顶点式计算器

y = ax² + bx + c → h = -b / (2a) → k = c - b² / (4a) → y = a(x - h)² + k

a

开口的胖瘦与朝向。它与一般式里的二次项系数是同一个数——顶点式不改变它——只是搬到了括号外面。正数开口朝上、负数朝下，而它的绝对值决定抛物线有多窄：比 1 大就比 y = x² 更窄，比 1 小就更宽。所有与 x 有关的判断都落在它身上。

h

顶点的横坐标，括号就是围着它搭起来的。符号在进括号时翻转：顶点在 x = -3 写成 (x + 3)。它同时就是对称轴的位置，曲线的最高点或最低点都落在这条竖直线上。它等于两个根的平均数——抛物线关于它左右对称，所以两个根分居两侧、离它一样远。

k

顶点的纵坐标：曲线在那里取到的值，也就是开口朝上时的最小值、开口朝下时的最大值。它是把平方那一部分扣掉之后剩下的东西，而 k = 0 是最特别的一格——那时顶点正好落在横轴上，曲线只碰到它一下。

x、y

算完之后式子里的两个变量。满足它的每一对 (x, y) 都落在这条抛物线上，所以顶点式是对这条曲线的完整描述——与一般式说的是同一件事，只是把最值得看的那个点摆到了读得出来的位置。

当手里是一个一般式的二次函数，而你想知道的是这条曲线在哪里拐弯时，用它——利润的最大值、成本的最小值、抛出去的那个东西的最高点；要画草图时也该用它，因为顶点加上开口方向就已经是这条曲线的形状的大半。反过来也一样：如果题目给的是顶点、要的是一般式，把这个式子展开回去就是答案。每一条抛物线都有一个顶点式，而三个系数就足以把它找出来。

1. y = 2x² - 4x + 1——二次项系数不是 1

   1. 顶点的横坐标：h = -b / (2a) = 4 / 4 = 1
   2. 顶点的纵坐标：k = c - b² / (4a) = 1 - 16 / 8 = 1 - 2 = -1
   3. 括号围着 h = 1 搭起来，所以写成 (x - 1)
   4. 二次项系数 2 放在括号外面：y = 2(x - 1)² - 1

   核对的办法是展开回去：2(x - 1)² 是 2x² - 4x + 2，再加上 -1 就回到 2x² - 4x + 1，正是原来那个式子。这说明它是一次改写而不是另一条曲线——同一条抛物线，一处用它的拐点描述、一处用它的系数描述。前面那个 2 是有作用的，不会消失；只有二次项系数恰好是 1 时，括号才会单独站在那儿。

2. y = -x² + 4——开口朝下，而且根本没有一次项

   1. 顶点的横坐标：h = -0 / (2 × -1) = 0
   2. 顶点的纵坐标：k = 4 - 0 = 4
   3. h = 0 时括号本来会写成 (x - 0)，于是它整个收成一个 x²
   4. 二次项系数是 -1，只印一个减号：y = -x² + 4

   这一格的顶点式与一般式是同一个字符串，而这正是要说的事：一次项系数为零时，顶点本来就落在纵轴上，没有东西需要移，也就没有方需要配。把它当描述读而不是当改动读——曲线开口朝下，在 (0, 4) 那里掉头，那是原点上方四个单位的地方。

3. y = 0.5x² + 3x + 0.5——二次项系数本身是分数

   1. 顶点的横坐标：h = -3 / (2 × 0.5) = -3
   2. 顶点的纵坐标：k = 0.5 - 9 / 2 = 0.5 - 4.5 = -4
   3. 括号围着 h = -3 搭起来，所以写成 (x + 3)——符号翻了个个儿
   4. 二分之一印成分数并括起来，因为 1/2(x + 3)² 会被读成 1 除以 2(x + 3)²：y = (1/2)(x + 3)² - 4

   展开验一遍：(1/2)(x + 3)² = 0.5x² + 3x + 4.5，再减 4 就把常数项还原成 0.5。分数出现在这里是因为系数本来就是分数，不是因为取了近似——1/2 与 0.5 是同一个数，而印成分数的那一种才是人动手写的时候会写的。

二次项系数不能是零。a = 0 时没有方可以配、也没有顶点可以报，因为那时的图形是一条直线——这一页会拒收，而不是硬编一个答案出来。三个系数都限制在一百万以内，而 a 特别小、b 特别大时同样拒收，因为顶点会被推到那个数已经没有意义的地方去。式子只是印出来，不解方程：这一页不会告诉你根在哪里、曲线与横轴交于何处、或者别的 x 处 y 是多少——根由下面链接的求根公式那一页负责，而把顶点式展开回一般式是 FOIL 那一页在做的事。数字在分母小到读得出来时印成分数，否则印成六位小数，所以顶点横坐标是三分之一时会写成 0.333333。这里全程没有任何单位，因为二次式的系数是数而不是量出来的长度。

顶点式是什么？

就是 y = a(x - h)² + k，一种把二次函数写得让顶点露在外面的形式：抛物线掉头的那个点是 (h, k)，两个坐标都能直接从式子上读出来，不必再算。它与一般式 ax² + bx + c 描述的是同一条曲线——两者互为变形，而 a 在两边是同一个数。

它与配方法那一页有什么区别？

算法相同，算出来的顶点也完全相同，因为两页收的是一模一样的三个系数。不同的是交回来的东西：那一页交的是改写之后的表达式 a(x - h)² + k，讲的是怎么配方；这一页交的是抛物线的方程 y = a(x - h)² + k，讲的是怎么读图——在哪里掉头、朝哪边开口、有多宽。

怎么看出抛物线开口朝上还是朝下？

看 a 的符号，也就是括号前面那个数。正数朝上，顶点是曲线的最低点，k 就是最小值；负数朝下，顶点是最高点，k 就是最大值。这一页不会印一句结论，因为 a 的符号不在它的输出里——但它就在式子上，括号的前面。

对称轴在哪里？

在 x = h，也就是过顶点的那条竖直线——与括号里的那个 h 是同一个数。抛物线关于这条线左右对称，这正是顶点会成为拐点的原因：它左边的一切都是右边某一点的镜像。由此还能推出一件事：曲线与横轴的两个交点如果存在，就分居这条线两侧、离它一样远，所以它们的平均数正好是 h。

式子里为什么会出现分数？

因为精确值本来就是分数。位数不多、分母又小的有限小数会印成分数——0.5 写成 1/2，0.25 写成 1/4——这既是手写时的习惯，也因为 1/2 是精确的而 0.5 只是它的另一种写法。更长的值一律印成保留六位的小数，所以顶点横坐标是三分之一时写出来是 0.333333。

答案最后一项为什么有时候不见了？

因为顶点的纵坐标是零，而往式子上加一个恒为零的项只是多写几个字。它出现的情形恰好是曲线与横轴只碰一下而不穿过去——顶点落在轴上，那个二次式就是一个完全平方。所以 y = (x + 1)² 是完整的顶点式，不是被截短了的。

• 抛物线的顶点——本页报出来的那个点，以及曲线为什么在那里掉头 — Wolfram MathWorld（美国）
• 顶点——同一个概念在一般曲线上的样子，抛物线的拐点是它的一个特例 — Wolfram MathWorld（美国）
• 二次多项式——ax² + bx + c 以及它可以写成的几种样子，顶点式是其中之一 — Wolfram MathWorld（美国）