倍增时间计算器
结果
倍增时间
- 72 法则估算值
- 14.40
倍增时间计算器只回答一个问题：按一个固定的增长率，一个量要多久才能变成现在的两倍。每期增长 5% 时答案是 14.207 期，页面把精确值印出来，旁边是大多数人见过的 72 法则估算值 14.40。精确解来自对数：2 的自然对数除以 1 加增长率的自然对数。这个率是每期增长率而不是年利率，所以银行存款、细菌培养、传染病曲线它都算——「一期」是多长由你定义。0.1% 到 1000% 的率都能填，填 0 或负数的率会被拒收而不是给一个答案。
常被问到的那些增长率对应的倍增时间
| 每期增长率（%） | 倍增时间（期） | 72 法则估算值 |
|---|---|---|
| 1 | 69.661 | 72 |
| 2 | 35.003 | 36 |
| 3 | 23.45 | 24 |
| 4 | 17.673 | 18 |
| 5 | 14.207 | 14.4 |
| 6 | 11.896 | 12 |
| 7 | 10.245 | 10.29 |
| 8 | 9.006 | 9 |
| 10 | 7.273 | 7.2 |
| 12 | 6.116 | 6 |
| 15 | 4.959 | 4.8 |
| 20 | 3.802 | 3.6 |
| 25 | 3.106 | 2.88 |
| 50 | 1.71 | 1.44 |
| 100 | 1 | 0.72 |
把最后两列放在一起往下读，72 法则的形状就出来了：1% 时它多估了两期多，8% 附近两者几乎重合，到 20% 时已经翻到另一侧、开始少估。这个交叉正是这条近似只被用在利率上的原因。100% 那一行是量程底端的检查——每期翻一倍的量，倍增时间正好是 1，而 72 ÷ 100 ＝ 0.72 说明速算法到那里已经漂出去多远。
公式
t ＝ ln(2) ÷ ln(1 ＋ r) t ≈ 72 ÷ R
- r
- 每一期的增长率，写成小数而不是百分数：每期 5% 进到式子里是 0.05。它必须是正的，因为不增长的量永远翻不了倍；输入框里按百分数填。这里描述的是复利式增长——每期的增长都加在已经长出来的部分上，正是这一点让倍增时间是一个有限的数而不是永远等不到。
- ln 2
- 2 的自然对数，约等于 0.693147，精确式子里唯一的常数。它出现是因为「翻倍」意味着增长倍数正好到 2，问题于是变成「要乘多少次 (1 ＋ r) 才能把 1 变成 2」，而对数正是回答这个问题的运算。
- t
- 倍增时间，单位是期，印三位小数。它自己不携带单位：你填的是月率，它就是月数；填的是年率，它就是年数。最后一次翻倍是部分的，所以 t 不是整数——每期 5% 走满 14 期时还差一点到两倍，要到第 15 期中间才越过去。
- R
- 同一个率，但按百分数写，也就是填进框里的那个数。72 法则就是拿 72 除以 R，它是面板上的第二个读数。它在 8% 附近最准，率低时估得偏大、率高时估得偏小，之所以还在用，是因为除以一个整数比查对数容易得多。
已经知道增长率、想要时间的时候用这一页。指数增长计算器是同一个模型的反方向：从初始量与期数出发算期末量。半衰期计算器是它的镜像，倍率固定是二分之一而不是二。72 法则计算器是同一套算术用在钱上，那边的主结果是法则那个数而不是精确解。
算例
每期增长 5%
- 增长率写成小数是 0.05，所以每期把量乘以 1.05
- 精确解是 ln 2 ÷ ln 1.05 ＝ 0.693147 ÷ 0.048790 ＝ 14.207 期
- 72 法则给的是 72 ÷ 5 ＝ 14.4 期
- 两者相差不到半期，这就是法则与真值通常的距离
验算很容易：1.05 的 14 次方是 1.98，还差一点到 2；15 次方是 2.08，已经过了。所以越过去发生在第 14 期与第 15 期之间，正是 14.207 说的位置。这个检查值得做一次，因为它说明那个小数是时间轴上的一个位置，而不是账面上的产物。
每期增长 1%
- 精确解是 ln 2 ÷ ln 1.01 ＝ 0.693147 ÷ 0.009950 ＝ 69.661 期
- 72 法则给的是 72 ÷ 1 ＝ 72 期
- 法则在这里偏大 2.3 期，在 1% 这个量级上就是多等两期多
- 这个偏差是系统性的而不是随机的：72 法则是按 8% 附近调的，率越低漂得越远
低率下的这个差距，正是两个读数要并排显示而不是二选一的理由。一个在长期复利里偏出两期的经验法则，是一个真实的差别；两个数都看得见，才知道在你手上的那个率下该信哪一个。
每期增长 20%
- 精确解是 ln 2 ÷ ln 1.2 ＝ 0.693147 ÷ 0.182322 ＝ 3.802 期
- 72 法则给的是 72 ÷ 20 ＝ 3.6 期
- 这一次法则偏小而不是偏大，这是超过 8% 之后会发生的方向
- 验算：1.2 的立方是 1.728，四次方是 2.074，越过去的位置在第 3 期与第 4 期之间
把这个例子与 1% 那个放在一起看，法则的偏差换了方向——低率时偏大、高率时偏小——这是这条近似的形状，不是它算错了。两个读数最接近的率在 8% 附近：法则给 9，精确解是 9.006。
局限
倍增时间本身不带单位。它的单位就是你填的那个率的期：填的是年率，14.207 就是年；填的是月率，就是月；观察细菌时填的是分钟，那就是分钟。页面无从判断，也不会替你猜。率必须为正，且落在每期 0.1% 到 1000% 之间；0 被拒收是因为两条式子同时无解，负的率描述的是一个在缩小的量，它永远翻不了倍，那种情形归半衰期计算器。倍率固定是 2：这一页只算翻倍需要多久，要算变成三倍或任意倍数要多久得换一页。增长被假定为平滑且恒定，按连续复利处理而不是按年跳一次，这是常用的模型，但银行实际做的并不是它。72 法则那一格按定义就是近似值，它是拿来对照的而不是拿来当答案的，两格之间的误差分析这一页不提供。
常见问题
- 倍增时间怎么算？
- 2 的自然对数除以 1 加增长率的自然对数。每期 5% 时是 0.693147 ÷ 0.048790，得 14.207 期。对数在这里出力，是因为翻倍是同一个乘法重复了未知多次，而对数正好把「重复多少次」变成一次除法。
- 72 法则是什么？准不准？
- 它是用 72 除以百分数率的速算法，所以 5% 大约是 14.4 期翻倍。它在 8% 附近误差只有几个百分点；率低时估得偏大——1% 时它说 72，真值是 69.661；率高时估得偏小，20% 时它说 3.6，真值是 3.802。这一页把两个数都印出来，就是为了让你在自己那个率上看得见这个差。
- 倍增时间的单位是年吗？
- 只有当你填的增长率是年率时才是年。率是每期的率，而期有多长由你决定：月率给出的是月数，日率给出的是天数，二十多分钟翻一倍的细菌给出的就是二十多分钟。页面故意不给输出加单位标签，因为它无从知道你指的是哪一种。
- 为什么填 0 或负的增长率会被拒收？
- 因为它们都不会翻倍。填 0 时量永远停在那里，而 72 法则还要除以 0；填负数时量在缩小，这时诚实的问法是半衰期而不是倍增时间。低于每期 0.1% 的率出于同样的实际理由被拒收，缩小的那一半交给半衰期计算器。
- 这一页与指数增长计算器有什么不同？
- 方向不同。这一页从增长率出发，返回一个时间；指数增长计算器从增长率与期数出发，返回最终的量。底下的模型是同一个，所以「每期 5% 时倍增时间是 14.207 期」与「增长倍数在这条指数曲线上第 14.207 期到 2」是同一句话。
参考资料
- Exponential Growth — 增长量与当前量成正比的那种增长，以及由它推出的倍增时间 — Wolfram MathWorld（美国）
- Exponential Function — 自然底数 e、抵消它的自然对数，以及 ln 2 为什么会出现在每个翻倍公式里 — Wolfram MathWorld（美国）
- Compound Interest — 同一个增长因子一期一期乘下去，倍增时间最常在这里第一次遇到 — Wolfram MathWorld（美国）