倍角计算器
结果
倍角 2θ
- 2θ 的正弦
- 0.8660
- 2θ 的余弦
- 0.5000
- 2θ 的正切
- 1.7321
倍角计算器收一个角，把它加倍，再给出那个倍角上的正弦、余弦与正切。这里的「倍」只属于角，不属于函数值——这正是全页要说清的一件事。角加倍，正弦并不会跟着加倍：六十度的正弦是 0.866，而三十度正弦的两倍是一，这两个数之间没有任何换算关系。一个角加倍之后真正发生的事由二倍角公式描述，而它们都不是乘法。倍角的正弦，是原角的两个比值相乘再乘二——是两个数相乘，不是一个数乘二。倍角的余弦，是原角余弦的平方减去正弦的平方；这也正是它可以写成「一减去两倍正弦平方」或者「两倍余弦平方减一」的原因，三种写法说的是同一个数。倍角的正切，是原角正切的两倍，除以一减去原角正切的平方。从左往右读，它们告诉你的是一一 个角加倍之后落在哪里；从右往左读，它们就是半角公式——这也是二十二点五度值得认识的原因：它的两倍是四十五度，而四十五度的比值是精确的。另外两条界限来自公式本身，不是本页额外设的。一是原角正切有值的地方几乎都能算，唯独加倍之后落在直角或四分之三圈上的那些角不行：四十五度与一百三十五度的倍角正切没有值，本页把这两个角整个拒掉。二是加倍的对象始终是角，不是读数，所以超过一整圈的角先加倍、再归一——七百五十度加倍是一千五百度，读出来与六十度完全相同。下面那张表列了十二个角上的四列数，其中正切那一列有两行是破折号。
十二个角与它们各自的倍角读数
| θ（度） | 2θ（度） | sin 2θ | cos 2θ | tan 2θ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 15 | 30 | 0.5 | 0.866 | 0.5774 |
| 22.5 | 45 | 0.7071 | 0.7071 | 1 |
| 30 | 60 | 0.866 | 0.5 | 1.7321 |
| 45 | 90 | 1 | 0 | — |
| 60 | 120 | 0.866 | -0.5 | -1.7321 |
| 75 | 150 | 0.5 | -0.866 | -0.5774 |
| 90 | 180 | 0 | -1 | 0 |
| 120 | 240 | -0.866 | -0.5 | 1.7321 |
| 135 | 270 | -1 | 0 | — |
| 150 | 300 | -0.866 | 0.5 | -1.7321 |
| 165 | 330 | -0.5 | 0.866 | -0.5774 |
先看第二列：只有它按「加倍」通常的样子走，第一列加多少它就加两倍那么多。后面三列都不是。把三十度那一行和十五度那一行对着看：正弦从二分之一变成 0.866，余弦反着来，而两个读数谁也不是谁的两倍——它们交换了位置，因为把一个角加倍，是把圆上的点又往前挪了四分之一圈，而不是把什么东西放大了。两道破折号在四十五度与一百三十五度上，也就是加倍之后落在直角与四分之三圈的那两个角，而且只在正切那一列：这两行的正弦与余弦都是普通的数。再看零度与九十度两行，倍角的正弦都是零，而余弦在一与负一之间来回。
公式
sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sin²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)
- θ
- 你输入的那个角，可以用度也可以用弧度。它可以是负的，也可以超过一整圈；本页加倍的自始至终是这个角，而不是它算出来的任何一个数
- 2θ
- 加倍之后的角。它排在输出的第一位，单位是度，因为下面三个读数都是在这个角上读的，不是你输入的那个角
- sin θ, cos θ
- 原角的正弦与余弦。公式把这两个数相乘，而不是把其中任何一个加倍——这就是答案「不是两倍于谁」的原因
角的倍数要加倍、而你想知道加倍之后落在哪里的时候用它：同一个旋转做两次、相位每次前进两步、周期减半之后的频率。公式区里那三条就是本页计算时用的同一组二倍角公式，所以也可以拿它核对笔算的结果。手里是加倍之后的读数、想要原来的角，那是半角公式的方向，不是本页做的事。而你想要的其实是你输入的那个角上的三个比值、不是它两倍角上的，那去三角函数那一页；两边都定义的地方，两个页面的数逐位相同。
算例
三十度的角，加倍到六十度
- 三十度的两倍是六十度，所有读数都在那里读
- sin 60 是二分之根号三，约 0.866；cos 60 是二分之一
- 正切是这两个数之比，根号三，约 1.7321
页面打开时就是这个角，也是最能说明本页为什么存在的一档。三十度的正弦是 0.5，把它乘二得到一；而六十度的正弦是 0.866，无论怎么把前一个读数加倍都变不出后一个。0.866 是从哪儿来的，公式说得清楚：二乘以 0.5 再乘以 0.866，也就是三十度正弦与余弦的乘积再乘二。倍数加在了角上，没有加在比值上。
二十二点五度的角，加倍到四十五度
- 二十二点五度的两倍是四十五度
- 四十五度时点落在直线 y = x 上，正弦与余弦相等
- 两个读数相等意味着正切正好是一，没有舍入
二十二点五度是四十五度的一半，所以这一行就是把半角公式按人们真正需要的方向读一遍。四十五度是少数几个三个比值都精确的角之一，却不在常用的特殊角表里，要到它就得靠一个倍角值反推。这里两个读数都是 0.7071，因为那个角上两个坐标相等；正切是精确的一，不是 0.9999。
九十度的角，加倍到一百八十度
- 九十度的两倍是一百八十度，半圈
- 点落在 x 轴负半轴上，余弦是负一，正弦是零
- 正切是零除以负一，也就是零
全表唯一一行倍角取到极值的：余弦落到了它能取到的最小值，负一。九十度这个角在本页上什么都不会断——尽管它正是三角函数那一页拒答的那个角。原因很简单：本页不在九十度上读正切，而是在一百八十度上读，那里一切都正常，正切等于零。把读数挪到另一个角上，就足以离开一个极点。
超过一整圈的角，七百五十度
- 七百五十度是三十度再加上两整圈
- 加倍是一千五百度，也就是六十度再加上四整圈
- 四整圈不改变任何东西，所以读数与六十度时完全相同
四列数与三十度那一行逐位相同，而它们本来就该相同：七百五十度与三十度是同一个角，加倍之后也还是同一个角，三个比值自然也一样。这里没有任何「大角特殊处理」——加倍之后先把结果归一，整圈直接丢掉。一百万减五度的角出于同样的道理也是这么算的。
局限
三件本页不做的事。第一，倍角的正切在四十五度、一百三十五度、以及一切加倍之后落在直角或四分之三圈上的角都没有值，负角与超过一整圈的角一样在拒答之列；而且拒答是把整个角一起拒掉，尽管那些角的倍角正弦与倍角余弦都是普通的数。第二，读数只给四位小数，而其中大多数是无理数：三十度加倍之后的正弦精确值是二分之根号三，0.866 只是舍入之后落到的位置。余弦在这里比正弦更娇气——公式做的是两个平方相减，而在四十五度附近这两个数很接近，算出来那个小结果其实是两个大数之差。第三，本页不反着走。手里是倍角正弦 0.866，那个倍角可以是六十度、也可以是一百二十度，原来的角则是所有加倍之后落到这两个角上的无穷多个角之一；从一个比值还原出一个角需要一个本页不做的决定。
常见问题
- 角加倍，正弦也跟着加倍吗？
- 不会，这正是本页要纠正的那个错法。三十度的正弦是 0.5，而六十度的正弦是 0.866，不是一。加倍一个角不是把它的比值按比例放大。倍角的正弦等于原角正弦与余弦的乘积再乘二——是两个不同的读数相乘，不是一个读数乘二。
- 为什么四十五度会被拒答？
- 因为四十五度加倍是九十度，而九十度的正切没有值。九十度的正弦与余弦都没问题——是一和零——但本页要把正切也报出来，而把三分之二的答案当成完整答案，比不给答案更糟。同样的拒答还包括一百三十五度（加倍是二百七十度），以及和这两个角相隔半圈的所有角。
- 二倍角公式有哪三条？
- 倍角的正弦等于原角正弦与余弦乘积的两倍。倍角的余弦等于原角余弦的平方减去正弦的平方，也可以写成一减去两倍正弦平方，或者两倍余弦平方减一——三种写法是同一个数，该用哪一种取决于你手里已经有哪个比值。倍角的正切等于原角正切的两倍，除以一减去那个正切的平方。
- 为什么二十二点五度值得知道？
- 因为它的两倍是四十五度，而四十五度是少数几个比值精确的角之一——正弦余弦都是二分之根号二，正切正好是一。二十二点五度不在任何一张常用特殊角表上，但它是表上某个角的一半，所以把二倍角公式倒过来读就能得到它。那个倒过来的读法，就叫半角公式。
- 角可以是负的，或者大于一整圈吗？
- 都可以，而且处理方式一样：先把角加倍，再把结果归一，所以七百五十度读出来与三十度完全相同，负三十度读出来与三百三十度完全相同。整圈会被丢掉，因为它丝毫不改变倍角落在哪里。唯一要注意的是读数报出来的范围始终是零到一整圈之间。
- 角可以填弧度吗？
- 可以——输入框旁边有单位选择，而倍角一律用度报出来，因为输出的单位声明的是度。三分之一个 π 弧度与六十度是同一个角，四个数也一样。照例要留意的还是拿去对照的那份资料默认用哪个单位，绝大多数印出来的表默认是度。
参考资料
- Double-Angle Formulas — 本页用到的那三条恒等式，以及它们怎样从两角和公式里得到 — Wolfram MathWorld（美国）
- Trigonometric Addition Formulas — 二倍角公式其实是它取两个角相等时的特例，全部是推出来的而不是给的 — Wolfram MathWorld（美国）
- Trigonometric Functions — 正弦、余弦与正切的定义，以及它们各自在哪些角上没有值 — Wolfram MathWorld（美国）
- Sine, Cosine and Tangent — 从直角三角形出发把三个比值讲一遍 — Math is Fun（英国）