立方根计算器

∛x ＝ ∛(m³ · r) ＝ m · ∛r ∛(n ÷ d) ＝ ∛(n · d²) ÷ d

x

被开方数，根号里面那个数。它可以是负数：立方根是奇次根，负数的奇次幂仍然是负的，所以 -27 的立方根是 -3、-1 的立方根是 -1。它也可以是小数，最多三位；遇到小数时页面先把它还原成分数，再走化简那一步。

m³

能整除被开方数的最大的完全立方数：8、27、64、125 这些。找它就是化简的全部工作，页面从大到小试，所以第一个试中的就是最大的那个。对 72 来说这个因子是 8，根号里剩下 9。

m

那个完全立方数的立方根，它被提到根号外面。它是整数时精确形式写作 2∛9；它等于 1 时系数省掉，写成 ∛2——没有人把 1∛2 当作规范写法。

r

所有立方因子都被提走之后根号里剩下的东西。它不含立方因子，这正是化到最简的判据。什么都不剩的时候——被开方数本身就是完全立方数——根号整个消失，精确形式就是一个普通整数，27 的立方根就是这种情形。

d²

分母的平方，也是这一页的小数分支不能照抄平方根那一页的原因。要把分母 d 从立方根里消掉，根号里得乘上 d 的三次方，所以 n ÷ d 先写成 (n · d²) ÷ d³，开出来是 ∛(n · d²) ÷ d。照抄上一页的 d 照样能算出一个数，只是那个数是错的。

需要立方根的精确形式时用这一页，被开方数是负数时也用它。正方向——把一个数立方起来、顺便读回它的根——归立方计算器，那边印的是小数，这边印的是记号。根指数不是 3 的时候，通用根计算器收 2 到 12 的任意次根，化简的走法完全一样。

1. 化简 72 的立方根

   1. 找能整除 72 的最大的完全立方数
   2. 8 能整除它：72 ÷ 8 ＝ 9，所以 72 ＝ 8 × 9
   3. 8 的立方根是 2，提到根号外面：∛72 ＝ 2∛9
   4. 把精确形式算出来是 4.160168

   验算只有一行：2∛9 的立方是 2³ × 9，也就是 8 × 9，也就是 72。小数那一格没法这样验——4.160168 的立方回来是 71.99999 出头——这正是要把精确形式印在旁边的全部理由。

2. 完全立方数化简成整数

   1. 27 就是 3 × 3 × 3，所以最大的立方因子是 27 本身
   2. 把它提走之后根号里什么都不剩：27 ＝ 27 × 1
   3. 根号里没有东西，根号就消失，精确形式是 3
   4. 小数那一格同样是 3，两格一致

   根号被清空，就是被开方数原本是完全立方数的信号。这一行还值得知道的是：它恰好是电脑默认会算错的那一行——浮点里 27 的三分之一次方是 3.0000000000000004，页面靠检查邻近整数里有没有谁的立方正好回得来，把它修正成 3。

3. 负的被开方数

   1. 先把符号拿出来：∛-72 ＝ -∛72
   2. 正数部分与前面一样化简：∛72 ＝ 2∛9
   3. 把符号放回去，得到 -2∛9
   4. 小数是 -4.160168，正好是正数情形的相反数

   负号放在最前面，不是放进根号里。-2∛9 与 2∛-9 是同一个数，但只有前者是规范写法，印成后者会看起来像另一个式子。这种情形平方根计算器完全处理不了：负数的偶次根不是实数。

4. 小数被开方数，而且正好是完全立方数

   1. 0.125 写成分数是 1/8
   2. 分子分母都是完全立方数：∛1 ＝ 1，∛8 ＝ 2
   3. 根号里什么都不剩，精确形式就是分数 1/2
   4. 写成小数是 0.5

   这一行就是这一页收三位小数而不是两位的理由。八分之一是立方根最常遇到的那个小数，而在两位小数下它连分数都还原不出来——一个读者会在一个叫「立方根」的页面上，被最该被收下的那个数挡在门外。

被开方数最多三位小数。第四位会被拒收而不是四舍五入，因为化简的做法是先把它还原成分数再试除，再多一位，中间出现的整数乘积就会越过双精度能精确表示的范围——答案会安静地算错，而不只是变慢。取值范围是正负 1000000，在这个范围内试除的开销仍然很小。精确形式是记号不是数值，十种语言下都是同一个串，因为根号与除号本身不带文字；旁边那个小数才舍到六位。这一页只给实数立方根：复数意义下每个非零数有三个立方根，另外两个不显示。负数的立方根把负号印在最前面，那是规范写法，但它与「根号下写一个负数」并不是同一个字符串。

立方根计算器算出什么？

填一个被开方数，它回两样：立方根的小数答案，以及把最大的完全立方数提到根号外面的精确形式。72 的立方根，小数是 4.160168，精确形式是 2∛9，两个写法指的是同一个数。

手算时怎么化简立方根？

找能整除被开方数的最大的完全立方数，把它提出来，再把它自己的立方根写到根号前面。72 的那个因子是 8，而 72 ÷ 8 ＝ 9，所以整个式子变成 2∛9。根号里再也找不到立方因子时就化简完了——27 的根号会整个空掉，答案就是 3。

被开方数可以是负数吗？

可以，而这正是这一页与平方根计算器最清楚的差别——那一页一律拒收负数。立方根是奇次根，负的被开方数完全合法：-64 的立方根是 -4。负号会先被提出来、印在精确形式的最前面，所以 -72 化简成 -2∛9，而不是根号里挂着一个负数。

精确形式为什么有时会变成分数？

被开方数正好是某个分数的立方时，根号里什么都不剩，精确形式就塌成一个普通分数——0.125 的立方根是 1/2，0.001 的立方根是 1/10。根号只在里面还留着不含立方因子的数时才存在，这与「27 的立方根是一个普通整数」是同一条规则。

被开方数最多能填几位小数？

三位，比平方根那一页多一位。多这一位是为一个具体的数留的：0.125 就是八分之一，也就是 0.5 的立方，而在两位小数下它根本还原不成分数。第四位小数会被拒收而不是四舍五入，因为过了那一点，试除的结果不再精确。

• Cube Root — 立方根：立方的逆运算，因为次数是奇数所以在负数上有定义 — Wolfram MathWorld（美国）
• Cubic Number — 化简时要试除的那些完全立方数，从 8 一路到被开方数允许的上限 — Wolfram MathWorld（美国）
• Radical — 根号、被开方数，以及把系数写在根号前面的那条书写约定 — Wolfram MathWorld（美国）