复利计算器
结果
终值
- 利息收益
- 6,470.09
- 有效年利率（APY，%）
- 5.116%
- 不计复利的利息
- 5,000.00
- 复利多出来的部分
- 1,470.09
复利计算器：一笔钱放着不动，按你选的复利频率长大。输入本金、年利率、年数和计息频率，它会给出到期余额、利息收益、有效年利率（APY），以及复利比单利多出来的那一块。频率是大多数人不会去选、也最容易低估的一栏：同样 1 万、5%、十年，一年计息一次是 16,288.95，每月计息一次是 16,470.09，两者背后的有效年利率分别是 5.000% 与 5.116%。整个过程只在最后舍入一次，所以答案是闭式解算出来的一个数，而不是把每期舍过位的结果加起来。连续复利是第六个选项，它不是一个能买到的产品，而是另外五档趋近的那个极限。国内产品说明里写的『年化收益率』多数指的是名义年利率，与这一页的有效年利率不是同一个数——同一笔钱、同一个报价，换个计息频率结果就不一样，这正是这一页要让人看见的事。金额不带币种：按你输入的那个货币读，输的是人民币就是人民币。
1 万、年利率 5%、十年，按复利频率看
| 每年计息次数 | 十年后的余额 | 利息收益 | 有效年利率（%） |
|---|---|---|---|
| 1 | 16288.95 | 6288.95 | 5 |
| 2 | 16386.16 | 6386.16 | 5.062 |
| 4 | 16436.19 | 6436.19 | 5.095 |
| 12 | 16470.09 | 6470.09 | 5.116 |
| 365 | 16486.65 | 6486.65 | 5.127 |
| ∞ | 16487.21 | 6487.21 | 5.127 |
每一行都是同一笔 1 万、同一个 5%、同样十年，变的只是利息多久入账一次。第一列是这一年里的离散期数，无穷大那个符号代表连续复利的极限。把最后一列和前两列对着读：有效年利率从 5.000% 升到 5.127%，余额在整张表上一共只多 198.26。这些好处大半集中在头两行——从每年一次到每半年一次就值 97.21，而从每日到连续只值 0.56。
公式
FV = P × (1 + r ÷ m)^(m × t)；连续复利时 FV = P × e^(r × t)
- P
- 本金：一开始投进去的那笔钱
- r
- 名义年利率，写成小数而不是百分数
- m
- 一年计息几次：1、2、4、12 或 365
- t
- 这笔钱放着不动的整年数
- FV
- 到期余额，也就是终值
只要一个利率是带着计息方式报出来的，而你想知道实际到手多少，就该用这一页：公式只有上面这一个，频率那一栏改的只是指数里的一个数，别的一处不动。钱进去之前值得用两档频率各跑一遍，因为年计息与月计息的差距是真的，而且随利率和年限一起放大——5%、十年是 181.14，利率更高、年限更长时就是几千。这一页最值得对着看的是最后两个输出：『利息收益』与『不计复利的利息』，前者减后者就是复利本身值多少钱。判断一个报价划不划算时，先把它的有效年利率算出来再横向比，比直接比两个名义利率靠谱得多。
算例
1 万、年利率 5%、十年，每月计息
- 期利率：5 ÷ 100 ÷ 12 = 0.00416667/月
- 期数：12 × 10 = 120 期
- 余额：10,000 × 1.00416667^120 = 16,470.09
- 利息收益：16,470.09 − 10,000 = 6,470.09
- 有效年利率：1.00416667^12 − 1 = 5.116%
- 同样十年的单利：10,000 × 5% × 10 = 5,000.00，所以复利多出 6,470.09 − 5,000.00 = 1,470.09
这是本页的默认输入。最后两个输出要对着读：复利在这里值 1,470.09，而这个数在一个只报利率的页面上是看不见的。
10 万、年利率 4.5%、三十年，每月计息
- 期利率：4.5 ÷ 100 ÷ 12 = 0.00375/月
- 期数：12 × 30 = 360 期
- 余额：100,000 × 1.00375^360 = 384,769.80
- 利息收益：384,769.80 − 100,000 = 284,769.80
- 有效年利率：1.00375^12 − 1 = 4.594%
- 单利：100,000 × 4.5% × 30 = 135,000.00，所以复利多出 149,769.80
与上一个算例比：钱是十倍，年限是三倍，余额却是二十三倍。复利不是一条直线，弯得最厉害的那一段在后面。
1 万、年利率 5%、十年，连续复利
- 连续增长：10,000 × e^(0.05 × 10) = 10,000 × e^0.5 = 16,487.21
- 利息收益：16,487.21 − 10,000 = 6,487.21
- 有效年利率：e^0.05 − 1 = 5.127%
- 同样十年的单利：5,000.00，所以复利多出 1,487.21
连续复利是天花板，不是产品：它比每日计息的 16,486.65 多 0.56，而任何离散频率都追不上它。下面那张表最后一行做的就是这件事。
局限
这一页只算一笔放着不动的钱，仅此而已。它不模拟中途存进去的钱——没有每月定投、没有取出、没有随通胀上调的缴费，所以『每月都往里存』的那种计划要用投资计算器，不是这里。它也假定利率在整个期限内不变：现实里的存款利率会动，促销利率会到期，央行会调息，定期存款到期后要按当时的报价重新存，而这一页给的是按今天这个利率推出来的数，不是承诺。税不在里面，而在多数情况下利息是要缴税的，缴完之后实际留下的那部分长得比这个余额慢——按 20% 的利息税率算，默认算例里到手的利息大约只剩八成。通胀也不在里面，所以十年后的 16,470.09 买不到今天 16,470.09 的东西。全程不逐期舍入，好处是算术精确，代价是可能与银行按每笔入账舍位后的对账单差一两分。国内产品说明里的『年化收益率』多为名义年利率，与这一页的有效年利率不是同一个数，横向比较时要用同一把尺。最后，金额不带币种——你想的是哪种货币，它就是哪种货币。
常见问题
- 复利公式是什么？一笔本金的复利怎么算？
- 把本金乘上『1 加期利率』的期数次方。期利率是年利率除以一年计息几次，期数是那个次数乘以年数。1 万、5%、每月计息、十年就是 10,000 × 1.00416667^120 = 16,470.09，利息收益 6,470.09。这就是复利公式唯一的形态，这一页别的地方只是换了一档频率再读一次。
- 名义年利率和有效年利率有什么区别？
- 名义年利率是报价，这一页默认算例里的 5% 就是它。有效年利率是这笔钱一年下来实际长的比例——因为年内产生的利息自己也会生利息，所以它比报价高：每月计息是 5.116%，连续复利是 5.127%，而一年只计息一次时正好是 5.000%。两者只在年计息时相等，频率越高、利率越高，差得越多。
- 该选哪一档复利频率？
- 选你那个账户实际用的那一档，它通常写在产品条款里。如果是横向比几个产品，比它们的有效年利率而不是比报价利率，因为前者已经把频率算进去了、站在同一个台阶上。频率对存钱的人是帮忙的，对借钱的人是加价的，值得知道它能动多少：1 万、5%、十年，从年计息到日计息差 197.70。
- 连续复利是真实存在的吗？
- 两说都对。没有任何一个存款账户会每时每刻给你计息，所以作为产品它不存在；但作为极限，教科书、期权定价和大量央行口径的算法用的就是它，而且它正是所有离散频率越分越细之后趋近的那个数。1 万、5%、十年：每月 16,470.09，每日 16,486.65，连续 16,487.21。放在这里是为了让你看见天花板在哪。
- 复利频率比利率更重要吗？
- 不是，而且差得远。1 万、每月计息、十年，把年利率从 5% 提到 6% 多出 1,723.88；而在 5% 下把年计息换成连续复利只多 198.26。一个百分点的利率胜过所有频率选项，而这两件事在年数面前又都不值一提。频率是个真实存在、又不花钱就能弄对的效果，但利率和年限压着它。要动就先动利率，再动年限，最后才是频率。
- 这一页为什么不算税和通胀？
- 因为这两件事都取决于这一页无从知道的信息。利息的税取决于你的税率、所在国家和账户是否享受优惠，通胀取决于你指的是哪个指数、哪一段时间。按 5% 滚出来的余额是名义余额，也就是你会看到的那个数；实际回报还要减去这些年里的通胀。把这里的数当成名义数，税和通胀自己另外处理。
参考资料
- 利率政策：贷款市场报价利率（LPR）的形成机制与历次公告——存款与理财报价的市场基准，也是这一页『年利率』那一栏从哪来的 — 中国人民银行（中国）
- 中国货币网 贷款市场报价利率（LPR）：每一次报价的公告值与发布历史，可与上面那一页互相印证 — 中国外汇交易中心暨全国银行间同业拆借中心（中国）
- Compound Interest Calculator — 同一个闭式解的另一份实现，顺便解释了计息频率这一栏怎么读 — 美国证券交易委员会（SEC，Investor.gov）