配方法计算器
结果
配方式
- 顶点横坐标
- -3.000000
- 顶点纵坐标
- -4.000000
配方法计算器把任意二次式改写成配方之后的样子：先凑出完全平方，再把多出来或差的那一部分挂在后面。填进三个系数，页面交出的就是那个式子——x² ＋ 6x ＋ 5 变成 (x ＋ 3)² − 4——以及抛物线的顶点坐标。它与求根公式那一页分工明确：这一页给出式子，那一页给出根，而配方正是推导求根公式时用的那一步。系数是分数时答案里的数字也保持分数，所以 x² ＋ x 写成 (x ＋ 1/2)² − 1/4 而不是一个小数近似。
二次式与它的配方式
| a | b | c | 配方式 |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 5 | (x + 3)² - 4 |
| 1 | -4 | 3 | (x - 2)² - 1 |
| 1 | 2 | 1 | (x + 1)² |
| 1 | 0 | -9 | x² - 9 |
| 2 | 4 | 1 | 2(x + 1)² - 1 |
| 3 | 6 | 1 | 3(x + 1)² - 2 |
| 1 | 1 | 0 | (x + 1/2)² - 1/4 |
| 5 | -10 | 3 | 5(x - 1)² - 2 |
每一行取 ax² ＋ bx ＋ c 的三个系数，给出同一个式子改写之后的样子。这些行是按印法规则挑的而不是随手取的：第二行从负的 b 里拉出一个正的顶点，第三行是完全平方、尾部那一整段整个消失，第四行根本没有括号因为它的顶点落在 y 轴上，第五行把二次项系数 2 印在括号前面，第七行是分数那一档——奇数系数的一半保持 1/2 的精确形式而不是变成 0.5。前三列都是整数、第四列是由符号搭出来的记号，所以这张表在站点服务的十种语言里完全相同；小数系数的表则需要本地化，1.5 在其中好几种语言里写成 1,5。
公式
a x² ＋ b x ＋ c ＝ a(x − h)² ＋ k h ＝ −b ÷ 2a k ＝ c − b² ÷ 4a
- a
- 二次项系数，不能为零。它为零时这个式子是一次式、图像是一条直线，配方这件事根本无从谈起——页面直说而不是在求 h 的中途除以零。它同时决定答案里括号前面有没有系数，以及抛物线开口朝上还是朝下
- b
- 一次项系数。它的正负决定括号里是加号还是减号：配方要凑的是 (x ＋ b/2)²，而 b 为负时那一步写成 (x − |b|/2)²。它也是 h 的分子，所以两者的方向相反——b 为正时括号里是加号，而顶点横坐标是负的
- c
- 常数项。它决定配方之后剩下的那一小段：完全平方本身凑不出 c，差多少就补在括号外面。c 恰好使整个式子成为完全平方时，尾部整段消失，答案只剩一个括号
- h
- 顶点横坐标，等于 −b ÷ 2a，也就是式子印出来的那个数的相反数：式子写的是 (x − h)²，所以 h ＝ −3 时括号里印 x ＋ 3。这两个符号谁跟谁相反是这一页最常被读错的地方，也是答案里 −3 与 3 同时出现的原因
- k
- 顶点纵坐标，也就是括号外面那一项，等于 c 减去 b² ÷ 4a。它是抛物线的最低点（a 为正时）或最高点（a 为负时）的高度，也是这个式子在实数范围内取值的那条边界
凡是需要把二次式写成顶点形式的时候都是这一页：求抛物线的顶点与对称轴、判断一个二次式的最小值或最大值是多少、以及把二次式化成便于比较或便于画图的样子。它也是理解求根公式从哪来的那一站——那个公式就是配方之后对两边开方解出来的，要根请去一元二次方程求根计算器。配方之后那一步是两边开方，所以被开方数不是整数时归通用开方计算器，而根号里的数经常是分数。想确认某个平方根是否已经化到最简时用平方根计算器。系数是分数或小数时这一页也收，答案与输入的精确程度保持一致。
算例
x² ＋ 6x ＋ 5 的配方
- 取 b 的一半：6 ÷ 2 ＝ 3，所以括号里是 x ＋ 3
- (x ＋ 3)² 展开是 x² ＋ 6x ＋ 9，比原式多了 4
- 把多出来的 4 减掉：x² ＋ 6x ＋ 5 ＝ (x ＋ 3)² − 4
- 顶点是 (−3, −4)，最小值是 −4
配方法的标准例题，也是这一页默认打开的那一格。真正要动手的那一步是「凑出 9 再减掉 4」——完全平方展开后总比原式多出 (b/2)²，而那一项正是配方要补的差。顶点横坐标印 −3 而不是 3：式子里的括号写的是 x ＋ 3，而它对应的 h 是 −3（式子的形状是 (x − h)²），这一步读错的人不少。
分数系数的情形
- b 是奇数 1，所以 b/2 是分数：括号里是 x ＋ 1/2
- (x ＋ 1/2)² 展开是 x² ＋ x ＋ 1/4，比原式多了 1/4
- 减掉它：x² ＋ x ＝ (x ＋ 1/2)² − 1/4
- 顶点是 (−0.5, −0.25)
一次项系数是奇数时配方必然产生分数，这一格就是那种情况。式子里印的是 1/2 而不是 0.5，因为分数是精确的：它就是在求根公式里继续往下算时不会丢掉东西的那个写法。两个坐标却印成小数——它们装的是数而不是记号，而小数写法在坐标里更常见。
结果恰好是完全平方
- 6 的一半是 3，而 3² ＝ 9，正好等于常数项
- 也就是说原式本来就是 (x ＋ 3)²
- 配方之后括号外面什么都不剩，尾部整段不印
- 顶点是 (−3, 0)，顶点落在 x 轴上
常数项正好是 (b/2)² 的情形：括号外面那一项是 0，于是整段消失而不是印成「＋ 0」。顶点纵坐标为 0 意味着抛物线正好与 x 轴相切，这也意味着这个二次式有一个重根——那件事在求根公式那一页上表现为判别式为零。
局限
二次项系数不能为零。a 等于零时这个式子是一次式、图像是一条直线，配方这件事不适用——页面拒收这个输入，而不是在求 h 的中途除以零。三个系数的量级上限都是一百万，因为顶点坐标随 b 的平方增长，超出这个范围 k 那一格会跑到几千亿，不再是一个读者用得上的数。印出来的式子里，分母能整除且不超过一千时数字写成最简分数，否则写成六位小数；两个坐标格恒用小数，因为它们装的是数而不是记号。这一页不解方程：它给出顶点形式的式子与顶点的坐标，而根——抛物线与 x 轴的交点——在同一页链接的一元二次方程求根计算器上算。它也不印抛物线开口朝上还是朝下：那由二次项系数的正负决定，而那个符号在你填的第一个框里就看得见，三个结果里都没有它。
常见问题
- 配方到底做了什么？
- 它把一个二次式改写成「一个完全平方加上一个常数」。x² ＋ 6x ＋ 5 与 (x ＋ 3)² − 4 是同一个式子——没有近似、没有丢掉任何东西——但后一种写法一眼就看得出顶点在哪。做法是取一次项系数的一半、把它放进括号，再从括号外面把多出来的那一项减掉。
- 答案里的数字为什么是分数？
- 因为分数是精确的。一次项系数是奇数时，一半必然是分数，而 1/2 与 0.5 虽然数值相同，1/2 在往后的运算里不丢东西。把 (x ＋ 1/2)² 展开得到 x² ＋ x ＋ 1/4，这里的 1/4 写成小数就是 0.25，一旦继续算下去两者就可能分道扬镳。分母偏大、除不尽时页面改用六位小数，那时分数已经没有优势了。
- 怎么知道抛物线开口朝上还是朝下？
- 看二次项系数的符号：为正开口朝上、为负开口朝下，而这一页不替你印出来，因为它就在你填的第一个框里。开口方向与顶点合起来决定这个式子的取值范围：开口朝上时顶点纵坐标是它的最小值，朝下时是最大值。
- 这一页会解方程吗？
- 不会。它给出顶点形式的式子与顶点的坐标，而根——抛物线与 x 轴的交点——在页面链接的一元二次方程求根计算器上算。两者是同一件事的两半：配方是推导求根公式时的那一步，所以那一页算的根正是这一页的式子等于零时解出来的东西。
- 常数项在答案里有时为什么不见了？
- 因为它是零。当常数项正好等于 (b/2)² 时，原式本身就是一个完全平方，配方之后括号外面那一项是 0，于是整段不印而不是印成「＋ 0」。写成 (x ＋ 3)² 比写成 (x ＋ 3)² ＋ 0 更接近这个数该有的样子，而顶点纵坐标为 0 这件事仍然印在坐标那一格里。
- 二次项系数为什么不能是零？
- 因为那时这个式子是一次式，图像是一条直线，配方无从谈起。除以 2a 求顶点横坐标时也会分母为零。页面直接拒收这个输入并说明理由，而不是给出一个从直线里硬凑出来的顶点——直线没有顶点。
参考资料
- Completing the Square — 配方法这套代数步骤、它在推导求根公式时的用途，以及它给出的顶点形式 — Wolfram MathWorld（美国）
- Quadratic Equation — 这一页的式子所属的那个方程，以及这一页不负责算的那些根是从哪来的 — Wolfram MathWorld（美国）
- Parabola — 这个式子画出来的曲线，顶点就落在这一页给出的那个点上 — Wolfram MathWorld（美国）