立方体体积计算器
结果
体积
- 表面积
- 150.0000 cm²
立方体体积计算器把一次测量变成两个读数：由棱长得到的体积，以及六个面加起来得到的表面积。填棱长 5 厘米，这个正方体占 125 立方厘米的空间，表面是 150 平方厘米。正方体的长宽高天然相等，所以这一页只需要一个输入，其余都由 s³ 与 6s² 推出来。棱长可以用厘米、米、毫米、英寸或英尺填写，棱长填 0 也照收——那是退化成一点的情形，不是错误。
常见正方体：由棱长得到的体积与表面积
| 棱长（厘米） | 体积（立方厘米） | 表面积（平方厘米） |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 |
| 6 | 216 | 216 |
| 5 | 125 | 150 |
| 7 | 343 | 294 |
| 2 | 8 | 24 |
| 3 | 27 | 54 |
| 4 | 64 | 96 |
| 10 | 1000 | 600 |
| 0.5 | 0.125 | 1.5 |
6 厘米那一行是两个读数的交叉点，都是 216。10 厘米那一行是这一页之外也值得记住的：1000 立方厘米正好是一升，凡是按升计量的容器，都可以想象成一个差不多这么大的正方体。7 厘米那一行复用了立方计算器的例子，同一个正方体在两页上都能查到，也必须印出同一个数。表里每一行的棱长都是整厘米，因为表格单元格不做本地化，而小数在有些语言里写成 1,5、另一些写成 1.5。
公式
V ＝ s³ S ＝ 6s²
- s
- 棱长，这个形状唯一需要的那个测量值。正方体是唯一长宽高都相等的盒子，所以一个数字就把它完全确定下来。它带单位输入，进来之后先换算成厘米，这也是为什么不论你用什么单位填，结果都以厘米报出来。
- V
- 体积，也就是这个正方体占的空间。它是棱长的立方，以立方厘米报出、保留四位小数，是结果面板上的主读数。整数棱长下它是精确值而不是近似值：5 的立方就是 125，小数点后面什么都没有，那四位小数是留给棱长不是整数的时候用的。
- S
- 表面积，六个正方形的面加起来的总量。每个面是 s²，一共六个，所以整个是 6s²，以平方厘米报出、保留四位小数。正方体每个面都全等，这正是表面积能一次乘加算完、而不必像长方体那样逐面求和的原因。
要给一个真实的正方体量尺寸时用这一页：箱子、骰子、周转筐、料块、方方正正的罐子。问的只是一个数——7 的立方是多少——就用立方计算器，那边算的是同样的算术，只是输入是没有量纲的纯数，还附带印出立方根；底面不是正方形的时候，用长方体体积计算器，它收三条棱长。
算例
棱长 5 厘米的正方体
- 体积是棱长的立方：5 × 5 ＝ 25，再 25 × 5 ＝ 125
- 所以这个正方体占 125 立方厘米
- 每个面是 5 × 5 ＝ 25 平方厘米
- 六个面是 6 × 25 ＝ 150 平方厘米的表面积
这里两个读数都是精确值，这一点值得留意，因为并不是所有立体都如此。球或圆柱取整数半径，体积仍然是近似值，因为圆周率是无理数；正方体从来不会这样。这两个数回答的也确实是两个问题——125 立方厘米是盒子里装得下多少，150 平方厘米是把它做出来要多少料。
体积与表面积相等的那个棱长
- 体积：6 × 6 ＝ 36，再 36 × 6 ＝ 216 立方厘米
- 表面积：一个面是 6 × 6 ＝ 36，六个面是 216 平方厘米
- 两个读数都落在 216，这不是巧合
- 原因在于 s³ ＝ 6s² 在棱长为正时约掉 s²，只剩 s ＝ 6
只有一个棱长能让两个数相等，就是 6。比它小时表面积是更大的那个——棱长 1 厘米的正方体，1 立方厘米的里面裹着 6 平方厘米的外皮——比它大时体积就一路跑远，这正是棱长翻倍会让体积变成八倍、而表面积只变成四倍的原因。
棱长 10 厘米的正方体
- 10 × 10 ＝ 100，再 100 × 10 ＝ 1000，体积是 1000 立方厘米
- 这正好是一升，升就是这么定义的：一立方分米
- 一个面是 10 × 10 ＝ 100 平方厘米
- 六个面是 600 平方厘米
10 厘米这一格值得记住，因为它把这一页与站内所有别的体积页连了起来：1000 立方厘米就是一升，凡是能用升描述的容器，都可以拿一个差不多这么大的正方体去比划。同一个正方体也出现在长方体体积计算器的参考表里，那边三条棱长正好相等。
局限
棱长不超过 1000000000，并且不能为负——负的棱长会让一个明明有体积的立体得到负体积。填 0 照收，两个读数都给 0。输出单位是固定的：体积永远以立方厘米报出，表面积永远以平方厘米报出，即使输入用的是英寸或英尺。所以棱长填 2 英寸，回来的是 131.0965 立方厘米，而不是 8 立方英寸。整数棱长下两个读数都是精确值，其余情况四位小数以内正确；例外是极大的棱长，那时立方值已经越过「每个整数都能被精确表示」的那条线，末尾几位不再可靠。这一页只给体积与表面积，体对角线不在输出之列——那个公式属于二维的方形计算器。
常见问题
- 正方体的体积怎么算？
- 把棱长连乘三次。棱长 5 厘米的正方体，体积是 5 × 5 × 5 ＝ 125 立方厘米。正方体是唯一只需要一个测量值的盒子，因为按定义它的长、宽、高都是同一条棱长。
- 正方体的表面积是多少？
- 一个面面积乘以六，也就是 6s²。棱长 5 厘米时一个面是 25 平方厘米，六个面合起来是 150 平方厘米。每个面都全等，所以这里是一次乘法，而不像长方体那样要对几种不同的长方形分别求和。
- 有没有哪个棱长会让体积与表面积相等？
- 有，而且只有 6 这一个。棱长 6 厘米的正方体，体积是 216 立方厘米，表面积也是 216 平方厘米。把 s³ 与 6s² 划等号、两边约掉 s²，剩下的就是 s ＝ 6。比 6 小时表面积更大，比 6 大时体积更大。
- 棱长可以用英寸或英尺填吗？
- 可以，换算也是替你做好的，但读数一定会回到厘米、平方厘米、立方厘米。这是这一页唯一要注意的地方：填 2 英寸得到的是 131.0965 立方厘米，而不是 8 立方英寸；如果你要的就是英制答案，请把结果自己换算过去，别指望面板替你换。
- 为什么答案不需要四舍五入？
- 因为这个形状本来就不需要。体积是 s³、表面积是 6s²，两个式子的系数都是整数，所以整数棱长给出整数答案——棱长 7 厘米是 343 立方厘米与 294 平方厘米。那四位小数是给小数棱长留的，比如半厘米的正方体是 0.125 立方厘米。
参考资料
- Cube — 正六面体：体积 s³、表面积 6s²，以及「所有棱长相等」这条定义 — Wolfram MathWorld（美国）
- Volume — 立体的体积是怎么定义的，以及为什么单位要立方 — Wolfram MathWorld（美国）
- Surface Area — 立体边界的总面积，以及正方体那六个全等的面 — Wolfram MathWorld（美国）