线性插值计算器

y ＝ y₁ ＋ (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t ＝ (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y ＝ (1 − t)·y₁ ＋ t·y₂

x₁、y₁

第一个已知点。它把这条线钉住：x 取 x₁ 时式子里的距离项整个归零，答案精确地退回 y₁。x₁ 取 0 是允许的而且常见，那时这个点就落在 y 轴上。

x₂、y₂

第二个已知点。两点合起来决定一条直线，而一条直线要的也就这么多。两个点的横坐标必须不同：横坐标相同的两个点描述的是一条竖直线，一个 x 同时对应无穷多个 y，没有唯一的答案。

x

要求值的那一处横坐标。它不必落在两个点之间——出了这个范围，同一个式子照样算得下去，得到的是外插而不是插值，所以页面把它报出来，而不是把它挡住。

t

在两点之间的位置：从第一个点算起，这个点在线段上走了多远。第一个点处是 0，正中间是 0.5，第二个点处是 1，而它正是两个 y 值混合时的权重——也就是这个点把线段分成的比例。

已知两个测量值、要问它们中间某一处是多少时用这一页：两个表格值之间的读数、两次观测之间的某个日期、或者任何被认为「按直线一起变」的两个量。若这两个点是用来说明「有多陡」的，那是直线的斜率那一页；若要求的就是正中间那一点，那是中点那一页。

1. (1, 2) 与 (3, 8) 的正中间

   1. y 的变化量是 8 − 2 ＝ 6，x 的变化量是 3 − 1 ＝ 2
   2. x 每走 1，y 就升 3，所以斜率是 3
   3. x ＝ 2 在 2 个单位长的区间上走了 1 个单位，所以在两点之间的位置是 1 ÷ 2 ＝ 0.5
   4. 按这个比例把两个值混起来：(1 − 0.5) × 2 ＋ 0.5 × 8 ＝ 1 ＋ 4 ＝ 5
   5. 插值得到 y ＝ 5

   默认这一格值得多看一眼：位置正好是一半时，答案就是 2 与 8 的算术平均。这是「正好落在正中间」的巧合，不是规律——走四分之一处时答案是 3.5，不是别的什么。

2. 一条往下走的线

   1. y 的变化量是 −20 − 0 ＝ −20，x 的变化量是 10 − 0 ＝ 10
   2. 斜率是 −20 ÷ 10 ＝ −2，也就是每往右 1 就往下 2
   3. x ＝ 4 在 10 个单位长的区间上走了 4 个单位，所以在两点之间的位置是 0.4
   4. 混合：0.6 × 0 ＋ 0.4 × (−20) ＝ −8
   5. 插值得到 y ＝ −8

   这一格两端都带符号，所以值得手核一遍：分母是 10 而不是 −10，答案落在两个已知值之间、没有出界。把区间从右往左读，斜率与位置会同时变号而 y 不变——这正是位置那一格要挨着答案印出来的原因。

3. 问到最后一个点之外

   1. 与第一格是同一条线：每往右 1 升 3
   2. x ＝ 4 在 2 个单位长的区间上走了 3 个单位，所以在两点之间的位置是 3 ÷ 2 ＝ 1.5
   3. 这个比例大于 1，就是答案在说「这一点落在第二个已知值之外」
   4. 混合：(1 − 1.5) × 2 ＋ 1.5 × 8 ＝ −1 ＋ 12 ＝ 11
   5. 答案是 y ＝ 11

   这就是外插，也是位置那一格印成一个普通数字、而不被截回区间里的原因。1.5 说的是这一点已经越过了那一端、又走了半段；算法与插值完全一样，变的只是怎么读它。

两个已知点的横坐标必须不同。横坐标相同的两个点描述的是一条竖直线，一个 x 对应无穷多个 y，插值没有唯一的答案——这种输入会被拒收，而不是返回无穷大。五个数都限制在一百万以内，因为斜率与位置都是要舍入到六位小数的商，再大就核不动了。落在区间外的值照收并如实报出：位置会大于 1 或小于 0，那是这一页在说明它做的是外插。这一页说不出来的是「外插这件事本身合不合理」——两个点决定的那条直线，对两个点之外会发生什么一无所知，所以这里不给任何置信度读数：两个点撑不起一个置信度。

线性插值是什么意思？

过两个已知点画一条直线，再在它们之间读一个值。linear 这个词把假设直接写在名字里：这一段里这个量被当成匀速变化的，所以答案是两个已知值的加权混合，而不是一次测量。

在两点之间的位置那一格有什么用？

它说的是这个点从第一个已知点算起走了多远：第一个点是 0，正中间是 0.5，第二个点是 1。答案本身也可以写成两个已知值按这个比例混合，所以插值在两点之外加的东西全在这一格里。把区间四等分，五个等分点的位置就依次是 0、0.25、0.5、0.75 与 1。

可以求两个点之外的值吗？

可以，这一页就是这么做的——但那时它叫外插，位置那一格会大于 1 或小于 0，这就是它在告诉你这件事。过两点的直线只是对它们之间那一段的猜测；往两端伸出去之后，它变成对一个数据根本没覆盖过的地方的强猜测。

为什么横坐标相同的两个点要拒收？

因为没有唯一的答案可给。横坐标相同的两个点一上一下，过它们的直线把这一个 x 同时配给所有的 y。这一页会指名拒收这种输入，而不是返回一个无穷大——那看起来太像一个答案了。

两个点写反了会有影响吗？

线上读出来的值不受影响，但斜率与位置都会变。把两个点对调，斜率与在两点之间的位置同时变号，而插值得到的 y 原地不动——因为描述的还是同一条线，只是从另一头开始读。

为什么没有给出拟合优度？

因为两个点撑不起这个数。拿两个点去算拟合程度，算出来永远是最好看的那个值，无论背后的数据实际上是什么样。这一页改印斜率与位置——它们是关于这条直线的事实，不是关于数据的断言。

• Cartesian Coordinates — 两个已知点与待求位置共同所在的那个坐标系 — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — 插值结果每一步跨出去的那个固定比值，也是两个横坐标相同时失去意义的那个量 — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — 两个不同的点所决定的那个对象，也是「在它们之间读一个数」这件事成立的前提 — Wolfram MathWorld (United States)