72 法则计算器
结果
翻倍年数（72 法则）
- 翻倍年数（精确值）
- 9.006
- 72 法则的误差
- -0.006
- 按法则年数实际拿到的倍数
- 1.9990
72 法则是一条心算捷径：用 72 除以年利率，得到的数大致就是资金翻倍要多少年。它真的有用，也真的只是近似，而这一页把这句话的两半都印出来。第一个输出是法则给的年数，第二个是精确解——它来自把复利等式反解出时间，而不是来自任何一次除法，第三个是两者之差。那个差才是这一页最值得看的数，因为它的符号会变。年利率 1% 时法则说 72 年，精确答案是 69.661 年，捷径把等待说多了两年多；年利率 20% 时法则说 3.60 年，精确答案是 3.802 年，这回它把等待说少了。在 7% 与 8% 之间两个数交错而过，法则在那一带几乎完全准确——这也是本页默认值取 8 的原因，以及下面那张表里 7% 与 8% 两档必须同时存在的原因。第四个输出把同一个误差从年数换成了钱：它按你的利率、照法则说的年数，把钱滚一遍，告诉你最后实际拿到几倍。8% 时是 1.9990 倍而不是 2 倍，20% 时只有 1.9278 倍。这一页不打算解释 72 这个数字是怎么来的——那是一个关于历史与惯例的问题，而这里有用的是你能自己核对的那部分算术。
从 1% 到 20% 共九档：法则、精确值，以及两者之差
| 利率（%） | 72 法则（年） | 精确值（年） | 误差（年） | 按法则年数拿到的倍数 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 72 | 69.661 | 2.339 | 2.0471 |
| 2 | 36 | 35.003 | 0.997 | 2.0399 |
| 5 | 14.4 | 14.207 | 0.193 | 2.019 |
| 7 | 10.29 | 10.245 | 0.041 | 2.0055 |
| 8 | 9 | 9.006 | -0.006 | 1.999 |
| 10 | 7.2 | 7.273 | -0.073 | 1.9862 |
| 12 | 6 | 6.116 | -0.116 | 1.9738 |
| 15 | 4.8 | 4.959 | -0.159 | 1.9559 |
| 20 | 3.6 | 3.802 | -0.202 | 1.9278 |
把误差那一列从上往下读，看它换符号，这就是整张表的要点。1% 时法则多了 2.339 年；随着利率上升这个差一路缩小，经过 7% 时还是勉强为正的 0.041，到 8% 时刚刚变成负的 0.006。两行都必须在这里：一张从 5% 直接跳到 10% 的表，误差那一列只会越来越负，看起来就像「法则一律说得偏少」，而真相是它在中间那一段最准。交错点以下倍数大于 2，说明法则让你等久了；交错点以上倍数跌破 2 并继续下探，到 20% 时照法则做只能拿到 1.9278 倍而不是 2 倍。
公式
72 法则：翻倍年数 ≈ 72 ÷ 年利率； 精确值：翻倍年数 = ln(2) ÷ ln(1 + 年利率 ÷ 100)
- 年利率
- 按百分数填的年利率——8 就是 8%——它必须大于零，因为两条式子都在零上除以一个消失的量
- 72
- 捷径的分子，选它是因为在人们最常遇到的利率区间里，这个除法心算起来最方便
- ln(2)
- 2 的自然对数，约等于 0.6931；它出现是因为「翻倍」意味着解出 (1 + r) 的 n 次方等于 2
- 翻倍年数
- 在复利口径下这笔钱翻一倍要多久；捷径的答案与精确答案并排给出
- 误差
- 法则的答案减精确答案：低利率时为正，高利率时为负
- 按法则年数拿到的倍数
- 照法则说的年数等下去，钱实际变成几倍——在几乎所有利率上都略低于 2
需要当场在对话里报一个数时用捷径，答案要落到纸面上时用精确值。因为两者在大多数日常利率的区间里贴得很近，这条捷径在 5% 到 10% 之间最好用，而在两端最差：大约 3% 以下它把等待说得太长，大约 15% 以上又说得太短。倍数那个输出回答的是误差提出的、但误差本身没能了结的问题：差了五分之一年，到底损失了什么。20% 时，照法则等 3.6 年而不是精确的 3.802 年，你拿到的是 1.93 倍而不是 2 倍，少掉的大约是应得收益的 7%——在把这条捷径用到高利率上之前，这件事值得先知道。
算例
8%：法则最准的那一档
- 法则：72 ÷ 8 = 9.00 年
- 精确值：ln(2) ÷ ln(1.08) = 0.693147 ÷ 0.076961 = 9.006 年
- 误差：9.00 − 9.006 = −0.006 年，大约两天
- 按 8% 滚满 9 年：1.08⁹ = 1.9990
默认值取 8 是因为这是法则表现最好的一档，而好到什么程度值得看清：九年里差了大约两天。倍数那个输出同时告诉你它仍然不是精确的——按 8% 复利滚九年，钱变成 1.9990 倍而不是 2 倍，还差几天才补上最后那千分之一。
1%：法则把等待说多了两年多
- 法则：72 ÷ 1 = 72.00 年
- 精确值：ln(2) ÷ ln(1.01) = 0.693147 ÷ 0.009950 = 69.661 年
- 误差：72.00 − 69.661 = +2.339 年
- 按 1% 滚满 72 年：1.01⁷² = 2.0471
在存款利率这一档，捷径把等待说得很宽裕，而方向与大多数人的直觉相反。倍数把这个结果说具体了：按 1% 等满法则说的 72 年，钱变成 2.0471 倍而不是 2 倍——那多出来的两年多不是白等，只是等过头了。这是全表里误差最大的一档。
20%：这回法则把等待说少了
- 法则：72 ÷ 20 = 3.60 年
- 精确值：ln(2) ÷ ln(1.2) = 0.693147 ÷ 0.182322 = 3.802 年
- 误差：3.60 − 3.802 = −0.202 年
- 按 20% 滚满 3.6 年：1.2^3.6 = 1.9278
把这一条与 1% 那一条对着看，这一页的要点就出来了：误差换了符号。法则现在承诺的翻倍早了五分之一年，照它做你拿到的是 1.9278 倍而不是 2 倍，大约少掉预期收益的 7%。两个算例在利率上离得很远、在「误差的年数」上却差不多，这就是为什么单看误差的年数不可靠，倍数必须印在旁边。
局限
72 法则是一个近似，这一页不假装它不是；它做的是告诉你这个近似在你的利率上有多大。它假定利率按复利计息，也假定整个期间利率不变——中途变过的利率没有单一的翻倍年数，这条法则也表达不出来。它只在利率大于零时可用，因为除法与对数在零上都失效，所以字段不接受低于 0.1% 的利率。它不考虑税与通胀，所以它给出的翻倍时间是名义金额的：在 3% 的通胀下，一笔二十四年名义翻倍的存款，购买力并没有翻倍。它描述的是一笔放着不动的一次性本金，所以不适用于每月存入的钱，那种情形的算术是另一套，答案也更短。最后，这条捷径是关于 72 这个数字的规则，不是关于你的投资的——要落到纸面上时用精确值，只是聊天时用捷径。
常见问题
- 72 法则怎么用？
- 用 72 除以年利率，得到的数大致就是资金翻倍要多少年。8% 时是 9.00 年，而精确答案是 9.006 年，几乎完全吻合；1% 时它说 72 年而精确值是 69.661 年；20% 时它说 3.60 年而精确值是 3.802 年。它是一条心算捷径，这一页把精确的翻倍年数印在它旁边。
- 为什么 72 法则只是近似？
- 因为它用一次除法替掉了一个对数。精确的翻倍年数来自把复利等式反解出期数，结果是 2 的自然对数除以「1 加利率」的自然对数；捷径用了一个固定的分子，而那个分子只在某一段利率区间里贴合。两个答案大约在 7% 与 8% 之间交错，交错点两侧朝相反的方向越走越远。
- 72 法则是偏大还是偏小？
- 两个方向都有，取决于利率，这一点最出人意料。在交错点以下，捷径给的年数偏多：1% 时说 72 年，精确值 69.661 年，多说了两年多。在交错点以上它偏少：20% 时说 3.60 年，精确值 3.802 年。误差的符号在 7% 与 8% 之间翻转——7% 时还是正的 0.041，8% 时已经变成负的 0.006。
- 按法则年数拿到的倍数是什么意思？
- 就是照法则说的年数一直等下去，钱最后实际变成几倍。按 8% 滚 9 年得到 1.9990 倍，而不是法则暗示的 2 倍；按 20% 等法则说的 3.60 年，只得到 1.9278 倍。它把误差从年数换成了钱，而只有换成钱，你才看得出这个误差让你损失了什么。
- 低利率也能用 72 法则吗？
- 能用，但利率越低误差涨得越快，而且方向是把等待说得太长。1% 时捷径说 72 年，精确的翻倍时间是 69.661 年，差出两年多；按 1% 滚满 72 年，钱变成 2.0471 倍。利率为零或更低时字段直接不接受，因为除法与对数在那里都失效。
- 72 法则考虑通胀和税吗？
- 不考虑，这一页上的精确值也不考虑。两者都只按你填的那个利率算，所以如果填的是名义回报，翻倍时间就是名义金额的：在 3% 的通胀下，一笔二十四年名义翻倍的存款，购买力并没有翻倍。税也是一样，中途被征税的回报按更低的实际利率复利，税后利率的翻倍时间比这里显示的长。
参考资料
- 31 CFR Part 356 附录 B：Formulas and Tables —— 美国国债的现值系数与定价公式，含 $1,000 × 8% ÷ 2 = $40 这个可核对的算例 — 美国财政部法规，经美国联邦法规电子版（eCFR）发布（美国）
- Compound Interest Calculator —— 同一个等式的正向写法，用来把一个利率代回去验证余额增长 — 美国证券交易委员会投资者教育站（Investor.gov，美国）
- H.15 Selected Interest Rates —— 算出来的那个利率要跟市场比时，比的是这里的数 — 美国联邦储备系统理事会（美国）