到期收益率计算器
结果
到期收益率
- 有效年收益率（%）
- 5.0626%
- 当期收益率
- 4.34%
- 每 100 面值的票息合计
- 40.00
到期收益率是让一张债券今后给你的每一笔钱——每一期票息，加上到期还回来的面值——恰好等于你今天付出的那个价格的那个利率。本页按债券行情表上的写法收价格：每 100 面值报多少，所以面值不必填、也没法填错。除了报价口径的到期收益率，本页还印出同一个报价一年实际拿到的有效年收益率——两个都叫收益率，但不是同一个数。第三个数是当期收益率，它只等于票息除以债券价格，别的都不管。以低于面值的价格买进的债券，拿到的不止票息，因为往回涨到面值的那一段也是收益的一部分，而只有到期收益率把这一段算进去。
同一张债券的七档价格，从每 100 面值 140 一路到 72.819
| 每 100 面值净价 | 到期收益率（%） | 有效年收益率（%） | 当期收益率（%） |
|---|---|---|---|
| 140 | 0 | 0 | 2.86 |
| 118.046 | 2 | 2.01 | 3.39 |
| 108.584 | 3 | 3.0225 | 3.68 |
| 100 | 4 | 4.04 | 4 |
| 92.205 | 5 | 5.0626 | 4.34 |
| 85.123 | 6 | 6.0899 | 4.7 |
| 72.819 | 8 | 8.1601 | 5.49 |
七行都是同一张债券——票息 4%、还剩 10 年、每半年付一次——动的只有你付多少，所以顺着任何一列往下读，读的都是「一个价格值多少」。中间那一行是轴：价格恰好 100 时到期收益率与票面利率重合在 4%，因为已经没有任何盈亏要计。比它高是溢价，收益率低于票面利率；比它低是折价，收益率高于票面利率。最上面一行是整个算法的边界：140 恰好等于二十笔 2.00 加上期末 100 一分不折的总和，所以收益率是 0%——再贵一分钱，这张债券就没有非负的到期收益率了。往下读时把前两列对着看：有效年收益率永远高于报价收益率，而且差距随收益率抬升而变宽，因为那一段差距是复利的二阶项而不是舍入。最后一列的行为不同：它也随价格动，但在这一张债券上它永远追不上到期收益率，因为它不知道那 100 会回来。
公式
每 100 面值的净价 = Σ (每期票息 ÷ (1 + y ÷ m)^t) + 100 ÷ (1 + y ÷ m)^(m × n)
- 每 100 面值的净价
- 每 100 面值你付出多少，不含应计利息；收益率就是把这个价格与今后每一笔付款对上的那个贴现率
- 票面利率
- 一年按面值付多少票息，分 m 次等额支付；允许为 0，那描述的是一张到期前什么也不付的债券
- m
- 一年付几次票息（每年、每半年、每季或每月）；同一张债券按两种频率报价，得到的就是两个不同的收益率
- n
- 距离面值被还回来还有几年，取整数，所以剩下的付款次数是 m × n
- y
- 到期收益率：解上面那个方程得到的名义年利率，一年复利 m 次——债券交易台报价用的就是这个口径
- 有效年收益率
- 把同一个利率改写成「一年的增长倍数」：(1 + y ÷ m)^m − 1；只要 m 大于 1，它永远高于 y，差出来的那一点就是复利本身
- 当期收益率
- 一年的票息除以净价，完全不管债券涨回面值带来的盈亏——任何不按面值交易的债券，它都必然与到期收益率对不上
用它把票息不同、期限不同的债券放到同一把尺子上，这正是报价收益率存在的理由：票息 2%、价格 92 的债券与票息 8%、按面值交易的债券，比票息比不出高低，比这个数可以。也用它核对别人报给你的价格，或者反过来看一个价格意味着市场在要求多高的利率。有三处它不合适。它假设你持有到期，而且每一笔票息都以同一个利率再投资出去，这是任何市场都不会做的承诺——利率下行期间持有到期，实际拿到的会低于当初算出的到期收益率。它是按票息频率复利的名义利率，所以每半年付息与每月付息的债券即使报价相同，一年拿到的钱也不一样；旁边那个有效年收益率就是为这件事准备的。它对信用风险一无所知：同期限上比国债曲线高出一大截的收益率，是市场在给「有可能拿不回本金」定价。
算例
票息 4%、还剩 10 年，价格 92.205
- 一年的票息：每 100 面值 4.00，分两次各付 2.00，于是剩下 20 笔 2.00
- 找出把 20 笔 2.00 加上期末的 100 贴现成 92.205 的那个利率：每半年 2.5%
- 按交易台的口径报价，把半年利率乘 2：一年 5.000%
- 改写成一年增长倍数：1.025 × 1.025 − 1 = 5.0626%，这就是有效年收益率
- 当期收益率，它不管涨回面值那一段：4.00 ÷ 92.205 = 4.34%
这是本页的默认算例，重点在后两行。报价的 5.000% 与 5.0626% 是同一个利率的两种写法，而后者才是这笔钱一年里真实发生的事情——差出的 0.0626 不是四舍五入，它就是半年复利本身。三者里最小的那个 4.34% 反而是报纸上最常引用的，因为只有它能在脑子里算出来；也正因为如此，只有它看不出你是以低于面值 7.795 的价格买进、到期会按 100 还回来。
零息债券：价格 61.027，收益率 5% 而当期收益率 0%
- 票面利率为 0，方程里每一笔票息都是 0.00，只剩期末那 100
- 100 ÷ 1.025^20 = 100 ÷ 1.638616 = 61.027
- 按交易台的口径报价：每半年 2.5%，乘 2 得一年 5.000%
- 改写成一年增长倍数：1.025 × 1.025 − 1 = 5.0625%
- 当期收益率：0.00 ÷ 61.027 = 0.00%
零息债券是两种口径分得最干净的地方，因为没有票息来搅乱算式：全部收益就是价格与面值之间那 38.973，而且一次性到手。报价收益率 5.000%、有效年收益率 5.0625%，两者之差全部来自复利。当期收益率精确地等于零——按当期收益率筛债券的读者永远看不到这一张，这是「不该拿它筛」最直白的论据。
带一位小数的价格：95.5 得到 4.566%
- 票息：20 笔 2.00，期末再还 100
- 解出把这串现金流贴现成 95.5 的半年利率：2.2831%
- 乘 2 得报价收益率，本页印到三位小数：一年 4.566%
- 有效年收益率：1.022831 × 1.022831 − 1 = 4.6177%
- 当期收益率：4.00 ÷ 95.5 = 4.19%
市场上的债券价格报到「点」的小数位上，不是整数，反解出来的收益率几乎从不落在整数上——所以本页报价收益率印三位小数、有效年收益率印四位。三个数的大小次序仍然成立：有效年收益率高于报价收益率，当期收益率低于这两个，因为 95.5 仍然是折价买进，那 4.5 的涨价收益属于持有到期的人。
局限
三件它做不到的事。它不是一个承诺：到期收益率假设每一笔票息都以同一个利率再投资到到期，如果期间利率下行，你实际拿到的会低于它说的那个数——这个缺口叫再投资风险，任何收益率报价都消不掉它。它是按票息频率复利的名义利率，所以不同付息频率的债券在只看这个数时不可比，得看旁边那个有效年收益率。它用的是净价、不含应计利息，这对在两次付息之间给债券定价是对的，但意味着这里的价格不是你实际要掏出去的现金。旁边那个当期收益率更简单，也有一处固定的盲区：因为它不管价格与面值之间的差额，折价买进的债券被它低估、溢价买进的被它高估，而零息债券无论赚多少，它的当期收益率都是零。最后，本页不认识信用风险、税和提前赎回条款；一张可能被提前赎回的债券，未必真的走到这里假设的那个到期日。
常见问题
- 到期收益率是怎么算出来的？
- 它是把今后每一笔付款——每一期票息，加上期末的面值——贴现成你今天付出的这个价格的那个利率。这个式子没法直接解出来，只能搜：先试一个利率，按它给债券定价，再一点点收紧区间直到价格对上。票息 4%、还剩 10 年、每 100 面值 92.205 的债券，答案是每半年 2.5%，报价为一年 5.000%。
- 为什么价格要按每 100 面值填，而不是填一个金额？
- 因为面值在方程两边会约掉，所以按每 100 报既能让两张债券一眼可比，又少一个只可能填错的输入框。价格 92.205 的债券，面值是 100 还是 100 万，它都是面值的 92.205%。反过来按金额填——同一张债券填 922.05——页面不会报错，只会给出一个负的收益率，因为算式要求你把那个 100 还回来。
- 到期收益率与有效年收益率差在哪？
- 同一个利率的两种写法。报价的到期收益率是名义的：每期利率乘以期数，所以半年 2.5% 写成一年 5.000%。有效年收益率把它改写成一整年的增长倍数：1.025 × 1.025 − 1 = 5.0626%，这才是钱实际做的事。只有一年付一次票息时两者才相等。同样报价 5.000%，按季付息是 5.0946%，按月付息是 5.1162%——复利越频繁，这个差越大。
- 为什么当期收益率与到期收益率对不上？
- 因为当期收益率只数票息。它是一年的票息除以价格，完全不管「低于面值买进、到期按面值还回来」这件事也是收益的一部分。默认算例里票息 4.00、价格 92.205，当期收益率 4.34%，而到期收益率 5.000%——缺的那 0.66 个百分点，就是 7.795 的涨价收益摊在十年里的结果。价格恰好等于 100 时两者一致；零息债券无论赚多少，当期收益率都是零。
- 改付息频率会改变答案吗？
- 即使债券本身一文不差，报价也会变。10 年 4% 的票息无论怎么付，每 100 面值合计都是 40.00，但贴现不一样：收益率 5% 时，每年付息的价格是 92.278，按季是 92.168，按月是 92.143。两个原因。名义报价是「每期利率 × 期数」，所以同样的实际回报，复利越频繁写出来的名义数越大。另外来得早的钱更值钱，所以同样报价下按月付息的债券价格略高。
- 到期收益率高于票面利率说明什么？
- 说明债券正以低于面值的价格交易，你收益的一部分来自到期按 100 还回来时的价差。默认算例里票面利率 4%、收益率 5.000%，就是因为价格只有 92.205。反过来也成立：高于面值买进的债券，到期收益率低于票面利率，因为往面值回归的过程你是在亏。最极端的一档是参考表第一行——价格 140 恰好等于今后所有付款之和本身，一点折扣都不打，收益率是 0%；再高一分钱，这张债券就不存在非负的到期收益率。
参考资料
- Understanding Pricing and Interest Rates：为什么债券会折价或溢价发行，以及报价收益率的口径 — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
- Yield：Investor.gov 术语表（给定价格下债券今后每一笔付款所隐含的那个利率） — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
- Bonds：Investor.gov 术语表（票面利率、面值与到期日——方程就是拿这三样搭起来的） — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
- 31 CFR Part 356 附录 B（Formulas and Tables）：美国财政部给自己发行的中长债定价用的现值公式 — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)