指数增长计算器

N ＝ N₀ × (1 ＋ r)^t 每期倍率 ＝ 1 ＋ r 总变化率 ＝ ((1 ＋ r)^t − 1) × 100%

N₀

初始量，增长开始之前有多少。它必须是正数，因为百分比那两格要除以它，而初始量为零会让总变化率变成零除以零、不是一个很大的数。它没有单位：同一套计算管的是人、钱、细菌和指数点位

r

每周期的增长率，按百分数填——填 5 就是百分之五，不是 0.05。它可以是负数：−20% 表示每期少掉自身的五分之一，那是衰减而不是另一种计算。它不能低于 −100%：正好 −100% 时量清零，再往下每期的倍率变负、符号逐期翻转，那已经不是在对一个量作描述了

t

期数。一期是多长由你定——年、月、天、代——只要增长率也是按同一期报的。它可以带小数：半期是完全正常的输入，乘的是整个周期那个倍率的平方根，而不是照乘一半。负值拒收，因为往回算起点之前有多少，是另一个问题

(1 ＋ r)^t

到期末为止量一共被乘上的那个倍数。这一格才是「指数」两个字的所在：每一期乘的是当时已有的全部，所以第十期的增量不是第一期那个增量，而是大得多。它同时就是幂运算计算器在做的事——底数是 1 加上增长率，指数是期数

1 ＋ r

每期倍率，中间那一格读数。增长率为 5% 时它是 1.05，意思是每一期量被乘上一个略大于一的数。它单独印出来是因为换个问法就要用它：1.05 连乘四期、倍率为 2 时的每期翻倍、或者换一个初始量，只要这一格看得见，都只剩一次乘法

((1 ＋ r)^t − 1) × 100%

整段下来的总变化率，按起点为基准算。5% 涨十期得到的是 62.889% 而不是 50%，因为每一期的那 5% 取自一个比上一期更大的量。减掉那个 1 是把倍数变成变化的动作：倍数 1.6289 就是涨了 62.89%，而倍数小于一时变化为负——衰减就是这么报出来的

r ＝ −100%

下界，也是唯一能让量正好清零的那个增长率。它被收下，因为它是量不断缩小的极限：−100% 时每期倍率为零，第一期之后每一期都是零乘零。再往下倍率为负，量逐期变号，模型已经不再描述任何实体——那一种因此被拒收而不是算出来

凡是同一个因子被反复乘上去、你想知道它落在哪里或者整段变成了多少的时候都是这一页：存款上的复利、按固定速率增长的人口、几十年里上涨的物价指数、细菌的成倍繁殖、每年按固定百分比萎缩的市场。总变化率那一格是写给人看时该引用的那个数——「十期涨了 62.9%」比一个期末量对多数读者说的话更多，而它也正是光有增长率给不出的那个数。它还是把增长率变成倍率的那一页，而那个倍率是每一道复利题开算之前都需要的一步。量按折半衰减、速率是用时间而不是用百分比表达的时候改用半衰期计算器，那一页直接收半衰期，还会把个数一并报出来。底数已经是一个现成的数、不是从增长率推出来的时候改用幂运算计算器，那是同一种运算、只是前面没有那一层百分比。乘法按固定周期发生、问题里还涉及追加投入或复利频次时改用复利计算器，那些是钱特有的维度，这一页没有。

1. 100 按 5% 涨十期

   1. 每期倍率：1 ＋ 0.05 ＝ 1.05
   2. 总倍数：1.05¹⁰ ＝ 1.628894627…
   3. 期末量：100 × 1.628894627… ＝ 162.889463
   4. 总变化率：(1.628894627… − 1) × 100 ＝ 62.889463%

   默认那一格，也是总变化率那一格为什么存在的证据。十期涨 5% 听起来像五十，面板说的是 62.89——多出来的部分来自每一期的那 5% 都取自一个比上一期更大的量。只引期末量的人把余额报了出来、却没把过程说清楚，而百分比才是会被转述的那一半。

2. 100 按 20% 缩三期

   1. 每期倍率：1 ＋ (−0.20) ＝ 0.8
   2. 总倍数：0.8³ ＝ 0.512
   3. 期末量：100 × 0.512 ＝ 51.2
   4. 总变化率：(0.512 − 1) × 100 ＝ −48.8%

   同一页在算衰减，这也正是「收负数」而不是「另做一个工具」的理由。三期各缩 20% 一共少了 48.8% 而不是 60%，原因与增长那边是同一个：每一期的那五分之一取自剩下的部分。每期倍率小于一，也是符号约定正常工作最清楚的信号。

3. 100 每期翻倍，共五期

   1. 增长率 100% 表示增长的量与现有的量一样多，所以倍率是 2
   2. 总倍数：2⁵ ＝ 32
   3. 期末量：100 × 32 ＝ 3200
   4. 总变化率：(32 − 1) × 100 ＝ 3100%

   翻倍那一格，也是算术简单到能心算核对、而百分比那一格反而不能的一格。量被乘了 32 倍，页面把它报成增加 3100%——那个数与「32 倍」摆在一起听着离谱，说的却是同一件事。总变化率为什么要先减掉 1 再叫「变化」，这里最看得清。

4. 100 按 5% 涨半期

   1. 每期倍率仍然印 1.05，因为它是按周期定义的
   2. 总倍数：1.05^0.5 ＝ 1.024695076…，也就是 1.05 的平方根
   3. 期末量：100 × 1.024695076… ＝ 102.469508
   4. 总变化率：2.469508%

   小数期数那一格，也是把两格读数分得最开的一格。每期倍率停在 1.05 不动，因为它是「每一期」的量、半期改变不了它；变的是总倍数，它是 1.05 的平方根，所以半期的 5% 增长是 2.47% 而不是 2.5%。把增长率除以二是错的，这一行就是那句话的证据。

5. 2.5 按 12% 涨四期

   1. 每期倍率：1 ＋ 0.12 ＝ 1.12
   2. 总倍数：1.12⁴ ＝ 1.57351936
   3. 期末量：2.5 × 1.57351936 ＝ 3.933798
   4. 总变化率：57.351936%

   初始量不是整数的一格，而这什么都不改变：两格倍率与起点完全无关，2.5 涨的就是 250 会涨的那个 57.35%。比较两个方案时该读的正是这两格，因为它们是唯一两个不随初始量移动的读数。

增长率与期数必须按同一个基准报，而页面没有任何办法检查这件事：每年 5% 配十个月，给出的是一个看起来完全正常的错答案。一期是多长由你决定——年、月、天、一代——页面从不问。这一页把增长建模成每一期乘同一个因子，这正是复利式增长的含义，但并非所有会长大的东西都如此：撞上上限的人口、饱和的市场、以及本身就在变的速率，都在这套模型之外。增长率不能低于 −100%，因为那里量清零、再往下符号逐期翻转；上界 1000% 与期数上界 1000 是为了让溢出变成少数情形，而不是在表达什么数学界限。初始量必须为正，所以一个从负变正的量在这里表达不出来。复利每期发生一次、不是连续发生：年利率 5% 按半年各 2.5% 计一次是另一个结果，那种计算属于复利计算器，那一页带着复利频次这个维度。这一页不建模追加投入、取出或定投——量是被放着自己长的。最后，输出保留六位小数，数值很大时这对百分比那一格是有影响的。

为什么总变化率比「增长率乘期数」大？

因为每一期的百分比都取自一个比上一期更大的量。十期涨 5% 不是五十而是 62.89，第二期的那 5% 作用在一个已经长大过的量上。这种叠加正是指数增长与加法增长的全部区别，而总变化率那一格就是它显形的地方：只看期末量看不出来。

增长率可以填负数吗？

可以——负的增长率就是衰减，同一页直接算。−20% 表示每期少掉自身的五分之一，所以 100 三期之后是 51.2。它不能低于 −100%：正好 −100% 时量清零并停在那里，再往下每期倍率变负、量逐期变号，那已经不再是对一个量的描述。

一期到底是多长时间？

由你定，只要增长率是按同一个基准报的。每年 5% 配期数 10 就是十年；同样的 5% 按每月、期数 10 就是十个月，两个答案回答的是两个问题。页面没法检查这个配对，所以「年增长率配以月为单位的期数」会给出一个看起来完全正常的错答案。

每期倍率与总变化率有什么区别？

每期倍率是每一期乘上去的那个数；总变化率是整段下来一共变了多少。5% 的每期倍率是 1.05——一个跟期数无关的数，跑一期还是跑一百期都是它；而十期的总变化率是 62.89%，那是把倍率连乘起来的结果。问「这个方案快多少」时，该比较的是每期倍率。

期数可以填小数吗？

可以，半期是很常见的输入。半期的 5% 增长不是 2.5%——它是 1.05 的平方根，等于 2.47%。小数期数之所以有意义而不是一个四舍五入的方便：量是在期中平滑地长上去的，而不是到期末一次性跳上去，开方就是这种连续性的表达。

它与复利计算器有什么不同？

同一个公式，不同的题目。这一页要的是增长率与期数，任何量都能套；复利计算器多了钱才有的那几样东西——复利频次、定期追加投入、以及可以被还掉的本金。问题里只要涉及向账户里存钱或取钱、或者利息按月而不是按年复利，那些多出来的维度在那一页，这一页没有。

• Exponential Growth — 这一页所计算的规律，增长率与期数是它的两个参数 — Wolfram MathWorld（美国）
• Compound Interest — 同一个公式用在钱上，包括把这种计算与那一页区分开的复利频次 — Wolfram MathWorld（美国）
• Exponential Decay — 同一条规律的负增长率那一半，每期倍率小于一、量趋近于零 — Wolfram MathWorld（美国）