半角计算器

sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)

θ

你输入的那个角，可以用度也可以用弧度。它可以是负的，也可以超过一整圈；它在折半之前会先被归到 [0°, 360°) 里

θ/2

折半之后的角，永远落在 0° 到 180° 之间。下面三个读数都是在这个角上读的，不是你输入的那个角

cos θ

整角的余弦。正弦与余弦两条公式只用到这一个输入——两个根号都是拿它搭起来的，所以一个不常见角上的读数照样可以是精确的

sin θ

整角的正弦，正切那两个分数形式要用它。它在分母上，所以不能是零；而它恰好是零的那些角，正是折半之后撞上直角的那些角

角的倍数要减半、而你想知道那一半上的三个比值的时候用它：振荡频率是驱动频率一半、两面镜子之间的夹角、弦长从半个圆心角上看过去、步长是半圈或者四分之一圈。公式区里那三条就是本页计算时用的同一组半角公式，所以也可以拿它核对笔算的结果。半角公式的推导只有一步：把二倍角公式反过来解——所以手里是角、想要它的两倍角，就去倍角那一页，两边都定义的地方判断一致。而你想要的是你输入的那个角上的三个比值、不是它一半上的，那去三角函数那一页，那里不做任何折半。

1. 三十度，折半得十五度

   1. 三十度的一半是十五度，所以三个比值都在十五度上读
   2. 正弦那条：三十度的余弦是 0.866，一减得 0.134，再除以二得 0.067，开平方是 0.2588
   3. 余弦那条是同一个根号里换成加号：一加 0.866 得 1.866，除以二得 0.933，开平方是 0.9659
   4. 正切是这两个数的商，0.2588 除以 0.9659 得 0.2679；分数形式也对得上——0.134 除以 0.5 得 0.268

   本页的默认输入，也是全页那个错法的现场：三十度的正弦是 0.5，它的一半是 0.25，而十五度的正弦是 0.2588，比一半多一点。两个数只差 0.0088，所以错的那个答案看上去完全说得通——正因如此本页才把正确的那个连同步骤一起印出来。另外注意整角的余弦在这里是精确的（二分之根号三），半角的读数照样是无理数：折半这个动作把人从特殊角表上带下去，而不是带上来。

2. 九十度，折半得四十五度

   1. 九十度的一半是四十五度
   2. 九十度的余弦是零，所以两条公式都退化成二分之一开平方，也就是 0.7071
   3. 两个根号里的东西在这里刚好一样——一减零与一加零
   4. 两个读数相等，正切就是正正好好的一，不含任何舍入

   本页唯一一行「从一个不出名的角得到一个人人记得的角」。四十五度是少数几个三个比值都能写死的角——正弦与余弦都是二分之根号二，正切是一；而通往它的路是折半，不是背下来。这一行也顺带说明了另一件事：正弦与余弦相等只发生在四十五度与二百二十五度上，全表没有第三行。

3. 四百度的角，与四十度是同一个

   1. 四百度是四十度加上一整圈
   2. 一整圈不改变角的位置，所以读数在四十度上取
   3. 四十度的一半是二十度，三个比值就是二十度的：0.342、0.9397 与 0.364

   把四十度填进同一个框，四个数会逐位相同——这正是这一行存在的理由。如果先折半再归一，这里会得到二百度、那里得到二十度，同一个问题的两个不同答案，所以顺序只能是反过来的那一种。七百五十度同理：它归一得三十度，折半之后与上面第一行完全一致。

4. 负三十度，折半得一百六十五度

   1. 负三十度就是三百三十度，差三分之一圈到一整圈
   2. 三百三十度的一半是一百六十五度
   3. 一百六十五度在第二象限，所以正弦是正的、余弦是负的
   4. 正切跟着余弦变号，是负的 0.2679

   最容易预判错的一行。负角折半得到的不是一个负的角——角先归一到上半圆，再折半，所以结果一定落在 0° 到 180° 之间。这里的正弦与三十度那一行同为 0.2588，这不是巧合：十五度与一百六十五度关于纵轴对称，对称的两个角正弦相同、余弦互为相反数，正切也跟着余弦一起变号。

三件本页不做的事。第一，一百八十度、五百四十度、负一百八十度，以及它们加减任意整数圈的角，正切一律拒答——因为它们的折半是直角，而直角的正切没有值。拒答会连累整行：那一半上的正弦与余弦其实都是普通数（一和零），但本页把它们一起撤掉，而不是印两个数加一道破折号。第二，三个比值印到四位小数，而它们大多是无理数；折半本身倒是干净的——整度数折半至多出现半度，两位小数足够原样放下，所以半角那一列不会因为舍入而失真。第三，本页不能反着算。一个半角对应着与它相差任意整数圈的那一整族角，所以读到二十度只能知道原来的角是四十度、四百度或者它们之间的任何一个；而一百九十五度这样的半角，反过来会要求一个超出输入范围的原角，那个方向在本页根本没有答案。

半角的正弦是原角正弦的一半吗？

不是，这正是本页要打掉的那个错法。三十度的正弦是 0.5，它的一半是 0.25，而十五度的正弦是 0.2588——两个数只差 0.0088，所以错的答案看上去很合理。半角的正弦是「一减去整角余弦、除以二、再开平方」：一个余弦的根号，而不是一个正弦的几分之几。

半角公式有哪几条？

半角的正弦是一减整角余弦除以二再开平方；半角的余弦是同一个根号里换上加号；半角的正切可以写成三种形式——一减余弦除以正弦、正弦除以一加余弦、以及一减余弦除以一加余弦再开平方，三个写法给出同一个数。实际算的时候优先用分数形式，因为它们根本不用开平方。

为什么负角折半之后不是负角？

因为角是先归一、再折半的，顺序不能换。负三十度就是三百三十度，三百三十度的一半是一百六十五度。先折半会得到负十五度，那也是一个真实的角，但它不在输出声明的范围里，而且它会与本页其余部分对「两个镜像角里指哪一个」这件事产生分歧。读数永远是上半圆里的那一个。

为什么一百八十度被拒答？

因为一百八十度的一半是九十度，而九十度的正切没有值。九十度的正弦与余弦都是好好的（一和零），但本页把正切和它们一起印出来，一半的答案冒充完整的答案比不给答案更糟。同样的拒答还覆盖五百四十度与负一百八十度——它们与一百八十度是同一个角——以及它们加减任意整数圈的角。

它与倍角公式是什么关系？

两者是同三条关系的两个方向。倍角公式从一个角出发，给出它两倍角上的正弦、余弦与正切；半角公式从一个角出发，给出它一半上的三个比值。真正要留意的差别在舍入上：加倍留在整度数上，所以三十度的两倍就是正正好好的六十度；折半常常把人带离特殊角表，三十度的一半是十五度，而它的三个比值都是无理数。

可以输入弧度吗？

可以——输入框旁边有单位下拉框，而半角一律用度输出，因为输出的单位是声明死的。六分之 π 弧度与三十度是同一个角，四个数逐位相同。唯一要注意的是那个单位管的是你填进去的角，不管折半之后的角——后者永远以度显示。

• Half-Angle Formulas — 本页用的三条公式，以及正负号问题在本页是怎么被「半角恒落在上半圆」这条规矩绕开的 — Wolfram MathWorld（美国）
• Double-Angle Formulas — 同样的关系反过来读，也是多数人先遇到半角公式的那一面 — Wolfram MathWorld（美国）
• Trigonometric Functions — 正弦、余弦与正切的定义，以及它们各自在哪些角上没有值 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数与特殊角的三角函数值是义务教育阶段「图形的性质」的内容，半角公式是它的延伸，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部