FOIL 计算器
结果
展开式
- 首项
- 1.000000
- 外项
- 3.000000
- 内项
- 2.000000
- 末项
- 6.000000
FOIL 计算器把两个二项式相乘，并印出四个乘积加起来的那个二次式。FOIL 说的是相乘的顺序——首项、外项、内项、末项：两个式子的首项、写在外侧的那一对、写在内侧的那一对，以及两个常数项。四个乘积会各按名字列在展开式旁边，所以 (x ＋ 2)(x ＋ 3) 读出来是 1、3、2、6，然后是 x² ＋ 5x ＋ 6。负系数也照这个顺序走：中间两个乘积部分抵消时，展开式会说出这件事，而算出来是零的那一项整段不印，不会写成 0x。系数是分数时答案保持分数，所以结果始终精确。
四组系数与它们展开得到的式子
| a | b | c | d | 展开式 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | x² + 2x + 1 |
| 1 | 2 | 1 | 3 | x² + 5x + 6 |
| 1 | -2 | 1 | -3 | x² - 5x + 6 |
| 1 | 2 | 1 | -3 | x² - x - 6 |
| 1 | -1 | 1 | 1 | x² - 1 |
| 2 | 1 | 3 | 4 | 6x² + 11x + 4 |
| 1 | 5 | 1 | -5 | x² - 25 |
| 1 | 3 | 1 | 0 | x² + 3x |
| 1 | 0 | 1 | 7 | x² + 7x |
| -1 | 2 | 1 | 3 | -x² - x + 6 |
| 2 | -3 | 4 | 1 | 8x² - 10x - 3 |
| 1 | 10 | 1 | -10 | x² - 100 |
每一行取 (ax ＋ b)(cx ＋ d) 的四个系数，给出乘开之后的二次式。这些行是按符号组合挑的，因为符号恰恰是四个乘积说不清楚的东西：第三行两个常数项都是负数，末项却仍然是正的；第四行一正一负，中间项印成负的，而系数 1 省略不写；第五行的中间项整个抵消。第八行缺的是末项，第九行缺的是内项，都是不印而不是印成零。第十行的首项系数是负的，写在最前面。前四列都是整数，最后一列是记号，所以这张表在全部十个语言里长得一样。
公式
(ax ＋ b)(cx ＋ d) ＝ acx² ＋ (ad ＋ bc)x ＋ bd 首项 ＝ ac 外项 ＝ ad 内项 ＝ bc 末项 ＝ bd
- a、c
- 两个式子里 x 的系数，一个来自前一个二项式，一个来自后一个。两者都不能是零：x 系数为零的式子其实就是个常数，乘以它是普通算术，不是这个方法。它们的乘积是展开式的首项，所以答案的二次项系数是 ac，而不是单独的 a 或 c。
- b、d
- 两个常数项。它们可以是零、负数或分数，并且决定四个乘积里的两个：外项 ad 与内项 bc 加起来得到中间那一项，而它们的乘积 bd 是最后那个常数项。两者同为负数时，末项会重新变成正的。
- 首项、外项、内项、末项
- 四个乘积，按方法本身给它们的名字排列：首项 ac、外项 ad、内项 bc、末项 bd。展开式的中间项来自外项与内项相加，这是整个 FOIL 里唯一一步要把两个数合并，而不是照着写下来。
- x
- 两个二项式里的那个字母。它在这里没有取值——答案是一个式子而不是一个数，所以主读数印的是文本，不是数字。
要手算两个二项式的乘积、并逐步核对时用这一页。反过来的方向——把一个展开好的二次式写成两个式子的乘积——是因式分解，而配方法那一页是从同一个式子的另一头开始的。
算例
(x ＋ 2)(x ＋ 3)
- 首项：x × x ＝ x²，所以首项那一格是 1
- 外项：x × 3 ＝ 3x，外项那一格是 3
- 内项：2 × x ＝ 2x，内项那一格是 2
- 末项：2 × 3 ＝ 6
- 外项与内项合成中间那一项：3x ＋ 2x ＝ 5x
- 展开式是 x² ＋ 5x ＋ 6
最标准的一格，四个乘积都是正数而且互不相同。中间项由外项与内项相加得到，而这一步最容易被跳过——把两个数印在答案旁边，就是为了让这一步可以核对。
两个 x 系数都不是 1
- 首项：2x × 3x ＝ 6x²，所以二次项系数是 6
- 外项：2x × 4 ＝ 8x
- 内项：1 × 3x ＝ 3x
- 末项：1 × 4 ＝ 4
- 中间项：8x ＋ 3x ＝ 11x
- 展开式是 6x² ＋ 11x ＋ 4
二次项系数是两个数乘出来的，不能从任何一个二项式上直接读出来。除此之外方法没有任何变化：中间项仍然是外项与内项之和，也仍然是四个数里唯一会合并的一处。
平方差
- 首项：x × x ＝ x²
- 外项：x × (−5) ＝ −5x
- 内项：5 × x ＝ 5x
- 末项：5 × (−5) ＝ −25
- 外项与内项分别是 −5x 与 ＋5x，正好抵消
- 中间项没有了，展开式是 x² − 25
这一格说明中间项是一次相加而不是一次相乘。四个乘积没有一个是零，展开式却只剩两项——因为本该合成中间项的那两个数大小相等、符号相反。只印四个乘积而不相加的页面，看起来会像少了一项。
局限
两个式子里 x 的系数都不能是零。只要有一个是零，就没有可以配对的 x 项，那个式子就是一个常数乘以一个二项式，方法的第一步什么也乘不出来——所以这种输入按名字被拒，而不是被悄悄当成常数。四个系数都限制在一百万以内，因为外项与内项要先相加再舍入，而最大的中间量会大到读者核不动。系数是分数时，分母不超过一千且除得尽就印分数，否则印六位小数，所以 (x ＋ 1/2)(x ＋ 3) 印出的是二分之一而不是零点五。这一页做的是乘法，不做因式分解：从一个展开好的二次式回到两个二项式是反方向的问题，这里不处理。
常见问题
- FOIL 分别指什么？
- 首项、外项、内项、末项。它给的是从两个二项式里按顺序取出的四对：两个式子的首项、写在乘积外侧的那一对、写在内侧的那一对，以及两个常数项。四对分别相乘再相加，就是展开后的二次式。
- 为什么外项与内项要相加？
- 因为这两项乘出来都是 x 的一次项，同类项要合并。FOIL 里没有哪一步是可省的：四个乘积就是所有配对的完整清单，而结果是它们的和。外项与内项是唯一能合并的两个，所以两个二项式乘出来是三项而不是四项。
- 系数是负数时 FOIL 还能用吗？
- 能，符号跟着它所属的那一项走。在 (x ＋ 5)(x − 5) 里外项是 −5x、内项是 ＋5x，两者抵消，中间项整个消失，只剩两项。两个常数项同为负数是另一种情形：那会让末项重新变成正的。
- x 的系数可以是零吗？
- 这一页不收。x 系数为零的二项式其实就是一个常数，乘以它是普通算术而不是这个方法——第一步会什么也乘不出来。这种输入会被拒收并指名说清楚，而不是被默认当成常数算下去。
- 为什么答案里有时候少一项？
- 因为那一项的系数算出来是零。外项与内项抵消时整个 x 一次项就不存在了，于是写成 x² − 25 而不是 x² ＋ 0x − 25。整个页面上的写法都是这样：算出来是零的项整段不印，而四个乘积仍然摆在旁边，说明它是怎么没的。
- 为什么分数答案要印成分数？
- 因为分数是精确的，而小数只是它的一种写法。(x ＋ 1/2)(x ＋ 3) 的一次项系数是 7/2，写成 3.5 在这一步没错，但下一步一乘就会开始偏差。分母不超过一千且除得尽时印分数，只有实在印不出来才退回六位小数。
参考资料
- Quadratic Equation — 展开式所在的那个方程，以及这些系数接下来会填进的标准形式 — Wolfram MathWorld (United States)
- Completing the Square — 同一个二次式的另一个方向：从展开式回到完全平方的括号 — Wolfram MathWorld (United States)
- Parabola — 展开后的二次式画出的那条曲线，也是这些系数值得算对的原因 — Wolfram MathWorld (United States)