平均变化率计算器
结果
平均变化率
- y 的变化量（Δy）
- 8.000000
- x 的变化量（Δx）
- 2.000000
平均变化率计算器收下一段区间的两个端点，报告函数在这段区间上平均每单位输入变化了多少。它就是图像上连接这两点的割线的陡峭程度，也是微积分取极限之前的那个量。填进两组坐标，页面给出平均变化率，连同输出侧与输入侧带符号的变化量一起印出来，于是得出那个比值的那次算术是看得见的，而不是被藏起来。速度、增长以及任何「一个量随另一个量在一段范围内变动」的场合用的都是它。
平方函数的平均变化率
| a | b | 平均变化率 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 2 | 2 |
| 0 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 4 |
| 2 | 4 | 6 |
| -1 | 1 | 0 |
| -2 | 3 | 1 |
| -3 | -1 | -4 |
每一行给出从 a 到 b 的区间，以及平方函数在这段区间上的平均变化率。每个答案都等于 a ＋ b，这是这个函数在每段区间上都遵守的规律——前三行从 0 出发，答案就是把右端点原样抄下来；中间几行从别处出发；而倒数第二行两端对称地跨在顶点两侧，答案因此是 0，那是函数在一段区间上「平均没有变化」的样子。最后一行整段落在负数一侧，答案也是负的，值得单独读一遍：函数从 9 掉到 1，而表把这下跌记成带符号的数而不是一个大小。三列都是整数，所以这张表在站点服务的每种语言里都相同；小数变化率的表则需要本地化，1,5 在好几种语言里那样写、在另一些里写成 1.5。
公式
平均变化率 ＝ Δy ÷ Δx ＝ (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- x₁
- 区间第一个端点处的输入——函数所收的那个量在先的那一个值，速度那一族里是时间，几何那一族里是位置。它没有任何限制，也不必小于 x₂：两个端点可以按任意顺序填
- x₂
- 第二个端点处的输入。它不能等于 x₁。若相等，比值的分母就是零，而没有东西可供「平均」——那是在问函数在输入毫无变化的情况下变化了多少，那是一段竖直的线段而不是一个变化率
- y₁, y₂
- 函数在这两个输入处的输出值。无论函数是一个公式、一张读数表还是屏幕上的一条曲线，这一页要的只是这两个值——而它们的先后对两格变化量是有意义的，尽管在比值里会被约掉
- Δy ÷ Δx
- 平均变化率本身：输出的总变化量除以它发生所跨越的区间长度。Δ 这个希腊字母在这套记法里表示差，所以 Δy 是 y 的变化量、Δx 是 x 的变化量。把它读成「每单位」才是关键——答案就是 x 每走一个单位，y 动了多少
- (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- 同一个量写开的样子。它在数值上等于连接两点的直线的斜率，这正是两个计算器对两个不同问题给出同一个答案的原因：斜率那一页问的是一条线有多陡，而这一页问的是一个函数在一段区间上动得多快。只有后一种说法能活到微积分里——那里区间被取得越来越窄
凡是「一段区间上平均下来变了多少」的问题都是这一页：从位置与时间求平均速度、从两个读数求平均增长、以及任何拿两个点概括一段变化的场合。它也是斜率那一页的姊妹页——同一个式子的另一边，两页互为读者会问的那一句。坡度那一族的问题归坡度计算器，那一页把 Δy ÷ Δx 读成坡度；已知速度与时间求位置用速度计算器；而每一步乘同一个倍率的增长模型改用指数增长计算器，那一页的平均变化率逐段不同，这一段区间上的平均正是这一页算的东西。
算例
x² 在 1 到 3 这段区间上的平均变化率
- 区间有两个单位长：Δx ＝ 3 − 1 ＝ 2
- 输出变化了八：Δy ＝ 9 − 1 ＝ 8
- 相除：8 ÷ 2 ＝ 4
- 所以函数平均每单位输入增加 4 个单位的输出
对平方函数来说答案遵循一条值得记住的规律：在 a 到 b 的区间上它的平均变化率永远等于 a ＋ b，这里是 1 ＋ 3 ＝ 4。这条规律成立是因为 b² 减 a² 可以分解成 (b − a)(b ＋ a)，而 b − a 与分母约掉了。下面那张参考表就是拿这一个函数搭出来的。
三秒内的平均速度
- 输入是时间，单位是秒，从 0 到 3
- 输出是位置，从 10 移动到了 70
- 位置在 3 秒里变化了 60：60 ÷ 3 ＝ 20
- 平均速度是每秒 20 个单位的距离
让这个量变得具体的一格：位置画在纵轴、时间画在横轴时，平均变化率就是平均速度。它是货真价实的「平均」——实际速度在这段时间里可能变过，而这个比值对区间的中段一无所知，它只知道两个端点。
把两个端点对调
- 方向反过来了：从 x ＝ 3 走到 x ＝ 1
- Δx ＝ 1 − 3 ＝ −2，Δy ＝ 1 − 9 ＝ −8
- 两者同时变号，所以比值不变：(−8) ÷ (−2) ＝ 4
- 主结果仍是 4，两格变化量却都换成了负数
两个变化量带符号而比值不带，这一点让不少人意外。这两格描述的是「从哪走到哪」，方向反过来它们当然换号；而平均变化率描述的是区间本身的性质，与从哪一头开始读无关。这也解释了为什么斜率那一页不必区分方向。
局限
两个输入必须不同。x₂ 等于 x₁ 时比值分母为零，页面拒收它而不是返回无穷大：竖直的一段没有「每单位 x」的变化率可言，因为 x 根本没有变。两个端点可以按任意顺序填，平均变化率两种顺序下相同，但两格变化量带符号，顺序一换就跟着换号。这一页报告的是区间上的变化率，从来不是某一点上的变化率——瞬时变化率是一个这一页不取的极限，它需要知道函数本身而不是它的两个值。每个坐标的量级上限是一万亿，再大减法就会丢精度，印出来的六位小数会误导人。结果舍入到六位小数，背后的算术是完整精度。这一页不印倾角：倾角是直线的性质，而一个函数在一段区间上没有倾角——这正是它与所链接的斜率计算器不同的地方之一。
常见问题
- 平均变化率是什么？
- 它是输出的总变化量除以输入区间的长度：在 a 到 b 的区间上是 (f(b) − f(a)) ÷ (b − a)。读作「每单位输入平均改变了多少输出」，它在图上就是连接两端点那条割线的斜率。它叫「平均」是名副其实的：区间内部的具体走法它一概不管，只看两个端点。
- 它与斜率有什么区别？
- 算出同一个数的两件不同的事。斜率是一条直线的性质，问的是一条线有多陡；平均变化率是一个函数在一段区间上的性质，问的是它动得多快。数值相同是因为连接两个端点的直线恰好就是那条割线，但两者的适用场合不同：函数在区间上不必是直线，而斜率那两个字对一条曲线没有意义。
- 两个端点对调为什么答案不变？
- 因为两个变化量同时换号，而比值不变。从 1 到 3 是 Δy ＝ 8、Δx ＝ 2；从 3 到 1 是 Δy ＝ −8、Δx ＝ −2，相除仍然是 4。这与「两点之间的直线只有一条」是同一件事：从哪一头量，那条线都是同一条。两格变化量相反会换号，因为它们记的是方向。
- 平均变化率可以是负数吗？
- 可以，那表示函数在这段区间上整体是下降的。把点 (1, 9) 与点 (3, 1) 连起来，Δy 是 −8 而 Δx 是 2，平均变化率就是 −4。负号是信息而不是错误：它说的是方向，与斜率为负是同一种读法。
- 两个输入相等时会怎样？
- 页面拒收，因为分母为零。这一页算的是「x 每变化一个单位、y 变化多少」，x 不变时这句话无从谈起——那是一段竖直的线段，没有「每单位 x」可言。真正的瞬时变化率要对区间取极限，那是导数的事，而这一页只有两个点，取不了那个极限。
- 平均变化率与瞬时变化率是一回事吗？
- 不是。这一页算的是整段区间上的平均值，而瞬时变化率是某一点上的值，两者只在函数本身就是直线时才处处相同。把区间越缩越短，平均变化率会越来越接近那一点的瞬时变化率——那个极限就是导数。除了直线之外，区间上任何一点的实际变化率都可能与这个平均值不同。
参考资料
- Average Rate of Change — 区间上的定义、割线读法，以及通向瞬时变化率的那一步 — Wolfram MathWorld（美国）
- Secant Line — 穿过两个端点的那条线，它的斜率就是这一页算出来的数 — Wolfram MathWorld（美国）
- Derivative — 区间不断收窄时平均变化率的极限，也是这个量正在走向的地方 — Wolfram MathWorld（美国）