立方计算器
结果
立方
- 立方根
- 1.912931
- 展开式
- 7 × 7 × 7
立方计算器把一个数乘三次，并把它背后的乘法写开给你看：7 的立方是 343，同一屏还印出 7 × 7 × 7。它还回答反方向的问题——同一个数的立方根，填 27 得 3，填 343 得 7。立方根开出来是整数，就说明你填的那个数是一个完全立方数；开出来是小数，同样是一个答案而不是失败。负数两处都收：负数的立方是负的，负数的立方根也是负的，负号从头到尾都在，不会被拒收。结果太长时自动改写成科学计数法，而不是在后面补一长串零。
1 到 12 的立方
| 数值 | 立方 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
| 4 | 64 |
| 5 | 125 |
| 6 | 216 |
| 7 | 343 |
| 8 | 512 |
| 9 | 729 |
| 10 | 1000 |
| 11 | 1331 |
| 12 | 1728 |
表里每一行都是精确值，而最后一行正是这一页要把大结果写成科学计数法的理由：12 的立方是 1728，还看得过来；同样形式的数一路涨到一百万，就看不完了。最常被查的是 2、3、4、5 这四行——8、27、64、125——因为它们是因式分解与几何题里反复出现的完全立方数。把这张表与立方根那一页的参考表对着看，一个是正方向、一个是反方向，正好是这一页回答的那一对问题。
公式
x³ ＝ x × x × x ∛x ＝ x^(1/3)
- x
- 被立方的那个数。它可以是负数，也可以带小数，最多六位，范围是 -1000000 到 1000000。这一页没有非负守卫，因为负数的立方是完全有定义的：-4 乘 -4 再乘 -4 得 -64。下面那个立方根也一样，它是奇次根，负的输入照样有实数答案。
- x³
- 立方值本身，印六位小数。超过显示窗口时改写成科学计数法，好让量级一眼看得出来：1000000 的立方写成 1.000000 × 10¹⁸，而不是十九位数字横着铺满面板。窗口内仍用普通写法，所以 343 就印 343.000000，不会被拆成 10 的幂。
- ∛x
- 同一个数的立方根，也就是前一格的逆运算：它连乘三次要能变回 x。x 是完全立方数时这一格是精确的整数，不涉及舍入；否则舍到六位小数。这正是奇次根与偶次根的分界，也是这一页收负数而平方根那一页不能收的原因。
问的是「一个数」而不是「一个形状」时用这一页：7 的立方是多少、1.5 的立方是多少、343 的立方根是多少。当这个立方代表一个实物——棱长若干、体积若干立方厘米的盒子——就换成正方体体积计算器，那边收的是带单位的棱长，答的是带单位的体积。
算例
七的立方，以及开回来的那个根
- 先平方：7 × 7 ＝ 49
- 再乘一个 7：49 × 7 ＝ 343
- 343 的立方根是 7，因为 7 × 7 × 7 ＝ 343
- 而输入 7 本身的立方根是 1.912931——那六位小数就是从这儿来的，7 不是完全立方数
两格回答的是两个问题，都值得留着。立方值 343 是精确的，从它开回去得到的 7 也是精确的；而输入自身的立方根 1.912931 是舍入过的——它连乘三次得到的是 6.999999 出头，那是六位小数能靠近 7 的极限。
完全立方数：27
- 27 × 27 ＝ 729
- 729 × 27 ＝ 19683
- 27 的立方根恰好是 3，小数点后面什么都没有
- 这个干净的 3 就是「27 是不是完全立方数」的全部答案
完全立方数是唯一一个立方根那一格完全不涉及舍入的情形，而它在数值上值得看一眼：浮点算 27 的三分之一次方会得到 3.0000000000000004，印出来是 3.000000，看起来像这一页连整数都开不准。页面靠「邻近的整数里有没有谁的立方正好等于 27」把这一位擦掉了。
负数的立方
- -4 × -4 ＝ 16，是正数，因为两个负数相乘得正
- 16 × -4 ＝ -64，又变回负数，因为第三个因数仍然是负的
- 所以 -4 的立方是 -64，而 -64 的立方根恰好是 -4
- 输入 -4 本身的立方根是 -1.587401
决定符号的是因数的个数：奇数个负号相乘得负，偶数个得正。这也是立方根收负数而平方根不收的原因——奇次根解得回去，偶次根解不回去。负号印在最前面，与手写时的位置一致。
局限
输入限制在正负 1000000 之间。这是显示上的限制而不是数学上的限制：1000000 的立方是 1000000000000000000，在双精度里仍然精确可表示，边界上不会溢出——页面只是拒绝印一个读者一眼看不完的数。在这个范围内，整数输入的立方是精确值，其余情况六位小数以内正确。立方根只给一个实数值：复数意义下每个非零数有三个立方根，另外两个不在这里显示。写开的那一格是一种记号，与语言无关，十种语言下都是同一个串。要算的是盒子的容积而不是一个数的立方时，请用正方体体积计算器，那一页收的是带单位的棱长。
常见问题
- 立方计算器比直接乘三次多给了什么？
- 它一次给出两个方向，而且两个都精确。填 27 得到立方值 19683，旁边同时是立方根 3——那个乘三次能变回 27 的数。手算的话这是两道题，而其中开方那道正是容易出错的那道。
- 哪些数完全立方数？
- 1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000、1331、1728，也就是 1 到 12 每个整数的立方，正是下面那张参考表的内容。判据不需要背：把数填进去看立方根那一格，是整数就是完全立方数，是小数就不是。
- 负数能立方吗？能开立方根吗？
- 两个都能，而且答案都是负的。三个负数相乘得负，奇数个负号会留下来，所以 -4 的立方是 -64、-64 的立方根是 -4。偶次根做不到这件事——负数的平方根不是实数——这正是平方根计算器拒收负数而这一页不拒的原因。
- 为什么结果大了就变成科学计数法？
- 因为十九位数字什么也没说明。1000000 的立方是 1 后面跟十八个零，写全了只会横着铺满面板，量级反而看不出来；写成 1.000000 × 10¹⁸ 就一眼可见。小的结果不动：343 仍印 343.000000，不会被换成 10 的幂。
- 这一页与正方体体积计算器有什么区别？
- 一个收的是数，一个收的是长度。这里输入是没有量纲的纯数，5 的立方就是 125，到此为止。正方体体积计算器把同一个 5 读成 5 厘米的棱长，答的是 125 立方厘米的体积与 150 平方厘米的表面积——同样的算术，挂在另一个问题上。
参考资料
- Cube — 立方（三次幂）的定义、写开的乘法，以及负数立方为什么仍然是负数 — Wolfram MathWorld（美国）
- Cubic Number — 完全立方数 1、8、27、64 …，以及辨认它们的那条判据 — Wolfram MathWorld（美国）
- Cube Root — 立方根：立方的逆运算，因为次数是奇数所以负数也有定义 — Wolfram MathWorld（美国）