斜率计算器
结果
斜率
- y 轴截距
- 0.000000
- 坡角
- 63.4349
斜率计算器由直线的两种常见给法之一求斜率：线上两点（两点式），或者它的直线方程一般式 ax ＋ by ＝ c。它同时给出 y 轴截距，以及这条直线与水平方向的夹角。面板顶部的模式选择器决定读哪一组框——两点那一组算的是 y 的增量除以 x 的增量，方程那一组算的是负 a 除以 b、截距是 c 除以 b。两组框始终都在屏幕上，没被读到的那一组不会灰显，所以填错组里的数字既不影响结果也不会有任何提示；把选择器切过去，那几格才开始算数。竖直的直线会被拒收，而不是报一个无穷大的斜率：无穷大不是能拿去做下一步的数，而且竖直直线的斜率是真的不存在。坡角取的是斜率的反正切，范围从 −90 度到 90 度，向右下方倾斜的直线回来是一个负角；几何课本里的倾斜角会把同一条线叫成 135 度。三个输出都不带单位，因为斜率是一个纯数——只有两个坐标轴用同一种单位度量时，它才是一段「每单位多少」。
常见斜率与它们对应的坡角
| 斜率 | 坡角（度） |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 45 |
| -1 | -45 |
| 0.5 | 26.5651 |
| 2 | 63.4349 |
| 3 | 71.5651 |
| -3 | -71.5651 |
| 0.25 | 14.0362 |
八行常见的斜率，配上各自与水平方向的夹角。第一列是这一页给出的答案，第二列是那个答案过一遍反正切的结果，所以这张表是一组算好的结果而不是一组输入——里面没有一格是坐标。有两行值得记下来，因为它们的角是精确值：斜率 1 是 45 度，斜率 −1 是 −45 度。数值限定在四位小数、并且只挑小数位短的那几个，是有意的：表格里的数字单元格不做本地化，而那几种把 1.414214 写成 1,414214 的语言的读者，看到一个带两个分隔符的数会需要额外判断。每一格都由它所在的那一行在构建时重新算出来。
公式
m ＝ (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b ＝ y₁ − m·x₁ ax ＋ by ＝ c ⇒ m ＝ −a ÷ b，b ＝ c ÷ b
- x₁、y₁、x₂、y₂
- 两个点的坐标，选择器停在「两点」时读的就是这四格。第一个点与第二个点互换不影响结果——互换会让分子分母同时变号，斜率照旧。不能互换的是把 x 填进 y 的框里：没有任何东西会检查这件事，而结果会是一个看起来完全正常的数
- a、b、c
- 直线方程 ax ＋ by ＝ c 的三个系数，只有选择器停在「方程」时才被读。另一模式下它们被完全忽略，而且屏幕上没有任何提示。注意这里的 b 是 y 的系数、不是 y 轴截距——截距是另一个输出格，把这两个搞混是这种形式最常见的错
- m ＝ (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- 两点式的斜率：纵向升高除以横向前进。两个点离得远还是近，这个数都一样，而「直线是直的」这件事说的就是它——取相隔一公里的两点与相隔一毫米的两点，比值不变。唯一破坏它的是 x₁ 等于 x₂，那时分母为零、直线竖直
- m ＝ −a ÷ b
- 由直线方程得到的斜率，来源是把 ax ＋ by ＝ c 整理成 y ＝ (−a ÷ b)x ＋ (c ÷ b)。那个负号很容易掉，而掉了之后得到的是大小正确、符号相反的一个数——正是那种让一条下降的线看起来在上升的错误。b 为零时整理过程中要除以零，直线竖直，所以那一种被拒收而不是给一个近似值
- b ＝ y₁ − m·x₁
- y 轴截距，直线与纵轴相交的那个位置。它是从斜率与其中一个点算出来的，不是从图上读的；每一组输入都会印出来，包括截距正好为零的那些。过原点的直线截距精确地等于 0，这一点值得明说：那正是方程里根本没有常数项的那种情形
- 坡角 ＝ arctan(m)
- 坡角，斜率的反正切，单位是度，取值在 −90 到 90 之间。斜率为 1 得 45 度，斜率为 −1 得 −45 度，水平线得 0 度。它不是解析几何里那个从 0 到 180 的倾斜角——同一条斜率 −1 的直线，倾斜角报的是 135 度；这里取反正切，是因为它是由斜率直接得到、一对一、可逆的那个角
给你一条以两种标准形式之一的直线、要把它的斜率读出来时用这一页，也是方程不必自己整理成 y ＝ kx ＋ b 就能读出斜率与截距的地方——2x ＋ 3y ＝ 6 一步就是斜率 −2/3、截距 2。它也是核对已经画出来的直线的地方：回来的斜率符号不对、或者截距与图上穿过纵轴的位置对不上，说明方程在某处被读错了。要把斜率跟一个实际的斜坡比较时那一列角有用，不过要记住它是反正切而不是倾斜角。问的是坡度而不是解析几何里的直线时改用坡度计算器——算术是同一个，词汇是另一套，那一页讲的是百分比坡度与无障碍坡道。方程里带 x² 项时改用一元二次方程求根计算器，曲线没有单一斜率，那一页找的是它在哪里过零。斜率已知、想要的是直线方程时改用点斜式计算器，那是这一页的问题倒过来问。
算例
过 (1, 2) 与 (4, 8) 的直线
- y 的增量：8 − 2 ＝ 6
- x 的增量：4 − 1 ＝ 3
- 斜率：6 ÷ 3 ＝ 2
- 截距：2 − 2 × 1 ＝ 0，所以这条线过原点
- 坡角：arctan(2) ＝ 63.4349 度
两点式的标准一格，除了角以外每个答案都是整数——这才是常态，因为有理斜率的反正切几乎不会是整度数。截距精确等于 0 这一点值得停一下：它说的是这条直线的方程就是 y ＝ 2x，后面什么都不加；以为截距总该是纵轴上某段可见距离的人，面对的正是一条正好在原点穿过的直线。
过 (0, 3) 与 (4, 0) 的直线
- y 的增量：0 − 3 ＝ −3
- x 的增量：4 − 0 ＝ 4
- 斜率：−3 ÷ 4 ＝ −0.75，为负是因为这条线向右下降
- 截距：3 − (−0.75 × 0) ＝ 3，图上就是 (0, 3) 那一点
- 坡角：arctan(−0.75) ＝ −36.8699 度
负斜率那一格，也是角的约定开始起作用的地方。这条线向右下降，所以角是负的——几何课本会把同一条线的倾斜角叫成 143.13 度，而两个数描述的是同一条直线。这里的截距是最好核对的一种：第一个点的横坐标就是 0，它正好落在纵轴上。
直线 2x ＋ 3y ＝ 6
- 整理成 y ＝ mx ＋ b 的形状：3y ＝ 6 − 2x，所以 y ＝ 2 − (2 ÷ 3)x
- 斜率是 −a ÷ b ＝ −2 ÷ 3 ＝ −0.666667
- 截距是 c ÷ b ＝ 6 ÷ 3 ＝ 2
- 坡角：arctan(−0.666667) ＝ −33.6901 度
- 核对：x 取 0 时方程变成 3y ＝ 6，所以 y ＝ 2，正是截距
方程模式那一格，也是公式里那个负号为什么存在的证据。掉了那个负号得到的是 0.666667 而不是 −0.666667——坡度一样陡、方向由降变升，这种错误拿原方程核对一次就能抓住，光看那个数看不出来。截距也可以不靠公式，直接把 x 取零代回方程确认。
直线 x − y ＝ 4
- 整理：−y ＝ 4 − x，所以 y ＝ x − 4
- 斜率是 −a ÷ b ＝ −1 ÷ (−1) ＝ 1
- 截距是 c ÷ b ＝ 4 ÷ (−1) ＝ −4
- 坡角：arctan(1) ＝ 45 度，正好是整数
b 为负的一格，两个公式里的负号在这里正好抵消，答案全是正的。它也是少数几个角正好是整度数的直线：斜率为 1 是 45 度、为 −1 是 −45 度，参考表里那两行的来历就在这里。截距 −4 说的是这条线在原点下方穿过纵轴——以为负系数必然给出负斜率的人，在这里会正好搞反。
过 (2, 5) 与 (6, 5) 的水平线
- y 的增量：5 − 5 ＝ 0
- x 的增量：6 − 2 ＝ 4
- 斜率：0 ÷ 4 ＝ 0——水平线，它的斜率是零而不是没有定义
- 截距：5 − 0 × 2 ＝ 5，也就是这条线所在的高度
- 坡角：arctan(0) ＝ 0 度
斜率为零的那一格，也是最常与被拒收的竖直线搞混的一格。水平线的斜率精确地等于零——它既不升也不降——而竖直线的斜率根本不存在，区别在于那个零落在分子上还是分母上。这里每一个输出都是整齐的数，所以它是全页最容易拿草图核对的一行。
局限
两组输入框同时显示在面板上，由模式选择器决定读哪一组。没被读到的那一组不会灰显——渲染器做不到——所以填错组的数字会被静默忽略，改它们结果也不会动。这是全页唯一一个从屏幕上发现不了的行为，唯一的办法是回头看选择器：写着「两个点」时读的是四格坐标，写着「直线方程」时读的是 a、b、c 三格。竖直直线在两种模式下都被拒收，而不是报一个无穷大的斜率，因为无穷大不是能用的数、而竖直直线的斜率是真的不存在；水平线是另一回事，它的斜率精确地等于零。坡角是斜率的反正切、范围从 −90 到 90 度，不是解析几何里那个从 0 到 180 的倾斜角——同一条向右下降的直线在这里是 −45 度、在那里是 135 度，把两者混起来会给任何用这个角做的后续计算带进一个符号错误。斜率是没有单位的纯数，只有两个坐标轴用同一种单位度量时它才有意义：距离按米、时间按秒时，斜率 5 就是每秒 5 米，而页面不会替你说出这句话。坐标限制在正负一百万之间，那是显示范围。这一页没有分级：多陡算陡没有权威阈值，而斜率的正负已经把上升还是下降说清楚了。最后，这一页只处理直线——曲线每一点的斜率都不一样，这里没有任何东西在算导数。
常见问题
- 为什么改了某一格答案却不动？
- 因为模式选择器停在另一组上。两组框始终都在屏幕上，而同一时刻只读其中一组：选择器停在「两个点」时，a、b、c 三格被完全忽略；停在「直线方程」时，四格坐标被忽略。没被读到的那一组不会灰显，所以选择器是判断哪几个数算数的唯一线索——结果一动不动时先看它。
- 竖直直线的斜率是多少？
- 没有斜率，这一页拒收这种输入而不是印一个无穷大。斜率是 y 的增量除以 x 的增量，而竖直线上 x 的增量为零，这个除法要求你除以零。无穷大不是能带进下一步的数，而且说「斜率无穷大」会让人以为那是一个很大的数，而不是根本没有数。水平线是相反的情形：它的斜率精确地等于零。
- 已知方程怎么求斜率？
- 把 ax ＋ by ＝ c 整理成 y ＝ mx ＋ b 的形状。整理之后斜率是 −a ÷ b、截距是 c ÷ b，选择器停在「直线方程」时这一页算的就是这两个式子。符号比看上去重要：2x ＋ 3y ＝ 6 的斜率是 −2/3，掉了那个负号得到的是同样陡、方向相反的一条线。
- 坡角与倾斜角有什么区别？
- 坡角是斜率的反正切，取值在 −90 到 90 度之间；解析几何里的倾斜角取值在 0 到 180 度之间。对一条向右下降的直线，两者差 180 度：斜率 −1 时这一页报 −45，而同一条线的倾斜角是 135。这一页取反正切，是因为它由斜率直接得到、一对一，不需要再补一条「负斜率加 180 度」的规则。
- 斜率有单位吗？
- 单独看没有。斜率是两个增量的比，所以是一个纯数；只有两个坐标轴用同一种单位度量时，它才成为「每单位多少」——两轴都是米时它是一个无量纲的数，一轴是米、一轴是秒时它是米每秒。这一页不问单位，也就不能换算或标注；两轴单位不同时，斜率是一个速率，而那个单位是页面唯一给不出的东西。
- 能用它求直线方程吗？
- 不能——这一页走的是反方向。它拿一条已经描述好的直线（两个点，或者一个方程），报出它的斜率与截距。由斜率与一个点写出方程是另一件事，那一页叫点斜式计算器。不过这一页顺带给出的截距就是斜截式里那一项，斜率加上截距，方程其实已经可以自己写出来了。
参考资料
- Slope — 直线斜率的定义（纵向升高除以横向前进），以及这一页所计算的两种给法 — Wolfram MathWorld（美国）
- Line — 直线的一般式 ax ＋ by ＝ c 与它整理成斜截式的过程，包括 b 为零时竖直的那一种情形 — Wolfram MathWorld（美国）
- Inverse Tangent — 坡角那一列所用的反正切，以及它与倾斜角相区别的 −90 到 90 度取值区间 — Wolfram MathWorld（美国）