幂运算计算器

bⁿ ＝ b × b × … × b（n 个 b） b⁻ⁿ ＝ 1 ÷ (b × b × … × b)

b

底数，被反复乘的那个数。它是纯数，没有单位；可以是负数、小数或零，每一种各有各的规矩。负底数只配整数指数——负数的偶次方根不是实数，而底数一旦配上非整数指数，算的就是根

n

指数，底数在乘积里出现几次。这一格收实数：分数指数就是开方（0.5 是平方根，三分之一是立方根），负号表示取倒数而不是把答案变成负数

bⁿ

幂本身，面板上的主结果。它在 0.001 到一百万之外会改写成科学计数法，所以 2 的 64 次方印成尾数乘十的幂，而不是二十位整数。这一页不砍范围，唯一的天花板是双精度本身

b × b × … × b

展开式，同一个式子写成重复乘法。超过六项就缩写成一个省略号；六项以内原样写全，所以 3 的 4 次方看得到四个因子，2 的 10 次方看不到十个

b⁻ⁿ ＝ 1 ÷ (b × b × … × b)

负指数在做的事：取正次幂的倒数，用一去乘那个积。2 的 −3 次方是 1 ÷ 8，不是 −8。这是幂的写法里最常被读错的一格，也是展开式值得印出来的原因——整页只有那一格能看出「倒数」这两个字

b⁰ ＝ 1

任何非零底数的零次幂都是 1，展开式那一格印的是一个光秃秃的 1，而不是一句「零个 b 相乘」。这不是约定：指数每降一格就除以一次底数，降到 0 时除的就是自己的全部，7 ÷ 7 ＝ 1。零的零次幂是这条规律唯一管不到的一格，所以它被拒收

指数 0.5

分数指数就是开方：一个数的 0.5 次方是它的平方根，三分之一次方是立方根。这正是负底数配分数指数被拒收的原因——负数的立方根在实数里是 −2，但按幂的算法走不到那里，而开方计算器是知道这个区别的那一页

凡是「同一个数自己乘自己若干次」的问题都是这一页。最直白的一种是把它当成一个乘数反复用：年增长率写成一个因子连乘若干期、翻倍这件事连着发生若干次、一个缩放比例反复施加、同一件事连着若干次都发生的概率。另一种是把它当成单位来读：存储容量为什么是 1024 的整数倍、屏幕分辨率、位宽、一张纸对折若干次之后的厚度。它还有一个更安静却更常见的用处——核对别的页面的结果。复利、指数增长、半衰期那几页印出来的都是钱的数字或量的数字，而它们背后都是同一个幂，想知道那个数有没有算错，把这边的底数与期数填进来就能自己乘一遍。反过来，底数固定、由增长率算出来的那一族问题在指数增长计算器那一页；已知幂与底数求指数，是取对数的活，在另一页；已知幂与指数求底数，是开方的活，也在另一页。

1. 2 的 10 次方

   1. 底数是 2、指数是 10，也就是十个 2 连乘
   2. 两两成对地乘：2 × 2 ＝ 4，4 × 4 ＝ 16，16 × 16 ＝ 256，这时候用掉了八个因子
   3. 还剩两个：256 × 2 × 2 ＝ 1024
   4. 因子超过六个，展开式缩写为 2 × 2 × … × 2

   参考表最后一行，也是这一批里最值得背下来的一个数——一个千字节是 1024 字节，就是它。展开式的缩写不是地方不够：十个因子加一个省略号，与十个因子写全是同样的信息量，而「几个」这件事在你填的指数那一格里已经有了。这一格还是「2 的幂」这一族里唯一同时出现在两种日常语境里的数：内存与图片尺寸。

2. 2 的 −3 次方

   1. 指数是负的，所以答案是正次幂的倒数
   2. 先算正次幂：2 × 2 × 2 ＝ 8
   3. 取倒数：1 ÷ 8 ＝ 0.125
   4. 展开式印的是那句除法本身，所以「取倒数」这件事在面板上看得见

   展开式在这一格挣回了它的位置。把负号读成「答案是负的」的人会等来 −8，拿到的是 0.125；而 1 ÷ (2 × 2 × 2) 这一行让倒数变成看得见的东西，而不是一个要记住的规则。它同时也是唯一能说明「答案一定小于 1」的那一格：用一去乘一个大于一的数，结果没有别的可能。

3. 1.05 的 4 次方

   1. 四个 1.05 连乘，也就是按 5% 涨四期
   2. 两个因子：1.05 × 1.05 ＝ 1.1025
   3. 四个因子：1.1025 × 1.1025 ＝ 1.21550625
   4. 幂印六位小数，读作 1.215506

   这一页在课堂之外最常被用到的形状：底数是略大于 1 的小数，指数是期数。四个因子给出 1.2155，读成「四期一共涨了 21.55%」——那个增长率本身是指数增长计算器从你填的百分数里推出的底数，而那一页会直接把 21.55% 印出来，不必自己再减一。两页并存的理由是：这一页的底数由你自己填，那一页要的是增长率与期数。

4. 7 的 0 次方

   1. 指数为零，意思是这个乘积是空的——一个 7 都没乘
   2. 空乘积等于 1，因为 1 是乘法的单位元：乘上它不改变任何东西
   3. 按「每降一格除以一次底数」这条规律往下走也对得上：7¹ ÷ 7 ＝ 1，而 7⁰ ÷ 7 ＝ 7⁻¹ 要求 7⁰ 就是 1
   4. 展开式印的是那个光秃秃的 1，不是一句「零个 7 相乘」

   最常被猜成 0 的一格，也是这一页的参考表要从 2⁰ 开始排的原因。什么都没乘，所以出来的东西不能来自任何因子——但 1 是唯一能让相邻几格全部保持正确的值，定义取的是这一条而不是直觉。顺带说一句：指数里的 0 与「结果是 0」没有关系，指数为零说的是乘法做了几次，不是乘法还剩多少。

5. −2 的 3 次方

   1. 底数是负数、指数是整数，这是允许的组合
   2. −2 × −2 ＝ 4，两个负数相乘得正
   3. 4 × −2 ＝ −8
   4. 负因子的个数是奇数，所以答案是负的

   负底数本身不被拒收，被拒的是负底数配非整数指数——那才是答案不再是实数的地方。结果的符号跟着指数的奇偶走，而展开式让「几个负号」变成可以数出来的东西：三个 −2 两两配对一次，还剩一个负因子。把指数改成 4，答案就是 +16。

这一页只做一件事：把一个数乘方。它不做幂的运算——不同底数的幂相加、相乘、相除，公式块里写着那几条规律，但这里没有第二个底数可以套上去，所以那几步得自己写。它也不取对数：已知幂与底数求指数是反过来的问题，在另一页。负底数只收整数指数，而这种拒收不是「算不出来」——−8 的立方根真的是 −2——是一个分流决定：能把它算出来的那条路是开方而不是乘方，而开方那一步的规矩写在开方计算器里。结果由双精度浮点算出来，双精度精确的地方它才精确：整数在 2 的 53 次方以内都是精确的，再往上，一个整数回来时相邻的整数已经与它分不开了。指数限制在 ±64、底数限制在百万，两个都是显示范围而不是数学范围，真正的天花板是结果不再是可表示的数，撞上它的时候这一页抛错而不是印一个无穷大。展开式超过六项就缩写，所以它是一份读得懂的乘法，不是一份逐项的记录。

负指数是什么意思？

意思是取正次幂的倒数，不是把答案变成负数。2 的 −3 次方是 1 ÷ (2 × 2 × 2)，等于 0.125——比 1 小，不是比 0 小。这一页的展开式那一格印的是那句除法而不是只印 0.125，因为负号是这套写法里唯一经常被读反的地方。

为什么任何数的 0 次方都等于 1？

因为指数为零的意思是乘积是空的，而空乘积等于 1——1 是乘法的单位元，乘上它不改变任何东西。按「指数每降一格就除以一次底数」这条规律走也一样：从 7¹ ＝ 7 降一格就是 7 ÷ 7 ＝ 1。它不会是 0：什么都没乘，所以出来的东西不能来自任何因子。

0 的 0 次方是多少？

它没有定义，这一页因此拒收而不是给一个数。两条规律在这里撞上：任何非零底数的零次幂是 1，而零的任何正数次幂是 0。JavaScript 对这个式子给的是 1，但那是这门语言为了让自己的各种运算彼此自洽而定下的，不是数学结论，所以这一页不跟着它走。

指数可以填小数吗？比如 0.5。

底数为正的时候可以，指数 0.5 就是开平方，2 的 0.5 次方是 1.414214。负底数配小数指数不收，因为那个答案不是实数：分数次幂的算法要过一次对数，而负数在实数范围内没有对数。负数的奇次方根是实数，知道这个区别的是开方计算器那一页。

为什么展开式超过六项就变成省略号？

因为再往上，省略号与写全的信息量完全一样。2 的 64 次方写出来是一百多个字符的同一个因子，而「几个」这件事已经在你填的指数那一格里了，缩写成 2 × 2 × … × 2 不丢任何东西。六项以内是写全的，所以 3 的 4 次方看得到四个因子。

结果什么时候会变成科学计数法？

离开 0.001 到一百万这个区间的时候。区间之内印普通小数，因为 9375 一眼读得完，而 9.375 × 10³ 还要先在脑子里翻一层。区间之外尾数与十的幂一起印，于是 2 的 64 次方读作 1.844674 × 10¹⁹，而不是一串二十位、量级看不出来的整数。

• Power — 幂的定义（重复乘法），以及负指数与分数指数各自的规则 — Wolfram MathWorld（美国）
• Exponentiation — 幂运算本身，包括负指数的倒数规则与 0⁰ 这一未定式的处理 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；有理数的乘方、零指数幂与负整数指数幂、以及科学计数法都是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部