年化收益率计算器
结果
年化收益率
- 总回报 ÷ 年数
- 12.000%
- 增长倍数
- 1.6000
基金月报上印着「五年涨了 60%」，接下来所有人都会问一句：那一年是多少？这一页回答这个问题，然后有意地再回答一遍。主结果是年化收益率：在持有期里每一年都按这个利率复利，你的起点值正好会变成终点值的那个利率。它不是把总回报除以年数。五年涨 60% 的年化收益率是 9.856%，而除法的答案是 12%，两者的差别不是舍入，而是「复利」与「不复利」的差别。把一个月的数乘 12 得到的是美国证监会所说的年百分率（A.P.R.），那是一种被承认的报法，与年化收益率不是同一个东西，而这一页把两个数都印出来，让差距看得见、不必争。差距随收益的大小与时间的长短一起变大：五年 60% 差 2.1 个百分点，二十五年 200% 则是年化 4.492% 对除法的 8%。你填的那个百分数必须是钱本身的总回报，也就是价格变动加上再投资的分红，而不是某个公布的净值涨跌幅。亏损走的是同一套算法，而大小关系会翻转：四年亏 50% 年化是 −15.910%，除法口径是 −12.5%——下跌的时候，那道除法反而把亏损说得更轻。
持有期固定为五年，六档总回报
| 总回报（%） | 年化（%） | 除以年数（%） | 倍数 |
|---|---|---|---|
| 20 | 3.714 | 4 | 1.2 |
| 40 | 6.961 | 8 | 1.4 |
| 60 | 9.856 | 12 | 1.6 |
| 80 | 12.475 | 16 | 1.8 |
| 100 | 14.87 | 20 | 2 |
| 150 | 20.112 | 30 | 2.5 |
每一行的持有期都是五年，这是有意固定的，为的是让沿表往下变的只有总回报——另一个维度「时间」由 CAGR 那一页负责。中间两列要一起读：总回报 20% 时年化是 3.714% 对除法的 4%，到 150% 时年化是 20.113% 对除法的 30%，差距从 0.3 个百分点拉大到将近 10 个。最后一列是同一个信息在「我的钱翻了几倍」这个单位下的样子：五年涨 100% 是 2 倍与年化 14.870%，而不是除法暗示的 20%。
公式
年化收益率 = ((1 + 总回报 ÷ 100)^(1 ÷ 年数) − 1) × 100
- 总回报
- 整个持有期赚或亏的百分数——60 表示这笔钱涨了六成——含再投资的分红
- 年数
- 持有期的整年数，至少为 1
- 年化收益率
- 在这几年里每年都按这个复利利率增长，正好能得到同样的总回报；这是主结果
- 除以年数
- 把总回报平均摊到每一年、不计复利，属于年百分率那一族的报法，是另一个数
- 倍数
- 终点值除以起点值，也就是一加上总回报的小数形式：涨 60% 就是 1.6 倍
手里有一个总回报和一段持有期，要拿这个结果去和任何按年报价的东西比的时候就用它——另一只基金、一个存款利率、一个基准指数。回报率在公开场合基本都是以这个形式发布的，因为基金广告上那个「average annual total return」就是复利口径而不是除法口径，而管这件事的披露规则要求按一年、五年、十年三段固定期间给出。它也适用于一次性投入、持有一段时间之后卖出的情形。它不适用于中途不断加钱的情形，因为后加的钱并没有投满整段期间；靠每月定投长大的账户要用资金加权口径，而这一页会根据钱到账的时间把它高估或低估。它同样不是预测：过去的年化收益率是一条涨跌路径的平均值，一只基金五年复合 9.856% 这件事，对下一个五年什么也没说。
算例
五年涨 60%：每年 9.856%，不是 12%
- 这笔钱涨到了起点值的 1.6 倍
- 年化：1.6^(1 ÷ 5) − 1 = 1.09856 − 1 = 9.856%
- 除以年数：60 ÷ 5 = 12.000%
- 两者相差 2.144 个百分点
这是默认算例，因为这句话是人们真的会脱口而出的那一句。每年 12% 复利五年会得到 76.2% 而不是 60%，原因就是 12% 这个数是一条直线，而钱是沿着曲线长的。除法那个数不是错误——它是年百分率背后的口径——但它是另一个数，而在一页把两个都印出来的页面上，你能看出基金说明书引用的是哪一个。
一笔亏损：四年亏 50%
- 这笔钱跌到了起点值的 0.5 倍
- 年化：0.5^(1 ÷ 4) − 1 = 0.840896 − 1 = −15.910%
- 除以年数：−50 ÷ 4 = −12.500%
- 两者相差 3.41 个百分点，方向与赚钱时相反
这里大小关系翻转了，而这一处最容易写错。赚钱时复利那个数比除法小；亏损时它的绝对值反而更大，所以年化让亏损显得更重，除法让它显得更轻。按每年 12.5% 复利亏四年会亏掉 41.4% 而不是 50%，这是同一件事从另一面看过去的样子。
二十五年涨 200%：差距最大的一档
- 这笔钱变成三倍
- 年化：3^(1 ÷ 25) − 1 = 1.04492 − 1 = 4.492%
- 除以年数：200 ÷ 25 = 8.000%
- 两者相差 3.508 个百分点，是全表里差距最大的一档
「翻了三倍」听着像件大事，「每年 4.492%」听着像件小事，而它们是同一件事。这就是为什么任何总回报都必须带着持有期才有意义：二十五年 200% 是一个平庸的速率，同样 200% 放在八年里是每年 14.7%，而一个光秃秃的百分数分不出你手上是哪一个。
局限
这个数只跟你填进去的那个百分数一样可靠，而那个百分数必须是钱本身的总回报，不能是某个公布价格的涨跌幅。如果一只基金净值涨了 40%、还把分红分给了你并做了再投资，那么总回报高于 40%，填价格涨跌幅会把年化算小——而这类错误产出的是一个看起来合理的更小数，所以永远不会被当成错误发现。持有期按整年计，所以持有了十八个月的情形要么写成整年、要么改用别的口径，这一页不接受小数年数。它假定一次性投入、中途不动，所以中途加钱或取钱会让它失真。它假定每一年都是同一个利率，而没有哪种投资是这样的：年化收益率是一条路径上的平均值，两个平均值相同的基金可以走出完全不同的路径。这里也不含税、不含通胀，更不是预测——过去的年化收益率描述的是发生过的事，不是一个你可以指望重演的利率。
常见问题
- 年化收益率怎么算？
- 用终点值除以起点值，把结果开「年数」次方，再减一。五年涨 60% 就是 1.6 倍，1.6 的五分之一次方是 1.09856，所以年化收益率是 9.856%。把 60 除以 5 得到 12%，那是另一种口径下的另一个数。
- 为什么年化收益率比直接除以年数小？
- 因为复利走的是曲线，除法走的是直线。每一年赚到的钱，下一年连同上一年的收益一起生息，所以要到达同一个终点，恒定的年利率必然小于总回报的平均数。赚钱时复利那个数总是两个里较小的；差距随收益变大、时间变长而变大，二十五年 200% 时相差 3.5 个百分点。
- 亏损的时候也一样吗？
- 一样，但大小关系翻转。四年亏 50% 的年化是 −15.910%，而除以年数是 −12.5%，这回复利那个数的绝对值更大、除法那个数把亏损说得更轻。原因是同一条曲线从另一头看：把亏损扳回来需要的涨幅比亏损本身更大，而四年内让本金减半的那个恒定年率，必然比它的四分之一更陡。
- 这一页和 CAGR 计算器差在哪？
- 差在输入，不在算法。两页解的是同一个等式，返回的都是复合年增长率。CAGR 那一页收两个金额，适合你手上是对账单两行记录的时候；这一页收一个总回报百分数加一段持有期，适合你手上是基金月报的时候。两个输入没有谁更正确，两页互相链接，读者从哪一侧进都行。
- 除以年数那个数是错的吗？
- 不是，它是一种不同的口径。把一个期间利率按期间数线性摊开，得到的是美国证监会所说的年百分率（A.P.R.），它是被广泛使用的报价与比较方式。它只是不复利，所以它不描述这笔钱逐年实际发生了什么，也不该拿去和存款利率或基金广告上的平均年总回报比——后两者都是复利口径的数。
- 总回报具体指什么？
- 指钱本身的价值变动，也就是价格变动加上再投资的分红。如果一只基金净值涨了 40%，同时分给你的红利被再投资进去，那么总回报高于 40%，只填价格涨跌幅会把年化算小。以现金形式拿走、没有留在里面的分红是另一回事，那笔钱已经离开了这笔投资，没有参与复利。
参考资料
- Annual Return —— 术语表条目原文写明「年收益率有很多种算法」，并指出「按月乘 12」那种叫 A.P.R. — 美国证券交易委员会投资者教育站（Investor.gov，美国）
- 17 CFR 230.482 条（Rule 482）：基金的「average annual total return」按一年 / 五年 / 十年三段披露，算法依 Form N-1A — 美国证券交易委员会法规，经美国联邦法规电子版（eCFR）发布（美国）
- 贷款市场报价利率（LPR）的形成机制与历次公告 —— 国内的基准利率，拿一个算出来的年化去和市场比时，比的是这里的数 — 中国人民银行（中国）