平方根计算器
结果
平方根
- 精确形式
- 6√2
平方根计算器一次给出两样东西：小数形式的数值，以及化简根式之后的结果——精确形式，也就是把根号留在式子里的那种写法。填进被开方数，页面会把它里面藏着的最大完全平方提出来、移到根号前面，于是 72 的平方根以 6√2 的形式回来，而不是一个舍入过的小数。小数的被开方数照收，这正是这一页与通用开方计算器分道扬镳的地方：被开方数 1.5 会先被变回分数，再化简成 √6 ÷ 2。
平方根与它的化简式
| 被开方数 | 精确形式 |
|---|---|
| 2 | √2 |
| 3 | √3 |
| 5 | √5 |
| 8 | 2√2 |
| 12 | 2√3 |
| 16 | 4 |
| 18 | 3√2 |
| 25 | 5 |
| 27 | 3√3 |
| 50 | 5√2 |
| 72 | 6√2 |
| 144 | 12 |
| 200 | 10√2 |
表里有两行是完全平方，16 与 144，它们的精确形式是普通整数，根本没有根号。把它们与那些留着根号的行放在一起——8 化成 2√2、72 化成 6√2、200 化成 10√2——就看出了这一页的分界线：只有当根号底下还剩无平方因子的东西时，根号才活下来。表里的被开方数全是整数。小数被开方数的表需要本地化，1,5 在好几种语言里那样写、在另一些里写成 1.5，而整数到哪里都写成一个样子。精确形式那一列相反，它是一个不含文字的记号，所以它在站点服务的十种语言里是同一个串。
公式
√x ＝ √(m² · r) ＝ m · √r √(n ÷ d) ＝ √(n · d) ÷ d
- x
- 被开方数，根号底下那个数。它不能是负数：负数的平方根不是实数，而任何实数的平方都不是负数，所以页面拒收它并指向通用开方计算器的奇数次根。0 是可以的——0 的平方根是 0
- m²
- 能整除被开方数的最大的完全平方：4、9、16、25、36 等等。找出它就是化简的全部工作，而页面从大往小搜，所以第一个找到的因子就是最大的那个。72 的那一个是 36，根号底下的 2 是它剩下的部分
- m
- 那个完全平方的平方根，它被提到根号前面：72 的情形里是 6。系数是别的整数时按原样印出来，所以精确形式读作 6√2；系数是 1 时不印，因为 1√2 不是这个数该有的写法
- r
- 平方因子全部提出去之后留在根号底下的东西。它是无平方因子的，也就是没有任何完全平方能整除它——这正是这个形式已经是最终形式的原因。如果根号里什么都不剩（被开方数本来就是完全平方），根号会整个消失，精确形式就是一个普通的数，144 的平方根就是这样
- √x
- 小数形式的数值，印六位。它与把精确形式算出来的结果是同一个数——6√2 就是 8.485281——而它印在旁边而不是取而代之，因为两者回答的是不同的问题：小数是拿去量的，精确形式是拿去证明的
凡是根号需要被化简、而不只是需要一个数值的时候都是这一页：把 √72 化成 6√2、判断一个数是不是完全平方、以及答案被要求写成精确形式的那种题。小数被开方数也归它，而通用开方计算器收不了这一类。反过来，需要立方根、四次根或任何别的根指数时改用通用开方计算器，负数配奇数次根也在那一页。根号出现在勾股定理里时另有勾股定理计算器，斜边就是一次平方根；而 √x 写成幂的样子（x 的 1/2 次方）在幂运算计算器上，同一件事写成幂的记法。
算例
化简 72 的平方根
- 找出能整除 72 的最大的完全平方
- 36 能整除它：72 ÷ 36 ＝ 2，所以 72 ＝ 36 × 2
- 36 的平方根是 6，它被提到外面：√72 ＝ 6√2
- 把精确形式算出来是 8.485281
这一格就是两列布局值得存在的理由。写成小数，√72 是 8.485281，关于它没有别的话可说；写成精确形式，它是 6√2，一眼就看得出把它平方会精确地回到 72。核对只有一步：6√2 的平方是 36 × 2，也就是 72。
一位小数的被开方数
- 小数的被开方数先被变回分数：1.5 ＝ 3/2
- 用 √(n ÷ d) ＝ √(n · d) ÷ d 把根拆到分子与分母上
- 得到 √(3 × 2) ÷ 2 ＝ √6 ÷ 2
- 小数形式是 1.224745
精确形式里用的是除号而不是斜杠，这是有意的。写成 √6/2 会有歧义——它同样可以读成「六分之二的平方根」，那是 √3。页面印 √6 ÷ 2，于是只有一种读法。这正是通用开方计算器刻意不收的那一类：那一页要求被开方数是整数。
恰好是完全平方的小数
- 2.25 写成分数是 9/4
- 两部分都是完全平方：√9 ＝ 3、√4 ＝ 2
- 根号里什么都不剩，所以精确形式就是分数 3/2
- 写成小数是 1.5
根号空了之后，精确形式就不再是根式了——它是一个普通的分数，而这个信号说明被开方数本来就是完全平方。往后的运算里 3/2 比 1.5 更值得用：乘以 3 再除以 2 全程保持精确，用小数就会丢掉一点。
局限
被开方数不能是负数：负数的平方根不是实数，而实数的平方不会是负数。0 照收，结果是 0。被开方数最多两位小数，第三位小数会被拒收而不是舍入——化简靠的是把小数变回分数再试除，每多一位小数就把工作量乘以十，所以页面把这个限制说出来，而不是悄悄给一个属于另一个数的化简式。精确形式是一种记法而不是一个数：它在每种语言里写法相同，因为根号与除号里没有词。小数相反是舍入到六位的，那是显示的界限而不是精度的界限。这一页的根指数固定为 2，只化简平方根；立方根、四次根以及任何别的根指数（包括负数的奇数次根）都归它链接的通用开方计算器。
常见问题
- 化简平方根到底做了什么？
- 它把最大的完全平方从根号底下移到根号外面。72 的平方根与 6√2 是同一个数——没有被近似、也没有被舍入——但 6√2 是更整齐的写法，而且它在往后的运算里保持精确。化简从不改变那个数，只改变它的写法。
- 怎么知道一个平方根已经化到最简？
- 当根号底下没有任何完全平方能整除它的时候。6√2 里的 2 是无平方因子的：4 整除不了它、9 也整除不了，再大的完全平方同样不行，所以这个形式就是最终的。页面也是这么决定什么时候停下来的——从大往小找最大的平方因子，找到第一个就停。
- 精确形式为什么用除号写？
- 因为斜杠会有歧义。√6/2 既可以读成「六的平方根除以二」，也可以读成「六分之二的平方根」，而这是两个不同的数——后一个是 √3，所以页面印 √6 ÷ 2，只留一种读法。系数是 1 时把系数省掉是同一个道理：记号是按不会被误读来选的，不是按短来选的。
- 被开方数可以填小数吗？
- 可以，最多两位小数。页面把小数变回分数，再用 √(n ÷ d) ＝ √(n · d) ÷ d 分别取分子与分母的根。1.5 的平方根是 √6 ÷ 2，2.25 的平方根精确地是 3/2。第三位小数会被拒收，因为每多一位小数，试除的工作量就要乘以十。这也正是这一页与开方计算器的分界：那一页要求被开方数是整数。
- 小数的平方根有时为什么印成分数？
- 当被开方数本身是某个分数的完全平方时，根号里什么都不剩，精确形式就塌缩成一个普通的分数——2.25 的平方根是 3/2。这与整数被开方数恰好是完全平方时精确形式塌缩成一个整数是同一条规则：根号一旦空了，就没有东西可以把它写出来。
- 负数为什么在这一页被拒收？
- 因为没有任何实数的平方是负数，所以负的被开方数根本没有实数平方根。这一页的根指数恒为 2，不存在「奇数次那一半」可以让负数通过。通用开方计算器收负数的立方根，因为负数的奇次幂仍然是负数，这一页指向的就是那一页。
参考资料
- Square Root — 平方根的定义、主根，以及把平方因子从被开方数里提出来的法则 — Wolfram MathWorld（美国）
- Radical — 根号、被开方数，以及「算术平方根取非负的那一个」这条约定 — Wolfram MathWorld（美国）
- Square Number — 化简时搜索的那些完全平方，从 4 一直到被开方数允许的上界 — Wolfram MathWorld（美国）