债券收益率计算器

市场价格 = Σ [ 票息 × (1 + i)^−k ] + 面值 × (1 + i)^−n，反解 i （k = 1 … n；票息 = 面值 × 票面利率 ÷ 每年付息次数；n = 剩余年数 × 每年付息次数）

市场价格

这只债券今天要花多少钱买，也是这一页唯一不求解、直接拿来当已知条件的量

票息

面值 × 票面利率 ÷ 每年付息次数——默认那只债券上就是每半年 20

面值

到期偿还的金额，也是票息的计算基数

剩余年数

还有多久到期，输入的是年，乘上每年付息次数才是还没付的期数

到期收益率（i）

这一页要求解的未知数：把今后每一笔付款都贴现到市场价的那个年化利率

只要有人报给你一个债券价格，而票面利率不足以让你把它跟别的东西比，就用这一页。票面利率在债券存续期内是固定的，它完全不说明你花了多少钱买：一只旧发的 4% 债券和一只新发的 4% 债券票面利率一模一样，但只要一个卖 922.05、另一个卖 1,000，收益率就天差地别。把到期收益率读作「按这个价买入、持有到期、并把每一期票息都按同一个利率再投出去，你实际能赚到的回报」，把旁边的当期收益率读作「今年这一年实实在在拿到手的现金回报」——两者差得远，说明这只债券的价格离面值很远，你的回报里很大一块来自价格向面值收敛，而不是来自票息。真正让这一页有用的情形是价格接近甚至超过这只债券今后会付出的全部金额：那时当期收益率看着还像一个正常的票息，而到期收益率已经在零或零以下。

1. 面值 1,000、票面利率 4%、10 年、半年付息，价格 922.05

   1. 票息 = 1,000 × 4% ÷ 2 = 20，十年里一共付 20 次
   2. 按 5% 的收益率，每一期的利率是 5% ÷ 2 = 2.5%
   3. 20 期票息的现值：20 × (1 − 1.025⁻²⁰) ÷ 0.025 = 311.78
   4. 面值的现值：1,000 × 1.025⁻²⁰ = 610.27
   5. 两者相加 311.78 + 610.27 = 922.05，正好是你输入的价格，所以 5% 就是它的到期收益率
   6. 当期收益率：每年拿到的 40 ÷ 922.05 = 4.34%——这只债券到期时多还你的 77.95 折价，它一点没算进去

   这是「债券价格」那一页默认情形倒过来跑：那边按 5% 定出 922.05，这边拿到 922.05 给出 5%。用这个来回验证两页算的是同一件事，成本最低。另外注意，价格只比面值低 7.8%，两个收益率就差了 0.66 个百分点——价格越往下走差距越大，下一个算例就是。

2. 同一只债券，价格 728.19——到期收益率 8%

   1. 票息还是每半年 20，动的只有价格
   2. 按 8% 的收益率，每一期的利率是 4%
   3. 20 期票息的现值：20 × (1 − 1.04⁻²⁰) ÷ 0.04 = 271.8066
   4. 面值的现值：1,000 × 1.04⁻²⁰ = 456.3869
   5. 两者相加 271.8066 + 456.3869 = 728.1935，四舍五入就是你输入的 728.19
   6. 当期收益率：40 ÷ 728.19 = 5.49%，而到期收益率是 8%

   5.49% 与 8% 之间那 2.51 个百分点，就是这只债券到期时比你买价多还的 271.81，也是深度折价债券不能看票息、也不能看当期收益率的全部理由。只看当期收益率，这里会把回报低估大约三分之一。

3. 零息债券：面值 1,000、票面利率 0、价格 610.27

   1. 把票面利率设为 0：这只债券到期之前一分钱都不付
   2. 1,000 × 1.025⁻²⁰ = 610.27，按 5% 的收益率，整个买价就是面值贴现后的结果
   3. 没有票息可除，当期收益率只能报 0——零息债券根本没有有意义的当期收益率
   4. 389.73 的折价就是全部回报，而且它在到期日一次性到手

   这是「收益率不是票息、也不是当期收益率」最干净的一个证明：这只债券付 0%，却赚 5%，而除了到期收益率那一栏，没有任何一栏能说出来。也正是这一页能为一只当期收益率毫无意义的债券报出收益率的原因——债券交易台上一天到晚在做的就是这件事。

这是债券收益率的干净版本，真实交收要乱得多，具体在四处。它假定下一期票息刚好在一整期之后，所以不处理应计利息：在两个付息日之间，卖方有权拿到当期票息里已经过去的那一部分，真实结算单会把它加在报价之上，正因为如此这里算的是净价而不是全价。它假定今后每一期票息都是完整的一期，首期或末期不是整期的债券不在范围内。它把票面利率当作年利率在当年的各个付息期之间均分，而不是按实际天数计息，也不区分真实交收里 30/360 与 actual/actual 两种惯例。它报出的到期收益率假定了每一期票息都能按同一个利率再投出去直到到期，这既是标准定义也是标准警告：再投利率更低，实际拿到手的回报就更低。答案的精度受你输入的价格限制——两位小数的价格大约只能把收益率钉到千分之几个百分点，价格动一分钱，收益率就跟着动。另一头，如果价格高于这只债券今后会付出的全部金额，它根本不存在正收益率，这时页面直接报错而不是打印一个负数。这里也没有考虑违约风险、流动性、税收、赎回条款和偿债基金，所有金额都不带币种。

到期收益率是什么？

它是这样一个年化利率：按它贴现，这只债券今后还欠你的每一笔钱——每一期剩余票息，加上到期时的面值——正好折回到它今天的价格。按这个价买入并持有到期，你赚到的就是它。它也是唯一能让票息不同、价格不同的债券放在一起比的收益率。默认那只债券：面值 1,000、票面利率 4%、半年付息、还剩十年、市场价 922.05，到期收益率是 5%。

债券的到期收益率怎么算？

先把定价等式写出来——市场价等于各期票息贴现之和加上面值贴现——再去找让等式成立的那个利率。剩余期限超过一期之后，这个等式没法整理成利率的表达式，所以答案只能靠试：给一个利率、算价格、看是高了还是低了，然后往中间收。默认那只债券，5% 给出 311.78 的票息现值加 610.27 的面值现值，合计正好是 922.05。

到期收益率和当期收益率为什么不一样？

因为它们量的不是一件事。当期收益率就是每年票息除以价格，到此为止：40 ÷ 922.05 = 4.34%。到期收益率还把这 77.95 的折价算进去——那是这只债券到期时比你买价多还的钱——摊在到期的这十年里，所以读作 5%。价格离面值近时两个数差得小，离得远时差得大：价格 728.19 时，当期收益率 5.49%，到期收益率 8%。

什么是折价债券？

买入价低于到期偿还的面值，就是折价债券，它出现在市场要求的收益率高于票面利率的时候。默认那只就是折价债券：买价 922.05、到期还 1,000，折价 77.95，你回报的一部分是以这个价差的形式、而不是以票息的形式到手的。折价越深，回报里来自价差的比重越大——价格 728.19 时，到期比买价多还 271.81。

债券的收益率高于票面利率说明什么？

说明你是折价买入的，票面利率低估了你实际能赚到的。一只 4% 的债券按 8% 的收益率定价，和一只 4% 的债券按 4% 的收益率定价，每年都同样付 40；区别在于前一只买价 728.19、到期还 1,000。只要到期收益率高于票面利率，价格一定低于面值；低于票面利率，价格一定高于面值。

到期收益率会是负的吗？

这一页不会给出负的，值得买的债券也不会。负收益率的意思是今天付出的钱比这只债券今后会还的总额还多——比面值加全部剩余票息还多——在部分国家的国债市场上这确实发生过，但这一页不报这个数。如果你输入的市场价高于这只债券今后会付出的全部金额，它会停下来告诉你，而不是打印一个负利率：那个数在算术上定义得出来，在投资上没有意义。

比较两只债券该看哪个收益率？

看到期收益率，因为只有它把你付出的价钱算进去了。票面利率都是 4%、到期日也相同的两只债券，只要一只卖 922.05、另一只卖 1,000，就不是同一笔投资，而票面利率说不出这件事。当期收益率则适合用来检查「今年的回报里有多少是拿到手的现金、多少是等着价格回来」——两个数差得远的时候，那个差距本身就是你买之前该问的问题的答案。

• 31 CFR Part 356 附录 B（Formulas and Tables）：本页反解的那个定价公式与现值系数 — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Understanding Pricing and Interest Rates：为什么债券价格与收益率朝相反方向变动 — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Current Yield：Investor.gov 术语表（票息除以市场价，就是本页打在到期收益率旁边那个数） — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)