. Dieselben drei Zahlen ergeben auch die Fläche, und das ist ein eigenes Werkzeug.

Woran erkenne ich, ob das Dreieck einen stumpfen Winkel hat?

Sehen Sie sich die längste Seite an. Ist ihr Quadrat größer als die Summe der Quadrate der beiden anderen, ist der ihr gegenüberliegende Winkel stumpf; sind die beiden gleich, ist dieser Winkel genau ein rechter; ist es kleiner, sind alle drei Winkel spitz. Das Dreieck mit den Seiten 2, 3 und 4 aus den Beispielen oben ist der stumpfe Fall — sechzehn gegen dreizehn —, und es ist immer der größte Winkel, der stumpf wird, weil die größte Seite dem größten Winkel gegenüberliegt.

Wann nehme ich diese Seite statt des Sinussatzes?

Nehmen Sie diese, wenn Sie alle drei Seiten kennen oder zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen. Nehmen Sie den Sinussatz, wenn Sie eine Seite und den ihr gegenüberliegenden Winkel kennen, zusammen mit einem weiteren Stück, denn das sind die Angaben, die das Verhältnis von Seite zu Sinus braucht. Der Fall, in dem sich die beiden Seiten überschneiden, sind zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt, und dort ist der Sinussatz das bessere Werkzeug — es ist zugleich der Fall, in dem ein Dreieck zwei verschiedene Gestalten haben kann, worüber sich diese Seite nie Gedanken machen muss.

• Law of Cosines — the relation between the three sides of a triangle and the cosine of one of its angles, and its reduction to the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the sine, cosine and tangent of an angle, their ranges, and why recovering an angle from a cosine gives a value between zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Kosinussatz — der Zusammenhang zwischen den drei Seiten und dem Kosinus eines Winkels, mit der Herleitung aus dem Satz des Pythagoras — Mathepedia (Deutschland)