一元二次方程求根计算器

x ＝ (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ ＝ b² − 4ac x₁ + x₂ ＝ −b ÷ a x₁ · x₂ ＝ c ÷ a

a

二次项系数，x² 前面的那个数。它不能为零：a 为零时这个式子是一条直线，只有一个根，而且两根之和与两根之积两个公式都要除以 a。这一页拒收这种输入并说清缺的是什么，而不是换一道题给你答案

b

一次项系数，x 前面的那个数。它的符号决定公式里那个正负号怎么读，也是相减相消风险所在：b 很大、两个根又离得远的时候，两个平方根相减会丢掉有效数字。这一页把那次减法绕开了，而不是指望它不出问题

c

常数项。它等于两个根之积乘上 a，这是不上计算器也能做的最快的一道核对：你预期的两个根乘起来不等于 c ÷ a，那说明前面某一步错了。c 为零时一个根就是零、另一个是 −b ÷ a，这一条直接从公式里掉出来，不需要单独处理

Δ ＝ b² − 4ac

判别式，决定答案长什么样的那一个数。大于零是两个不相等实根，等于零是一个重根，小于零是两个共轭复根。这一页用它两次——一次决定算哪种根，一次决定结果上方那枚徽章——两次读的是同一个值，所以它们不可能互相矛盾

x ＝ (−b ± √Δ) ÷ 2a

求根公式本身。正负号让一个式子产出两个根，而开方是全程唯一一步在实数里会走不下去的运算：Δ 为负时它没有实数平方根，而那正是这一页仍然要回答的那种情形，只不过换到复数里。除以 2a 这件事就是 a 不能为零的原因

x₁ + x₂ ＝ −b ÷ a

两根之和，韦达定理的一条。它值得印出来，是因为它在复数情形下原样成立：x² − 2x + 5 的两根是 1 + 2i 与 1 - 2i，加起来仍然是 2。谁怀疑判别式为负时这一页在编答案，拿这一格对着自己填的式子验证一下就会发现它对得上

x₁ · x₂ ＝ c ÷ a

两根之积，韦达定理的另一条，也是常数项写错符号时最先暴露的一格。首项系数为 1 时它就是 c：x² − 3x + 2 分解成 (x − 1)(x − 2)，两根之积是 2、之和是 3。与和一样，它在两根为复数时也不变

b² − 4ac ＝ 0

两个根塌成一个的那个边界。它不是罕见的角落：它是完全平方式的判据，所以每一道因式分解题里都会出现。此时结果上方的徽章会改成「一个重根」，那是整页唯一一处用文字说明有几个根的地方

凡是带 x² 项、你想知道它的根在哪的方程都是这一页，实际遇到的是三种场合：因式分解看不出来的练习题、系数来自实测数据所以没有因式可分解的物理模型、以及事先知道答案在复数里而「只收实根」的处理会让人空手而归的那种。它也是核对已经做完的因式分解的工具：两根之和与两根之积都印在面板上，所以 (x − 1)(x − 2) 不展开也能确认。a 为零时改用斜率计算器——那是一条直线，处理 ax + by ＝ c 那种形状的是它。真正要做的运算是开方时改用开方计算器，判别式根号里那一步就是一次开方，而更高次根的规矩在那一页。x² 是被算出来而不是被解出来的时候用幂运算计算器，那是「求值」与「求零点」的区别。

1. x² − 3x + 2 ＝ 0

   1. 判别式：Δ ＝ (−3)² − 4 × 1 × 2 ＝ 9 − 8 ＝ 1
   2. Δ 大于零，所以两个根是不相等的实数
   3. √Δ ＝ 1，两根是 (3 + 1) ÷ 2 ＝ 2 与 (3 − 1) ÷ 2 ＝ 1
   4. 按降序排，根 1 是 2；核对：2 + 1 ＝ 3，2 × 1 ＝ 2

   大多数人是拿着这道题来的，它也能干脆地分解成 (x − 1)(x − 2)，所以面板上每一个数都能靠展开因式核对一遍。它同时也是那种「简单到不需要计算器」的题——而这正是它的用处：面板在你会做的题上把过程摆出来了，同一套五行会原样出现在你不会做的那道题上。

2. x² − x − 1 ＝ 0

   1. 判别式：Δ ＝ (−1)² − 4 × 1 × (−1) ＝ 1 + 4 ＝ 5
   2. Δ 大于零，但不是完全平方数，所以两个根是无理数
   3. √5 ＝ 2.2360679…，两根是 (1 + 2.2360679…) ÷ 2 与 (1 − 2.2360679…) ÷ 2
   4. 印六位小数：1.618034 与 −0.618034

   黄金比，也是「为什么只在能精确时才印分数」这一条的由来。(1 + √5) ÷ 2 没有与之相等的分数，所以答案只能印小数——而看到 1.618034 的人知道它是舍入过的，同样的数写成某个分数反而会显得精确。两个根乘起来正好是 −1，这种巧合核对的到底是自己填的式子而不是算术。

3. 2x² + 3x − 2 ＝ 0

   1. 判别式：Δ ＝ 3² − 4 × 2 × (−2) ＝ 9 + 16 ＝ 25
   2. √Δ ＝ 5，两根是 (−3 + 5) ÷ 4 ＝ 1/2 与 (−3 − 5) ÷ 4 ＝ −2
   3. 第一个根是精确的分数，所以印 1/2 而不是 0.5
   4. 核对：1/2 + (−2) ＝ −1.5，1/2 × (−2) ＝ −1

   决定这一页怎么印根的那一格。两个根都是精确值，而小的那个是整数、大的那个是分数——以为「根一律印小数」的人会在第一行猜错、第二行猜对。和与积是让那个分数可以被读懂的格子：−1.5 不显然是 1/2 与 −2 的和，算一遍只要一行。

4. x² − 2x + 5 ＝ 0

   1. 判别式：Δ ＝ (−2)² − 4 × 1 × 5 ＝ 4 − 20 ＝ −16
   2. Δ 小于零，所以两个根是共轭复数
   3. 实部是 −b ÷ 2a ＝ 1，虚部是 √16 ÷ 2 ＝ 2
   4. 两个根照印，而韦达定理照样成立：它们相加得 2、相乘得 5

   这一页与「印一句无实数根就收工」的竞品分道扬镳的地方。两个根是完全确定的数，最后两列就能证明：2 与 5 是这道方程要求的和与积，换成实根也会是这两个值。被「没有解」这句话教过的人，应该先读一读这一例的最后两行。

5. x² − 4x + 4 ＝ 0

   1. 判别式：Δ ＝ (−4)² − 4 × 1 × 4 ＝ 16 − 16 ＝ 0
   2. Δ 正好等于零，所以两个根重合
   3. 重根是 −b ÷ 2a ＝ 4 ÷ 2 ＝ 2
   4. 两行都印 2；两根之和是 4，因为这个根被数了两次

   徽章存在的理由就在这一格。这个方程是 (x − 2)²，两行都写 2，这一对根看起来一点也不像出了问题——但只看行数的人会得出「有两个根」的结论，而实际只有一个。结果上方的徽章写着「一个重根」，而和是 4 而不是 2，那是算术在与那个判断对齐。

这一页只解一元二次方程。三次、四次以及带 x⁴ 项的方程各有各的解法、也各有各的页面，这里的东西一样都延伸不过去。二次项系数为零时它拒收而不是悄悄当成一次方程，所以 bx + c ＝ 0 得去斜率计算器，处理那个形状的是那一页。判别式为负时两个根印成 a ± bi 的形式，读到并核对它够用，但它不是一个完整的复数运算工具——两个复数相乘还得自己动手。无理根印六位小数，那是显示上的限制而不是精度限制：背后算的是完整的双精度，只在往外印的那一刻做舍入。两个根谁在前是这一页按约定定死的，不按这个顺序排列的教材或页面并不与它矛盾，只是排法不同。三个系数限制在正负一百万之间，那是显示范围而不是数学范围。最后，两根之和与两根之积印的也是六位小数，所以和恰好是三分之一的精确解回来会是 0.333333 而不是分数——分数那一套待遇只给了两个根，没给这两格。

判别式小于零怎么办？

照样把这一页印出来的两个根读掉。判别式为负说明解是一对共轭复数而不是两个实根，它们是完全确定的数：x² − 2x + 5 的两个根是 1 + 2i 与 1 - 2i。很多教材停在「无实数根」这一句上，那句话没错但不完整——方程仍然有两个解，而这一页的和与积两格就是它们的证明。

哪个根是根 1？

较大的那一个。公式里的正负号本身不排顺序，所以顺序只能由这一页来定，定的是降序——也就是根 1 永远不会比根 2 小。这件事比听起来重要：不固定顺序的话，把 b 的符号翻一下两行就会互换，对比两次计算的人会以为答案变了。

为什么根有时印成分数、有时印成小数？

分数精确而且分母不大时印分数，其余印小数。2x² + 3x − 2 的两个根是 1/2 与 −2，1/2 既精确又短，所以写成分数——那里印 0.5 会让人以为它是舍入过的。黄金比是 (1 + √5) ÷ 2，根本不是分数，所以写成 1.618034，小数点本身就说明了它是个近似值。

a 等于零会怎样？

这一页拒收，而不是把它当成一次方程解掉。a 为零时方程是 bx + c ＝ 0，那是一条直线、只有一个根 −c ÷ b，而且两根之和与两根之积两个公式都要除以 a、同时失去意义。斜率计算器处理那个形状的式子，所以拒收的提示直接点名去那里。

判别式有什么用？

它是算别的之前就能告诉你落在哪种情形里的那一个数：Δ ＝ b² − 4ac。大于零是两个不相等实根，等于零是一个重根，小于零是两个共轭复根。它在公式里正好位于根号下面，所以它的符号问的就是「这一步有没有实数平方根可开」。

能用它核对因式分解吗？

能，两根之和与两根之积两格就是为这件事准备的。如果你认为 x² − 3x + 2 分解成 (x − 1)(x − 2)，那两个根应该是 1 与 2、和是 3、积是 2——面板印的就是这几个数。常数项符号写错会立刻表现为积的符号不对，比把括号展开回去快得多。

• Quadratic Equation — 求根公式、判别式以及它区分出的三种情形，包括这一页会印出来的复数根 — Wolfram MathWorld（美国）
• Discriminant — 系数的一个组合如何决定根的个数与性质 — Wolfram MathWorld（美国）
• 韦达定理 — 一元二次方程根与系数的关系，也是这一页印出的两根之和与两根之积的来历 — 维基百科