半衰期计算器

N ＝ N₀ × (½)^(t ÷ T) n ＝ t ÷ T 剩余比例 ＝ N ÷ N₀

N₀

初始量，衰变还没开始之前的那个数。它在这一页没有单位：克、贝可、原子数、浓度都是同一个输入框，因为衰变规律问的只是「还剩几分之几」。它必须大于零——初始量为零会让剩余比例变成零除以零，而不是一个很小的数

T

半衰期，现有的东西少掉一半所需要的时间。它是物质的性质而不是样品的性质，所以初始量怎么变它都不动。它必须与经过时间填同一种单位；页面不问是哪一种，因为两个时间相除，一起换算时比值不变

t

经过时间，你要问的那一段时间。它与半衰期同单位，并且不能是负数——公式掉过头来照算，但「原来有多少」是另一个问题，不是这一页设好的那个

n ＝ t ÷ T

已经过去的半衰期个数，第二格读数，也是让另外两格可以被核对的那一格。半衰期是数出来的，不是一个一个整步走的：2.5 是完全正常的取值，意思是这个样品走到了第二与第三次折半之间。它印四位小数，是为了让 2.9999 与 3 分得开——那两个数说的是「还差一点到三个」和「正好三个」

(½)^n

剩余比例，二分之一每过一个半衰期就自乘一次。整个衰变规律就是这个式子：没有常数、除了二分之一没有别的底数、除了半衰期之外与是什么物质无关。十个半衰期之后剩下不到千分之一，而这个比例永远不会正好等于零，它只会在双精度里下溢成零

N ＝ N₀ × (½)^n

剩余量，面板上的主结果。它是初始量按那个比例缩放的结果，所以答的是比例而不是绝对量：初始量翻倍，曲线上每一点的剩余量都翻倍，而百分比一格不动

N ÷ N₀

剩余比例写成百分数，百分号已经替你印上。这是不知道物质是什么时该引用的那一格——「剩下大概四分之一」把「2.5 贝可」要说的话全说了，前提是初始活度已经摆在桌上；它也是三个读数里唯一一个不随初始量改变的

凡是「按半衰期衰减」的东西都是这一页，而不稳定物质写得下来的衰变方式就是半衰期：放射性同位素、药物从体内清除、污染物降解、按固定比例死掉的一群个体。碳十四定年周围的两个问题也归它——经过若干年还剩多少，以及测出来的比例对应几个半衰期，后一步就是转成年代的那一步。底数不是二分之一、而是由增长率推出来的那类问题在指数增长计算器那一页，那是同一条规律的另一个常数。数量在增长、问「多久翻倍」的时候在翻倍时间那一页，翻倍就是倒过来读的减半。同一个指数被用在钱上、乘法按固定周期发生而不是连续发生的时候，在复利计算器那一页。

1. 初始量 100、半衰期 5，经过 15

   1. 经过的半衰期数：15 ÷ 5 ＝ 3
   2. 剩余比例：(½)³ ＝ 1 ÷ 8 ＝ 0.125
   3. 剩余量：100 × 0.125 ＝ 12.5
   4. 换成百分数：12.5%

   参考表里也有的那一行，也是不用页面就能核对的一行：100 连着折三次半是 50、25、12.5。这种「一步一步折半」的读法正是半衰期个数存在的意义，也是页面把个数印在量旁边的理由——只看剩余量的话，你看不出自己走到了曲线的哪里。

2. 碳十四，半衰期 5730 年，经过 11460 年

   1. 经过的半衰期数：11460 ÷ 5730 ＝ 2
   2. 剩余比例：(½)² ＝ 0.25
   3. 剩余量：1 × 0.25 ＝ 0.25
   4. 换成百分数：25%

   这一页被设计出来时对着的用例，也是两个时间字段没有单位选择器的原因：这里的单位是年，而那个半衰期远远超出任何一份「小时 / 周 / 月」下拉框装得下的范围。初始量填 1 而不是真实测量值，答案就直接当分数读——两个半衰期之后，原来的碳十四还剩四分之一，这是每一个放射性碳定年里推理的前一半。

3. 初始量 200、半衰期 4，经过 10

   1. 经过的半衰期数：10 ÷ 4 ＝ 2.5
   2. 剩余比例：(½)^2.5 ＝ 1 ÷ √32 ＝ 0.176776695…
   3. 剩余量：200 × 0.176776695… ＝ 35.355339…
   4. 换成百分数：17.67767%

   最常见的一格，也是「半衰期不是一个一个整步数」的这一格：过去了两个半，样品停在原来的四分之一与八分之一之间。这里的比例是个无理数，所以答案带小数——只有经过时间正好是整数个半衰期时它才是精确的。把 2.5 读出来是在做实事：12.5% 乘上二分之一的平方根，就是同一个 17.68%。

4. 初始量 80、半衰期 12，正好经过 12

   1. 经过的半衰期数：12 ÷ 12 ＝ 1
   2. 剩余比例：(½)¹ ＝ 0.5
   3. 剩余量：80 × 0.5 ＝ 40
   4. 换成百分数：50%

   一个半衰期，这一格是那个量本身的定义，而不是它的一个用例。有人报给你一个半衰期、你想确认自己理解得对不对时，用的就是这一行：不管初始量是多少，过了那么久就是少掉一半，没有任何一个数能让答案变样。

这一页只答一个方向：给定初始量、半衰期与一段时间，还剩多少。反过来的两个问题——降到某个量需要多久、以及由起止两个量反求半衰期——不是这一页的输入框，虽然它们都由同一个式子推出来，公式块与下面的问答里都推了一遍。这一批里没有给它们做页面，所以需要反求的人请自己把指数解出来，别指望有第二组输入框。两个时间字段共用一套单位而页面从不问你填的是哪一种：半衰期按天填、经过时间按小时填，答案会差二十四倍，而且看起来完全正常——这是这一页唯一一个从内部发现不了的错误。初始量没有标注单位，所以页面不能在质量或活度的不同单位之间换算，克进克出。这一页没有分级：「还剩多少」是一个连续读数，页面把它印出来而不对它下判断。剩余比例不会到零，但它会下溢：大约一千个半衰期之后双精度结果就是精确的零，那是算术的极限，不是关于这种物质的结论。最后，这是按整份整份折半建模的，它假定速率恒定——这正是半衰期的意思，但不是所有会消退的东西都满足它。

过了这么久，还剩多少怎么算？

先用经过时间除以半衰期，得到经过的半衰期个数，再把初始量按这个个数一次次折半。半衰期是 5、经过时间是 15 时，过去了三个半衰期，剩余比例是八分之一，初始量 100 剩下 12.5。页面用一个式子做完同一件事：初始量乘以二分之一的「经过时间除以半衰期」次方。

要降到某个量需要多久？

把式子掉过头来用。用你想降到的那部分比上初始量得到比例，对这个比例取以二分之一为底的对数，再乘以半衰期。想剩八分之一就是三个半衰期，不管是什么物质；想剩四分之一就是两个，所以半衰期 5730 年的东西那一步落在 11460 年。半衰期个数这一格值得先算，剩下的只是一次乘法。

半衰期和经过时间该填什么单位？

随便什么单位，只要两个填同一种。两个时间相除，所以半衰期 5 天配经过时间 15 天，与 120 小时配 360 小时，答案一模一样。页面故意不做单位选择器，因为人们真在用的单位从秒到几十亿年，没有一份清单装得下。代价是混用单位不会被发现：天配小时会给出一个大了二十四倍的答案，而它看起来完全正常。

答案会到零吗？

数学上不会——每过一个半衰期就减掉当时的一半，而正数的一半永远是正数，所以剩余比例无限接近零却到不了。实际计算里会到：计算机用有限的精度存数，大约一千个半衰期之后结果下溢，回来的就是精确的零。那是算术用完了，不是物质消失了，而且那个位置远远超出这个模型被认真使用的范围。

半衰期和衰减常数有什么区别？

它们说的是同一次衰减的两件事。衰减常数是指数上那个单位时间的速率，半衰期是少掉一半所要的时间；两者相差一个二的天然对数，半衰期等于那个对数除以衰减常数。这一页用半衰期，因为公开的数字都是这么给的——碳十四是 5730 年、某种药是几个小时——而把同一个规律写成以 e 为底时，出现的那个数就是衰减常数。

初始量的大小会影响衰减的快慢吗？

不会。这正是半衰期这个词的全部意思：它是物质的性质，不是样品的性质。初始量从 100 变成 200，等于剩余量从 100 乘二的负 n 次方变成 200 乘二的负 n 次方，曲线上每一个量都翻倍，百分比一模一样。半衰期个数与剩余比例这两格，在你改初始量时纹丝不动。

• Half-Life — 半衰期的定义与这一页所计算的指数衰减规律，包括半衰期个数与剩余分数之间的关系 — Wolfram MathWorld（美国）
• Exponential Decay — 这一页是它的半衰期特例；衰减常数与半衰期之间相差一个二的天然对数因子 — Wolfram MathWorld（美国）
• 放射性碳定年法 — 样品中碳十四的剩余比例如何换算成年代，也就是这一页印出的那个数之后的下一步 — 维基百科