斜截式计算器

两点 (x1, y1) 与 (x2, y2) → m = (y2 - y1) / (x2 - x1) → b = y1 - m * x1 → y = m * x + b

m

斜率：向右走一格，线升起多少。它等于纵向差除以横向差，符号就是方向——正数向上、负数向下、零是水平线。斜率是 4 的意思是 x 每加 1，y 就加 4。

b

y 轴截距：这条线与竖轴相交处的 y 值，也就是 x = 0 时的 y。它是把一个点里属于斜率的那部分扣掉之后剩下的东西，也是这条式子上唯一一个能直接读出来的数。

(x1, y1)、(x2, y2)

那两个点。哪一个叫「第 1 个」都行：把两点互换会让斜率的分子与分母同时变号，两次变号互相抵消，答案不变。它们不能有相同的 x，因为那样除数为零。

x、y

算完之后式子里的两个变量。满足这条式子的每一对 (x, y) 都落在这条直线上，这也正是它有用的地方：代入任意一个 x，就能得到它正上方的那个 y，不必再回头用原来的两个点。

当一条直线是由它的两个点给出的，而你要的是这条线本身——方程、斜率、以及与轴的交点——而不是关于它的某一个数时，用它。表里的两次读数、图上量到的两个位置、一个起始值与后来的一次测量：有了它们，斜率说的就是变化有多快，截距说的就是从哪里开始。如果你只要斜率，或者只要两点之间某处的预测值，下面链接的那两个工具各自只做那一件事。

1. (1, 2) 与 (3, 10)——最普通的一种

   1. 纵向差：10 − 2 = 8。横向差：3 − 1 = 2
   2. 斜率：m = 8 / 2 = 4
   3. 截距：b = 2 − 4 × 1 = -2
   4. 方程：y = 4x - 2

   把两个点代回去验一遍，这是值得养成的习惯：x = 1 时 4 × 1 − 2 = 2 ✓，x = 3 时 4 × 3 − 2 = 10 ✓。两个点都在轴的上方而截距却是负的，这不是错——这条线足够陡，在与第一个点差得还很远的地方（x = 0.5）就已经穿过横轴了。

2. (0, 1) 与 (2, 2)——斜率不是整数

   1. 纵向差：2 − 1 = 1。横向差：2 − 0 = 2
   2. 斜率：m = 1 / 2 = 0.5
   3. 第一个点本来就落在纵轴上，所以 b 直接由它给出：b = 1 − 0.5 × 0 = 1
   4. 方程：y = (1/2)x + 1

   系数外面要加括号，因为 1/2x 会被读成 1 除以 2x。注意面板上的两个数与式子里写的完全一致：斜率那一行是 0.5，式子里写的是 (1/2)，同一个数换成分数写法——只要分母不太大，这一页就把有限小数印成分数，因为手写斜率时人们就是这么写的。

3. (1, 3) 与 (5, 3)——一条水平线

   1. 纵向差：3 − 3 = 0。横向差：5 − 1 = 4
   2. 斜率：m = 0 / 4 = 0
   3. 截距：b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. 方程：y = 3——斜率那一项一点贡献都没有，所以它整个消失了

   斜率为零会把式子整个收掉：里面一个 x 都不剩，而写成 y = 0x + 3 只是多加一个恒为零的项。这是唯一一处印出来的式子不再长得像 y = mx + b，而这是对的而不是偷懒——线上了每一个点，无论 x 是多少，y 都是 3。

只处理直线，而且只处理由两个不同的点给出的直线。两点的 x 相同时这条线是竖直的：它没有斜率，也不与 y 轴相交，所以没有斜截式可写，这一页会报成「算不出来」而不是硬印一条出来——那种情况下诚实的答案是 x = 3，而那不是这一页能产出的方程。两点完全重合属于同一种情形，因为过一个点的直线有无数条。斜率在算截距之前就先四舍五入到六位，所以面板上那两个数永远与印出来的式子对得上，代价是斜率为无限循环小数时（1/3 会变成 0.333333，式子由它搭出来），印出来的直线与真正的直线在第六位小数之后不同。这一页只把方程印出来，不解方程：它不会告诉你这条线与横轴交在哪里、两条线是否平行、或者别的 x 处 y 是多少。坐标两个方向都限制在一百万以内，全程没有任何单位——坐标是数，不是量出来的长度。

应该先填哪一个点？

两个都行，答案不会变。把两点互换会让 (y2 - y1) / (x2 - x1) 的分子与分母同时变号，两次变号互相抵消；截距也不会变，因为它是由一个点与斜率算出来的。唯一要注意的是同一个点的两个坐标要填在同一行里。

两点 x 相同会怎样？

那条线是竖直的，这一页会报成「算不出来」。竖直的线根本没有斜率——横向差是零，除法没有答案——它也不与 y 轴相交，所以无论 m 与 b 取什么值，y = mx + b 都写不出它。竖直线的方程是 x = 3，里面既没有斜率也没有截距，所以它在本页的范围之外。

斜率为什么要四舍五入？遇到循环小数怎么办？

它被舍入到六位小数，而截距是由舍入之后的这个数算出来的，不是用精确值。这是有意的：这样结果面板上的两个数与下面印出来的式子就能对得上账，答案可以手算核对。代价是斜率为循环小数时印出来的是那条近似的直线——(1, 1) 与 (4, 2) 给的三分之一会写成 0.333333，式子也由它搭出来。

它与点斜式那一页有什么区别？

收进去的东西不同。这一页收两个点，也就是你手里通常有的那些；点斜式那一页收的是一个点加上一个你已经知道的斜率，印出来的式子里看得出那个点。两者说的是同一条直线，所以可以接着用：把这一页给出的斜率、连同你原来两点中的第一个点，交给点斜式那一页，它会用另一种写法把同一条线写出来。

式子里为什么一会儿是分数一会儿是小数？

位数不多的有限小数在分母较小时会印成分数——0.5 写成 (1/2)、0.25 写成 (1/4)——因为手写斜率时人们就是这么写的。更长的就保持小数并保留六位，于是三分之一写成 0.333333。两种写法是同一个数，而式子上方那一行斜率读数与它永远一致。

怎么手算核对答案？

把两个 x 分别代进印出来的式子，看能不能得到那个点对应的 y。以 (1, 2) 与 (3, 10) 为例，式子是 y = 4x - 2：x = 1 时得 2，x = 3 时得 10，两个点都在这条线上。如果有一个对不上，就把它与式子上方那两个读数比一比，问题通常出在自己算的那一步上。

• 斜率——纵向差除以横向差，以及本页第一个读数所用的符号约定 — Wolfram MathWorld（美国）
• 直线——上面这一切说的那个对象，以及它的方程可以写成的几种形式 — Wolfram MathWorld（美国）
• 线性方程——y = mx + b 作为一个含两个变量的方程，它的斜率与截距分别是什么 — Wolfram MathWorld（美国）