开方计算器

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) ＝ m · ⁿ√r ⁿ√x ＝ x^(1/n)

x

被开方数，被开方的那个数。这里是整数，根指数为奇数时它可以是负数。收整数这件事关乎精确形式而不是关乎算术：2.5 的平方根是个完全正常的数，但它的精确形式是根号下面压着分数的形状，而那个格子印的是系数配更小的根号

n

根指数，2 到 12。根指数为 1 是恒等式——任何数的一次根就是它自己——根指数为 0 没有定义，所以两头都拒收。上界 12 是实用的：精确形式靠的是找出能整除被开方数的最大的完全 n 次幂，而那些数很快变得稀疏，12 往上那个格子多半会是一个空根号配一个巨大的数

ⁿ√x

根的数值，面板上的主结果，开不尽时印六位小数。这是拿去继续算的那个值，也是会丢信息的那个：8.485281 看不出它来自 √72 而不是 √71.9999，旁边那一格才知道

m · ⁿ√r

精确形式：能整除被开方数的完全 n 次幂被提到根号外面，写成系数配一个更小的根号。√72 得到的是 6√2，因为 72 是 36 × 2、而 36 是完全平方。被开方数本身是完全幂的时候根号里什么都不剩、根号整个消失，答案写成一个整数——这一页就是用这个方式告诉你它开尽了

x^(1/n)

同一个根写成幂的样子，也是它被算出来的方式。两种记法是同一种运算，知道这一点是有用的：指数 1/n 就是分数指数为什么等于开方的原因。幂运算计算器直接收这个形状，被开方数不是整数或根指数不是整数的时候该去那一页

√

不写指数的根号永远表示平方根，所以这一页根指数为 2 时印一个光秃秃的 √、为 3 时印 ∛。再往上记号就不够用了：根指数写在根号前面，而系数与 4 以上的根指数之间这一页会补一个乘号——2 × 4√2——因为 24√2 会被读成二十四倍根号二

凡是根需要化简、而不只是需要一个数值的时候都是这一页，这也是它与「只印小数的平方根工具」的区别：把 √72 化成 6√2、判断一个数是不是完全平方、以及答案被要求写成精确形式的那种题。开方周围反复出现的两个问题也归它——负数的立方根是多少（奇数次的答案是实数），以及某个数的四次根是多少。根指数不是整数时改用幂运算计算器，分数指数就是同一种运算写成幂的样子，那一页直接收。根号不是单独出现、而是落在某个公式里面时改用一元二次方程求根计算器，判别式就是一次开方，那一页会连它的符号一起读。只想要平方根或只要立方根时，另有平方根计算器与立方根计算器，各自带着那一种情形专属的正文。

1. 16 的平方根

   1. 根指数是 2、被开方数是 16，也就是开平方
   2. 16 是 4 × 4，是完全平方，所以整个数都能开出来
   3. 根是 4，而且它是精确值而不是舍入过的
   4. 精确形式印一个光秃秃的整数 4，根号一点都不剩

   这一页被打开得最多的一格，也是精确形式那一列报告「成功」的样子：没有根号、没有小数，只有一个整数。只想确认 16 是不是完全平方的人，看第二列就够了，第一列可以不看。

2. 72 的平方根

   1. 72 不是完全平方，所以它的平方根是无理数
   2. 能整除 72 的最大完全平方是 36，因为 72 ＝ 36 × 2
   3. 把 36 提出去得到 6：√72 ＝ 6√2
   4. 数值是六位小数下的 8.485281，而 6√2 才是精确值

   整个页面存在的理由就在这一格。8.485281 是近似值，而面板把精确形式印在旁边就是把这件事说出来了；只印小数的竞品留给读者的那个数根本不是 72 的平方根。根号里剩下的那个 2 也是最快的读法——里面还有东西，所以没能开尽。

3. 54 的立方根

   1. 根指数是 3、被开方数是 54，也就是开立方
   2. 54 不是完全立方，但 27 能整除它：54 ＝ 27 × 2
   3. 把 27 提出去得到 3：∛54 ＝ 3∛2
   4. 数值是 3.779763

   同样的化简换一个根指数，也是「这是一页而不是两页」的证据。真正要动手的那一步是找出 54 以下最大的完全立方——是 27 而不是 8——而这一页的参考表就是让那次查找变快的那张表：三的立方是 27，四的立方是 64，64 已经太大了。

4. 32 的四次根

   1. 32 是 16 × 2，而 16 是四次方，因为 16 ＝ 2⁴
   2. 把 16 提出去，外面留下 2：⁴√32 ＝ 2 × ⁴√2
   3. 补乘号是因为根指数 4 在 Unicode 里没有单一码位的根号
   4. 数值是 2.378414

   记号必须小心的一格。写成 24√2 的话，大多数人会读成二十四倍根号二，所以根指数到 4 以上时这一页都会补一个乘号——系数与根指数都是数字，中间得有个东西把它们分开。√ 与 ∛ 没有这个问题，所以乘号只从根指数 4 开始出现。

5. −54 的立方根

   1. 被开方数是负数、根指数是奇数，所以根是实数
   2. 绝对值那部分与前面一样化简：∛54 ＝ 3∛2
   3. 负号提到最外面，精确形式印成 −3∛2
   4. 数值是 −3.779763

   负数那一格，也是精确形式唯一有自己规矩的地方：负号写在整串式子的最前面，而不是塞进根号里。它同时是幂运算计算器把读者送过来的入口——那一页拒收负底数配分数指数，因为那条路的底子里要过一次对数，而这里靠开方把同一个问题回答了。

被开方数必须是整数。2.5 的平方根是实数，这一页不收，因为那个根的精确形式是根号下面压着一个分数——精确形式那一列没有这种形状的位置——而只印小数等于把精确答案悄悄丢掉。小数或分数的被开方数请改用幂运算计算器，写成分数指数。负数只在奇数次根下收：−8 的立方根是 −2，而 −4 的平方根不是实数，这一页拒收它而不是印一个复数值。根指数是 2 到 12 之间的整数；根指数 1 是恒等式、0 没有定义，两个都不收，而分数根指数写成分数次幂去幂运算计算器。开不尽时根印六位小数，那是显示的界限而不是精度的界限——背后的算术是完整的双精度。精确形式化简到「把完全幂提出来」这一步，也就是化简根式的标准形式，这一页不做分母有理化：根号出现在分母里是读者自己的事。被开方数限制在十亿以内，这条界限关乎成本而不是数学——化简靠的是试除，被开方数再大只会让页面在输入时变慢，不会算错。

精确形式与小数有什么区别？

小数是舍入过的值，精确形式是值本身。72 的平方根精确地等于 6√2，8.485281 是它六位小数下的样子，所以 8.485281 自乘得到的是 71.99999… 而不是 72。这一页两个都印，因为各自单独都误导：小数是拿去算的那个，精确形式是告诉你开没开尽的那一个。

根式怎么化简？

找出能整除被开方数的最大的完全平方，把它的平方根提到根号外面，剩下的留在里面。72 的那一个是 36，因为 72 ＝ 36 × 2，所以 √72 ＝ 6√2。如果没有任何完全平方能整除它——2、3、5、7 以及所有没有重复质因数的数都是这样——根式就化简不了，精确形式就是 √2。

负数可以开平方吗？

这一页不收，而且它作为实数在哪里都不能开。−4 的平方根是 2i，一个复数，而这一页是实数工具。奇数次根不一样：−8 的立方根是 −2，一个完全普通的实数，因为三个负数相乘得负。所以这一页收「−8 配根指数 3」，拒收「−4 配根指数 2」。

被开方数为什么不能填小数？

因为精确形式没有地方放它。2.5 的平方根是 √10 ÷ 2——分子上带根号的分数——而这一页精确形式那一列印的是系数配根号，不是分数。与其印一个小数、把精确答案默默丢掉，不如把被开方数限制成整数并把这件事说清楚。小数的被开方数可以在幂运算计算器上写成分数指数。

根号左上角那个数是什么意思？

它表示这个根要自乘几次才等于被开方数：根指数为 3 就是立方根，所以 ∛8 ＝ 2，因为 2 × 2 × 2 ＝ 8。不写根指数就是 2，所以这一页开平方时印的是光秃秃的 √、开立方时印 ∛。根指数为 1 会把数原样还给你，为 0 则没有意义，所以这一页从 2 起。

立方根和三分之一次方是一回事吗？

是一回事，这一页也是这么算的。x 的 n 次方根就是 x 的 1/n 次方，所以 54 的立方根是 54 的 0.3333… 次方，等于 3.779763。两种记法说的是同一种运算。它们在负底数上分道扬镳：幂的那条路要过一次对数、会拒收 −54，而开奇数次根是直截了当的——幂运算计算器把这类输入送到这一页，就是这个原因。

• nth Root — n 次方根的定义，包括负数的偶次根没有实数值、奇数次根有实数值这条规则 — Wolfram MathWorld（美国）
• Square Root — 根指数为 2 的情形，根式的化简以及这一页参考表所延伸的完全平方表 — Wolfram MathWorld（美国）
• Cube Root — 根指数为 3 的情形，以及负数有实数立方根、却没有实数平方根的原因 — Wolfram MathWorld（美国）