点斜式计算器
结果
点斜式
- 斜截式
- y = 2x + 1
- y 轴截距
- 1.000000
点斜式计算器在已知直线上一个点和这条直线的斜率时，把它的方程写出来。答案是同一件事的两种写法：点斜式把那个已知点原样留在式子里，斜截式则把它乘开，好让 y 轴截距直接读出来。默认是过点 (1, 3)、斜率为 2，得到 y − 3 ＝ 2(x − 1)，整理之后是 y ＝ 2x ＋ 1。这条直线的一切在第一种写法里就已经看得见了——斜率就是括号前面那个数，而那个点的两个坐标就摆在它们被输进去的位置上——这正是它值得优先用的原因。分数斜率是合法输入，而且照分数写下来，不化成小数：方程是一个精确的东西，而小数只是它的某一个数的一种写法。
十组斜率与点，以及它们写出来的方程
| 斜率 | x₁ | y₁ | 点斜式 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | y - 3 = 2(x - 1) |
| 1 | 0 | 0 | y = x |
| 1 | 5 | 0 | y = (x - 5) |
| -1 | 2 | 5 | y - 5 = -(x - 2) |
| -1 | 0 | 4 | y - 4 = -x |
| 0 | 1 | 3 | y - 3 = 0 |
| 0.5 | 4 | 1 | y - 1 = (1/2)(x - 4) |
| 3 | 0 | -2 | y + 2 = 3x |
| -2 | -1 | -3 | y + 3 = -2(x + 1) |
| 4 | 2 | 2 | y - 2 = 4(x - 2) |
每一行取一个斜率和一个点，给出写出来的方程。这些行是按写法上的各种情形挑的，而不是随手取的，因为读者要核的正是它们：第二行的两个坐标都是零，括号整个消失；第三行的高度是零，左端只剩一个 y；第六行的斜率是零，右端印一个光秃秃的 0；第七行是分数斜率，加了括号；第九行的坐标都是负的，两个符号同时翻转。这几格恰好是手写答案最容易写错的地方，而坐标那一列带符号正是第二行与第九行值得并排看的原因。每一格都是数或记号，所以这张表在全部十个语言里长得一样。
公式
y − y₁ ＝ m(x − x₁) 斜截式：y ＝ mx ＋ (y₁ − m·x₁)
- m
- 斜率：这条线升得多快或降得多快，带符号。它就是右端括号前面那个系数，也是整理之后 x 的系数。斜率为 0 时这条线是水平的，那种情形下这一页写的是一个光秃秃的 0，而不是一个「乘以零」的括号。
- x₁、y₁
- 那个已知的点。这里只要一个：斜率定方向，点定位置，两样合起来就把这条直线定死了。下标 1 是公式里本来就有的那个 1，不是「第一个点」的意思——这一页上没有第二个点。
- y 轴截距
- 这条线与 y 轴相交的地方，也就是式子整理完之后剩下的那个常数项。它同样由那三个输入决定：这条线过给定的那个点，所以它在 x 等于零处的高度，就是从那个点按斜率倒推回去之后剩下的高度。
- x、y
- 方程联系起来的两个变量。两个都没有被赋具体值：答案是同时适用于这条线上每一点的规则，所以主读数印的是文本而不是一个数。
已知一条线的陡缓与它上面一个点、要把它写下来时用这一页：由一个变化率和一个起始值、由某个已知位置处的切线斜率，或者由两个点——在后一种情形里要先算出它们之间的斜率。反过来从两个点求斜率是斜率那一页；拿一条写好的方程去预测线上更远处是多少，是插值那一页。
算例
过点 (1, 3)、斜率 2
- 把斜率与那个点填进模板：y − y₁ ＝ m(x − x₁)
- 左端成为 y − 3，括号里成为 (x − 1)
- 点斜式是 y − 3 ＝ 2(x − 1)
- 把括号乘开：2(x − 1) ＝ 2x − 2
- 把 −3 移过去：y ＝ 2x − 2 ＋ 3 ＝ 2x ＋ 1
- 斜截式是 y ＝ 2x ＋ 1，所以 y 轴截距是 1
默认这一格，值得对着输入读一遍：括号里那两个数就是刚才输进去的坐标，只是被那个减号翻了符号。点斜式这种写法要的就是这个——它让已知的点保持可读，而不是把它折进一个常数里。
斜率是 −1，括号必须留着的那一格
- 模板给出 y − 5 ＝ m(x − 2)
- 斜率 −1 写成一个减号而不是 −1，与系数 1 省略不写是同一个道理
- 括号留着：写成 −x − 2 就是另一条线了
- 点斜式是 y − 5 ＝ −(x − 2)
- 乘开：−(x − 2) ＝ −x ＋ 2，于是 y ＝ −x ＋ 2 ＋ 5
- 斜截式是 y ＝ −x ＋ 7，y 轴截距是 7
最容易写错的一行。斜率 1 与斜率 −1 都不印出数字，但负号必须留在括号外面：把括号丢掉，−(x − 2) 就成了 −x − 2，这个方程中间有一个符号错，而它在页面上看起来完全正常。
分数斜率
- 斜率 0.5 照精确的分数 1/2 写，不写成小数
- 模板给出 y − 1 ＝ (1/2)(x − 4)
- 分数要加括号：1/2(x − 4) 读起来像「1 除以两倍的括号」
- 斜截式里同样加括号：y ＝ (1/2)x − 1
- y 轴截距是 −1
这一格一次定下两条写法。分数保持精确，方程才是一个方程而不是一个近似；分数斜率要加括号，它才黏在括号上而不是黏在 x 上。两条都与其他代数页对同一类数的写法一致。
局限
斜率与两个坐标都限制在一百万以内。分数输入在分母除得尽且不超过一千时印成分数，否则印六位小数——所以 0.5 写出来是 1/2，而循环节很长的那些只能退回舍入。这一页只收小数形式的数，不收写成文本的分数，所以 1/3 要按它舍入后的小数输进去。竖直线用这种写法根本写不出来：它的斜率不存在，没有任何一个 m 能得到它，所以过给定点的竖直线不在这条式子能描述的范围里。这一页也不会替你从两个点求斜率，更不会告诉你这条线与 x 轴在哪儿相交。
常见问题
- 点斜式是什么？
- 直线方程的一种写法，它把线上一个已知的点留在式子里：y 减去那个点的高度，等于斜率乘以 x 减去那个点的位置。任何一个点配任何一个斜率都能这么写，而把式子读回来就能看出它是从哪个点和哪个斜率写出来的。
- 斜截式更简单，为什么还要用点斜式？
- 因为它是由已知条件直接搭起来的。斜截式画图时更顺手，但得到它要先乘开、再合并同类项，中间任何一步抄错都会藏进常数项里。点斜式把给定的数留在它们被输进去的位置上，一眼就能核。
- y 轴截距那一格告诉我什么？
- 这条线与 y 轴相交的地方，也就是 x 为零时它的高度。它由同样的三个输入决定：从那个已知点出发，把「从轴上走到这里本该升多少」退回去，剩下的就是它。如果已知的点本来就在轴上，截距就是它的高度。
- 为什么斜率是 1 时不写数字？
- 与别处省略系数 1 是同一个道理：写成 1(x − 2) 只是多了一个不携带信息的符号。斜率是 −1 时负号要留、数字仍然不写，而那正是括号不能去掉的地方——负号属于括号外面，把括号去掉，这条线就变了。
- 分数斜率为什么要加括号？
- 为了让这个分数黏在括号上，而不是黏在 x 上。不括号的话，1/2(x − 4) 读起来是「1 除以两倍的括号」，那是另一个式子。写成 (1/2)(x − 4) 之后，乘法的次序就没有歧义了。
- 竖直线能这么写吗？
- 不能。竖直线没有斜率——它确实升高了，而横向的位移是零——所以没有任何一个 m 能得到它，点斜式描述不了它。那种线写成 x 等于一个常数，而这已经超出这一页能处理的范围。
参考资料
- Point-Slope Form — 这一页起步的那种写法，也是「一个斜率加一个点就够了」的原因 — Wolfram MathWorld (United States)
- Linear Equation — 两个输出都是它的一种特殊情形，也是答案可以整理成的那种标准形式 — Wolfram MathWorld (United States)
- Slope — 定下这条线方向的数，也是竖直线根本没有值的那个量 — Wolfram MathWorld (United States)