债券价格计算器
结果
债券价格
- 每期票息
- 20.00
- 当期收益率
- 4.34%
- 溢价或折价
- -77.95
债券是一串承诺：在到期之前的每一期付一笔固定的钱，到期时再把面值还给你。所以给债券定价根本不是一套单独的算法——它就是把这串钱折成现值，这也是为什么这一页与现值那一页是同一个算术，只是现金流由债券条款生成、而不是你自己敲进去。填入面值、年票面利率、你想用来定价的到期收益率、剩余整年数以及每年付息几次，这一页给出价格，以及三个让价格读得懂的读数。价格与收益率的关系是这里最该记住的一件事：收益率高于票息率时价格低于面值，两者相等时价格正好等于面值，收益率低于票息率时价格高于面值。面值 1,000、票面利率 4%、还剩十年，按 5% 的收益率定价得到 922.05，也就是折价 77.95；同一张债券按 4% 的收益率定价就正好值 1,000。第三个读数是当期收益率，即每年的票息除以你实际付出的价格，折价那一档是 4.34%——高于 4% 的票面利率，因为你把这个收入流买便宜了。注意显示的每期票息是「每期」而不是「每年」：面值 1,000、票息 4%、半年付息的一期是 20，改成每年付息就是 40。
面值 1,000、票面利率 4%、十年、半年付息，七档到期收益率
| 到期收益率（%） | 债券价格 | 当期收益率（%） | 溢价或折价 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1400 | 2.86 | 400 |
| 2 | 1180.46 | 3.39 | 180.46 |
| 3 | 1085.84 | 3.68 | 85.84 |
| 4 | 1000 | 4 | 0 |
| 5 | 922.05 | 4.34 | -77.95 |
| 6 | 851.23 | 4.7 | -148.77 |
| 8 | 728.19 | 5.49 | -271.81 |
每一行的债券都完全一样，变的只有收益率，所以这张表干净地画出那条最该记住的关系：价格与收益率朝相反方向走。第 4 行是那个铰链——收益率正好 4%、等于票面利率，价格是 1,000.00、溢价或折价为零；在它之上债券贵过到期偿还额，在它之下便宜过，折价一路加深到 8% 收益率时的 324.41。第 1 行是另一处值得停一下的地方：收益率为零时什么都不折现，价格就是面值加上全部二十期票息，正好 1,400.00，那是这张债券可能值的上限。当期收益率那一列也要留意：价格越低它越高，因为它拿同样的每年 40 去除一个越来越小的数。
公式
债券价格 = Σ [ 每期票息 × (1 + i)^−k ] + 面值 × (1 + i)^−n （k = 1 … n；i = 到期收益率 ÷ 每年付息次数；n = 年限 × 每年付息次数）
- 面值
- 到期时偿还的金额，也是票息的计算基数；必须大于零
- 票面利率
- 按面值计算的年利率，也就是票面利率；它按一年里的付息次数平分到每期，不按实际天数折算
- 到期收益率
- 把每一笔付款折现时用的年利率——在你被要求付出的这个价格上，这张债券提供的回报
- 剩余年限
- 剩下的整年数；付款期数等于它乘以每年付息次数
- 付息频率
- 一年付几次票息：每年、每半年、每季度或每月
- 每期票息
- 面值乘票面利率再除以每年付息次数，是每期的金额而不是每年的
- 当期收益率
- 每年票息除以价格；它与到期收益率不是一回事，因为它不算到期时的那笔溢价或折价
- 溢价或折价
- 价格减去面值：正数是溢价（买价高于到期偿还额），负数是折价
用它核对手上拿到的报价、看收益率变化会对你已经持有的债券做什么、或者弄明白同一张债券为什么在两个地方是两个价格。它也是另一个常让人意外的现象的算法基础：你已经持有的债券，价格与它的收益率朝相反方向走，所以打算持有到期的投资者不受利率上行影响，而不得不卖出的那位受影响。把同一张债券在几个收益率上各定一次价，这个规律就变得具体——下面那张参考表把同一张债券从零收益率（值面值加它这辈子所有票息）一路走到收益率等于票面利率的平价点，再到 8% 收益率下深度折价的区间。
算例
面值 1,000、票息 4%、十年，按 5% 的收益率定价
- 每期票息：1,000 × 4% ÷ 2 = 20
- 期数：10 年 × 2 = 20 期，每期收益率 5% ÷ 2 = 2.5%
- 二十期票息的现值：20 × (1 − 1.025⁻²⁰) ÷ 0.025 = 311.78
- 面值的现值：1,000 × 1.025⁻²⁰ = 610.27
- 价格：311.78 + 610.27 = 922.05，折价 77.95
- 当期收益率：40 ÷ 922.05 = 4.34%
这是默认算例，也是收益率高于票息率、债券低于面值出售的那种情形。折价不是罚款，它是把回报从票息付的 4% 抬到市场要求的 5% 的那个机制：你用 922.05 买下一个到期值 1,000 的收入流，到期时赚到的 77.95 正好补上差额。注意票息那个数是 20，是半年的金额；而 4.34% 的当期收益率高于 4% 的票息率，因为你付的价格低于面值。
同一张债券按平价定价：收益率等于票息率
- 每期票息：1,000 × 4% ÷ 2 = 20
- 每期收益率：4% ÷ 2 = 2%
- 二十期票息的现值：20 × (1 − 1.02⁻²⁰) ÷ 0.02 = 327.03
- 面值的现值：1,000 × 1.02⁻²⁰ = 672.97
- 价格：327.03 + 672.97 = 正好 1,000.00
收益率等于票息率时，两个现值必然加起来正好是面值，而这一行就是整张表绕着转的轴——它之上债券贵过到期偿还额，它之下便宜过。它也是说明「当期收益率不等于到期收益率」的那一行：这里两个都是 4%，但在别的价格上它们会分开，因为当期收益率完全不算到期赎回时你赚或亏的那一笔。
从每年付息改成半年付息，价格会变一点
- 每期票息：1,000 × 4% ÷ 1 = 40，一共付十次
- 每期收益率：5% ÷ 1 = 5%
- 十期票息的现值：40 × (1 − 1.05⁻¹⁰) ÷ 0.05 = 308.87
- 面值的现值：1,000 × 1.05⁻¹⁰ = 613.91
- 价格：308.87 + 613.91 = 922.78，折价 77.22
同一张债券、同一个收益率、同一个到期日，只改了一个数。票息从一年两次改成一年一次，价格从 922.05 变成 922.78，因为钱收得越晚折得越狠。这里的差距不大，但票息那一列不是：这一行读 40，半年付息那一行读 20，而两者都是「每期」的金额。那是这一页最容易读错的一处，这也是标签里写明「每期」的原因。
局限
这是债券定价的干净版本，而真实结算在三处更麻烦。它给「下一次付息还差整整一期」的债券定价，所以不处理应计利息——已经过去的那部分当期票息是欠卖方的，真实成交单会把它加在价格之外。它假定剩余的每一期都是整期，所以新发行债券常见的「首期或末期不是整期」在这里表达不了。它只给不含权的普通债券定价，所以发行人能提前赎回、或者你能提前回售的债券，价格还取决于那些权利。除此之外，这一页按整年、等长期数计算，而不是按实际日历日期，所以它不会与按天数惯例结算的真实成交价分毫不差。它不考虑票息与资本利得的税、不考虑交易成本，也不谈信用风险——你填的那个收益率被当作已知条件，而一张可能还不上钱的债券本该按更高的收益率定价。
常见问题
- 债券价格怎么算？
- 把这张债券将来要付的每一笔钱都按到期收益率折回今天，然后加起来。面值 1,000、票面利率 4%、半年付息、还剩十年，按 5% 的收益率定价：二十期各 20 的票息今天值 311.78，面值 1,000 今天值 610.27，价格是 922.05。
- 为什么价格低于面值？
- 因为你定价用的收益率高于这张债券付的票息率。它的票面利率只有 4%，而别处能拿到 5%，所以没人愿意花 1,000 买它；价格会一直跌到「票息加上到期时赚到的差价」正好等于 5% 的回报为止。价格与面值之差就是折价，同样的机制反过来就得到溢价。
- 当期收益率与到期收益率差在哪？
- 当期收益率是每年票息除以你付出的价格，默认算例里是 40 ÷ 922.05 = 4.34%。到期收益率是你持有到期末能拿到的年率，它把 922.05 买入、1,000 偿还之间赚到的 77.95 也算进去了。按平价买的时候两者相等；折价买入时当期收益率偏低，溢价买入时它偏高。
- 显示的票息是每年的还是每期的？
- 每期。面值 1,000、票面利率 4% 的债券一年总共付 40，而这 40 会按一年付息几次拆开：半年付息是每次 20，每季付息是每次 10，一年一次就是 40。这一页上那个字段是单次付款的金额，所以同样 4% 的债券在半年付息下显示 20、在每年付息下显示 40。
- 为什么付息频率会改变价格？
- 因为早收到的钱能早一点再投资，所以同样的收益率下，付得更勤的债券略值钱一点。默认那张债券半年付息是 922.05、每年付息是 922.78，差 0.73；按季付息与按月付息再略低一些，是 921.68 与 921.43。在这个利率水平上影响很小，但它会随票息与年限一起变大。
- 到期收益率为零时会发生什么？
- 每一个折现因子都变成 1，价格就是这张债券这辈子要付的全部金额直接相加：面值加上每一期票息。面值 1,000、票息 4%、半年付息、还剩十年的那张，就是 1,000 加上二十期各 20，正好 1,400。这一档值得知道，因为把定价公式写成闭式的时候必须为它单独开一条分支，而这一页的算法不需要。
参考资料
- 31 CFR Part 356 附录 B：Formulas and Tables —— 美国国债的现值系数与定价公式，含 $1,000 × 8% ÷ 2 = $40 这个可核对的算例 — 美国财政部法规，经美国联邦法规电子版（eCFR）发布（美国）
- Understanding Pricing and Interest Rates —— 到期收益率与票息率孰高孰低，对应价格在面值之上还是之下 — 美国财政部财政服务局（TreasuryDirect，美国）
- Current Yield —— 术语表条目：当期收益率是「债券每年支付的利息 ÷ 它现在的市场价」 — 美国证券交易委员会投资者教育站（Investor.gov，美国）